Глава 10. Зазеркальная логика

Глава 10. Зазеркальная логика

Льюис Кэрролл почти ничего не рассказал нам о втором Белом Рыцаре, кроме того, что однажды тот попытался надеть на себя шлем первого Белого Рыцаря, что было весьма непредусмотрительно с его стороны, ведь в это время в шлеме находился первый Белый Рыцарь. Когда алиса наконец встретила его, она была совершенно сбита с толку! Слишком многое из того, что он говорил, казалось ей совершенно абсурдным!

«Может быть, он относится к тем, кто всегда лжет?» — подумала было Алиса, но тут же категорически отвергла эту версию. Ее интуиция подсказывала ей, что Белый Рыцарь совершенно искренен. Но какую же ахинею он нес! Прежде всего, он сообщил Алисе, что она единорог. Тогда Алиса спросила у него:

— Вы и вправду считаете, что я единорог? На что тот ответил:

- Нет.

После этого он сказал, что Белый Король спит и Алиса ему снится, но тут же заявил, что Белому Королю не снится никаких снов. Были еще два каких-то взаимоисключающих друг друга утверждения (я подзабыл, о чем именно), так вот, вначале он заявил, что одно из них истинно, потом заявил, что второе ложно, а после принялся убеждать Алису, что оба этих утверждения истинны.

graphics36

Сначала Алиса решила, что он просто непоследователен в своих высказываниях, но ей ни разу не удалось поймать его на очевидной непоследовательности. Ни разу Алиса не слышала, чтобы он сначала объявил какое-то суждение истинным, а потом его же объявил ложным, притом, что он вполне мог заявить, что одно и то же суждение одновременно является истинным и ложным! Но как она ни старалась, ей ни разу не удалось добиться от него отдельных заявлений об истинности и ложности одного и того же суждения.

В течение нескольких часов Алиса буквально засыпала его вопросами и в конце концов собрала огромный объем информации, которую старательно записала в свой блокнот. Затем она отправилась со всем этим к Шалтаю-Болтаю, надеясь, что тот поможет ей как-то в этом разобраться.

— Что ж, все логично, — прокомментировал Шалтай-Болтай Алисины записи, — вполне логично!

— Что вы хотите этим сказать? — спросила Алиса. — Этот Белый Рыцарь — лжец?

— Белые Рыцари никогда не лгут, — возразил Шалтай-Болтай.

— Тогда я ничего не понимаю, — сдалась Алиса. — Абсолютно ничего!

— Ну, разумеется, — презрительно фыркнул Шалтай-Болтай, — ты ведь не владеешь зазеркальной логикой!

— Что это, зазеркальная логика?

— Это такая логика, которой пользуются зазеркальные логики, — ответил он.

— А кто такие зазеркальные логики? — спросила Алиса.

— Как кто? Те, кто пользуются зазеркальной логикой, — ответил Шалтай-Болтай. — Неужели нельзя было самой догадаться?

Алиса задумалась. Почему-то это объяснение ей не слишком помогло.

— Дело в том, — продолжал Шалтай-Болтай, — что в наших краях есть те, кого называют зазеркальными логиками. Их высказывания кажутся довольно странными, но это если не знать ключа — а ключ довольно прост. Как только будешь знать ключ, все сразу встанет на свои места.

— А что это за ключ? — Алиса буквально сгорала от любопытства.

— Так я тебе сразу и раскрыл ключ! Вместо этого я дам тебе несколько подсказок. На самом деле, я скажу тебе пять основных условий, которым должен отвечать любой зазер-кальный логик. Из этих условий ты сможешь вывести ключ. Вот они:

Условие первое. Зазеркальный логик кристально честен. Он будет утверждать только лишь и исключительно то, в чем сам убежден.

Условие второе. Всякий раз, утверждая, что то или иное суждение истинно, зазеркальный логик одновременно утверждает, что сам он не убежден в истинности этого суждения.

— Минуточку, — прервала его Алиса. — А вы не противоречите самому себе? Ведь согласно первому условию зазеркальный логик всегда честен. Раз это так, то если он утверждает, что суждение истинно, он должен быть сам убежден в его истинности. Как же иначе, не солгав, может он утверждать, что не убежден в истинности этого суждения?

graphics37

— Хороший вопрос, — ответил Шалтай-Болтай. — Однако прошу заметить, что я никогда не говорил, что зазеркальный логик всегда точен в своих высказываниях! Если он в чем-то убежден, это вовсе не означает, что он знает, что он в этом убежден, и это даже не означает, что он обязательно убежден в том, что он в этом убежден. Более того, вполне может случиться так, что он ошибочно убежден в том, что он в этом не убежден.

— Вы хотите сказать, — изумилась Алиса, — что кто-то может быть в чем-то убежден, и при этом быть убежденным в том, что он в этом не убежден?

— Если это зазеркальный логик, то запросто, — ответил Шалтай-Болтай, — на самом деле у зазеркальных логиков это самое обычное дело, ведь это прямое следствие первых двух условий.

— Как это? — спросила Алиса.

— А вот как, — ответил Шалтай-Болтай. — Предположим, он убежден в истинности суждения. Тогда, согласно первому условию, он заявляет, что суждение истинно. Согласно же второму условию, он заявляет, что не убежден в истинности суждения. Отсюда следует, опять-таки согласно первому условию, что он должен быть убежден в том, что он не убежден в истинности суждения.

— Впрочем, — заметил Шалтай-Болтай, — я даю тебе слишком много подсказок! Позволь мне закончить список условий, чтобы ты смогла вывести ключ ко всей загадке.

Третье условие. В отношении любого истинного суждения, он (зазеркальный логик) всегда утверждает, что убежден в истинности этого суждения.

Четвертое условие. Если зазеркальный логик в чем-то убежден, он не может быть одновременно убежден в обратном.

Пятое условие. В отношении любого суждения, зазеркальный логик либо убежден в истинности этого суждения, либо убежден в истинности противоположного ему суждения.

— Итак, — довольно высокопарно произнес Шалтай-Болтай, — я снабдил тебя полным списком условий. Исходя из них, ты должна быть способна логически вывести, какие суждения зазеркальный логик считает истинными, а какие суждения он считает ложными. А теперь, чтобы убедиться, что ты все поняла, я задам тебе несколько наводящих вопросов.

graphics38

Вопрос первый. Предположим, зазеркальный логик считает, что Черный Король спит. Считает ли он, что ты снишься Черному Королю, или он так не считает?

— Да откуда же я могу об этом знать? — вскричала Алиса.

— Должна знать, — сухо ответил Шалтай-Болтай. — Ответ напрямую следует из условий, но как именно, я объясню тебе попозже. А пока позволь мне задать тебе другой вопрос.

Вопрос второй. Предположим, зазеркальный логик считает, что либо Черный Король спит, либо Черная Королева спит. Следует ли отсюда, что он считает, что Черная Королева спит?

— Не понимаю, почему это должно следовать?

— Именно это и следует, — ответил Шалтай-Болтай, — а вот почему, я объясню тебе чуть позже. А ты пока попробуй ответить на такой вопрос.

Вопрос третий. Предположим, что зазеркальный логик считает, что Черный Король спит. Должен ли он считать, что Черная Королева тоже спит?

— Да с какой же стати он должен так считать? — спросила Алиса, совершенно сбитая с толку.

— Хороший вопрос, — ответил Шалтай-Болтай, — и чуть позже мы его обсудим. А пока попробуй ответить на следующий вопрос.

Вопрос четвертый. Предположим, зазеркальный логик

graphics39

считает, что Черный Король спит. Должен ли он при этом считать, что Черный Король и Черная Королева оба спят?

— А разве это не тот же самый вопрос, что и предыдущий? — озадаченно спросила Алиса. — Если он считает, что Черный Король спит, то разве это не одно и то же: считать что и Черная Королева тоже спит, и считать, что оба они спят?

— Совершенно не одно и то же, — безапелляционно заявил Шалтай-Болтай.

— Но почему? — беспомощно спросила Алиса.

— Это я тебе позже объясню, — пообещал Шалтай-Болтай. А пока попробуй ответить на другой вопрос.

Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Следует ли из этого, что он считает, что Черный Король спит?

— Я бы сказала, что должно следовать, — ответила Алиса.

— Нет, не следует! — отрезал Шалтай-Болтай. — Вот попробуй еще вопрос.

Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что он считает, что один из них спит, а другой бодрствует?

— Разумеется, нет! — сказала Алиса.

— Разумеется, да! — сказал Шалтай-Болтай, — но почему, я объясню тебе чуть позже. А пока попробуй ответить на такой вопрос.

Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Льва в лесу нет, если только с ним нет Единорога. Считает ли он, что Лев в лесу, или же он так не считает?

— Понятия не имею, как можно ответить на этот вопрос! — ответила Алиса.

— Еще бы, — ответил Шалтай-Болтай довольно пренебрежительно, — ведь у тебя пока нет ключа! Тогда попробуй вот это.

Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Бармаглот сделал по меньшей мере одно правдивое заявление в своей жизни. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого заявления, когда-либо сделанного Бармаглотом?

— Нет, с чего бы? — ответила Алиса. — Это было бы очень глупо с его стороны!

— И тем не менее, именно так он и считает, — авторитетно заявил Шалтай-Болтай. — Однако хватит тебе подсказывать! Посмотрим, сумеешь ли ты справиться вот с этим.

graphics40

Вопрос девятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли из этого, что грифоны существуют?

— Вы меня совсем запутали! — в отчаянии вскричала Алиса. — Я ничегошеньки не понимаю в этой вашей зазеркальной логике!

— Тогда попробуй ответить на такой вопрос, — как ни в чем ни бывало продолжал Шалтай-Болтай.

Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что Алиса не дойдет до восьмой клетки, не став Королевой. Допустим, он также убежден, что Алиса дойдет до восьмой клетки. Считает ли он, что Алиса станет Королевой, или он так не считает?

— Надеюсь, считает, — предположила Алиса, — или нет?

— Вообще-то, — рассмеялся Шалтай-Болтай, — нечестно с моей стороны было задавать тебе последний вопрос, так что можешь не трудиться, все равно не ответишь.

— А остальные честно было задавать? — спросила Алиса.

— Абсолютно, — ответил он. — Все остальные вопросы были абсолютно справедливыми.

— Мне они все кажутся одинаково непонятными! — сказала Алиса, — и я все равно не понимаю эту зазеркальную логику!

Если и вы, мой читатель, подобно Алисе, находитесь в некоторой растерянности по поводу зазеркальной логики, вряд ли вас можно в этом упрекнуть! И все же ключ ко всей этой загадке почти смехотворно прост. В этот раз я не буду приводить ответы к этим головоломкам в конце книжки, а вместо этого включу их в диалог между Шалтаем-Болтаем и Алисой.

— Итак, — объявил Шалтай-Болтай, — хватить болтать, пора приступать к выведению ключа!

— Но я даже не представляю, с чего начать!

— Подумай вот о чем, — предложил Шалтай-Болтай. — Может ли зазеркальный логик быть убежден в истинном суждении?

— Почему нет? — спросила Алиса.

— А ты помнишь, что я доказывал тебе ранее? Когда зазеркальный логик в чем-то убежден, то он одновременно убежден в том, что он в этом не убежден.

— Да-а, — неуверенно протянула Алиса, — но я уже подзабыла это доказательство. Не могли бы вы напомнить?

— Без проблем, — ответил он. — Возьмем любое суждение, в истинности которого зазеркальный логик убежден. Поскольку он убежден в истинности этого суждения, он будет его утверждать (согласно первому условию), следовательно, он также будет утверждать, что не убежден в его истинности (согласно второму условию), следовательно, он убежден в том, что он в нем не убежден (согласно первому условию).

— Да, да, — закивала Алиса, — теперь я вспомнила!

— Чтобы больше не забывать, запиши эту мысль в свой блокнот и обозначь ее как Утверждение 1.

Алиса записала следующее:

«Утверждение 1. Когда зазеркальный логик в чем-то убежден, он также убежден в том, что он в этом не убежден».

— Дальше важно понимать, — продолжал Шалтай-Болтай, — что в отношении любого истинного суждения, зазеркальный логик убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения.

— Почему так? — спросила Алиса.

— Это же элементарно! — ответил Шалтай-Болтай. — Возьми любое истинное суждение. Согласно третьему условию, он утверждает, что убежден в истинности этого суждения. Раз он это утверждает, и он честен (первое условие), значит, он убежден в том, что он в нем убежден.

— Понятно, — кивнула Алиса.

— Ты лучше это запиши, и обозначь, как Утверждение 2, — посоветовал Шалтай-Болтай.

И Алиса записала следующее:

«Утверждение 2. В отношении любого истинного суждения, зазеркальный логик убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения».

— А теперь, — продолжал Шалтай-Болтай, — ты понимаешь, почему абсолютно невозможно, чтобы зазеркальный логик был убежден в истинности истинного суждения?

— Не очень, — призналась Алиса.

— Это очевидно следует из Утверждения 1, Утверждения 2 и четвертого условия, — ответил он. — Возьми любое суждение, в истинности которого зазеркальный логик убежден. Согласно Утверждению 1, он убежден в том, что он не убежден в истинности этого суждения. При этом он не может одновременно быть убежден в том, что он убежден в ис-

тинности суждения (потому что, согласно четвертому условию, он не может быть убежден в чем-то и одновременно быть убежден в обратном). Так как он не убежден в том, что он в нем убежден, тогда это суждение не может быть истинным, ведь будь оно истинно, тогда, согласно Утверждению 2, он должен был бы быть убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения. Но он не убежден в том, что он в нем убежден — и поэтому оно не может быть истинным. Таким образом, мы видим, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден ни в одном истинном суждении; все суждения, в которых зазеркальный логик убежден — ложны.

Алисе понадобилось определенное время, чтобы усвоить сказанное.

— Это довольно сложное доказательство! — заметила она, наконец.

— Ничего, скоро освоишься! Алиса снова задумалась.

— А скажите мне вот что, — попросила она. — Зазеркальный логик должен быть убежден во всех ложных суждениях? Или же он просто убежден только в ложных суждениях?

— Это хороший вопрос, девочка, — ответил Шалтай-Болтай, — и ответ на него — «да». Возьми любое ложное суждение. Согласно пятому условию, он убежден либо в истинности этого суждения, либо в истинности противоположного ему суждения. Но он не может быть убежден в противоположном суждении, потому что противоположное суждение истинно! Соответственно, он убежден в истинности ложного суждения.

— Невероятно! — воскликнула Алиса. — Значит, зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных суждений и не верит ни одному истинному суждению!

— Точно, — подтвердил Шалтай-Болтай, — и в этом вся прелесть!

— Еще один интересный момент, — добавил Шалтай-Болтай, — заключается в том, что любой, кто верит всем ложным суждениям и не верит ни одному истинному суждению и кто честно высказывает свои убеждения — любой такой человек должен соответствовать пяти основным условиям, характеризующим зазеркального логика.

— Это почему же? — спросила Алиса.

— О, это очень просто доказать! — ответил Шалтай-Болтай. — Предположим, человек абсолютно честен и одновременно убежден в истинности тех, и исключительно тех суждений, которые ложны. Поскольку он честен, то разумеется он отвечает первому условию. Что касается второго условия, предположим, он утверждает, что суждение истинно. Тогда он действительно убежден в истинности этого суждения (ведь он честен). Следовательно, ложно то, что он не убежден в истинности суждения. Но ведь он убежден во всем, что ложно — и даже в ложных суждениях о его собственных убеждениях! Стало быть, если ложно то, что он не убежден в истинности суждения, и если он убежден во всем, что ложно, тогда он должен быть убежден и в ложном факте, что он не убежден в истинности суждения — другими словами, он убежден в том, что он не убежден в истинности суждения. А раз он убежден в том, что он не убежден в истинности суждения, то он утверждает, что он в нем не убежден (потому что, как мы помним, он честен). Именно поэтому он удовлетворяет второму условию.

Что касается третьего условия, возьмем любое истинное суждение. Раз оно истинно, он не может быть убежден в его истинности. Раз он не убежден в его истинности, значит, он должен считать, что он убежден в его истинности (потому что все его убеждения ошибочны!). Далее, раз он считает, что он в нем убежден, то он должен это утверждать (опять же, потому что он честен). Это и доказывает то, что он отвечает третьему условию.

Ну, четвертое и пятое условия очевидны, — продолжал Шалтай-Болтай.— Рассмотрим любое суждение и противоположное ему суждение. Одно из них должно быть истинно, другое, соответственно, должно быть ложно. Естественно, он убежден в истинности ложного суждения и не убежден в истинности истинного суждения. Значит, он не убежден в истинности обоих суждений сразу и таким образом удовлетворяет четвертому условию, но убежден по крайней мере в одном из них и поэтому отвечает пятому условию.

— Вот и вся история, — подвел итог Шалтай-Болтай, — зазеркальный логик честен, просто он всегда заблуждается. И наоборот, любой, кто честен и постоянно заблуждается, отвечает всем пяти характеристикам зазеркального логика. Теперь ключ у тебя в руках.

— Кое-что мне все еще непонятно, — сказала Алиса. — Почему никогда не случается так, чтобы зазеркальный логик что-то утверждал, а потом утверждал что-то этому обратное, и при этом сплошь и рядом случается, что он объявляет какое-то суждение и обратное ему суждение истинными?

— Это проще простого, — ответил Шалтай-Болтай. — Возьмем, к примеру, утверждение, что Черный Король спит. Обратным ему утверждением было бы утверждение о том, что Черный Король бодрствует. Очевидно, что одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Зазеркальный логик убежден лишь в одном из них, которое ложно, следовательно, он не может быть убежден в истинности каждого из них по отдельности. При этом единое утверждение о том, что Черный Король одновременно спит и бодрствует, является ложным утверждением, следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в истинности этого ложного утверждения.

Вернемся теперь к моим десяти вопросам. Обладая ключом, ответить на них не составит особого труда.

Вот ответы, которые Шалтай-Болтай дал на свои десять вопросов.

1. Раз зазеркальный логик считает, что Черный Король спит, значит, Черный Король должен на самом деле бодрствовать. Раз он бодрствует, то Алиса ему не снится. Раз Алиса Королю не снится, значит, зазеркальный логик должен считать, что снится.

2. Раз он (зазеркальный логик) считает, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит, то на самом деле ни Черный Король, ни Черная Королева не спят. Значит, оба они бодрствуют. Раз Черная Королева бодрствует, то он должен считать, что она спит (по тому же принципу он должен считать, что Черный Король спит).

3. Зазеркальный логик полагает, что Черный Король спит. Это лишь означает, что Черный Король бодрствует, но ничего нам не говорит о том, спит ли Черная Королева, поэтому мы не можем знать, считает ли зазеркальный логик, что она спит.

4. А вот здесь совсем другая история! Поскольку он полагает, что Черный Король спит, значит, это неправда, что он спит. Следовательно, заведомо ложно то, что Черный Король и Черная Королева оба спят! Именно поэтому он должен быть убежден, что они оба спят.

Любопытно здесь то, что он вовсе необязательно должен считать, что Черная Королева спит, однако он действительно убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят!

5. Зазеркальный логик полагает, что Черный Король и Черная Королева оба спят, из чего следует лишь, что по меньшей мере один из них бодрствует. Мы не знаем, кто именно, поэтому мы не можем определить, считает ли зазеркальный логик, что Король спит.

6. Поскольку зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют, то ложно и то, что они оба спят, и то, что они оба бодрствуют. Что означает, что один из них спит, а второй бодрствует. Того из них, кто спит, он считает бодрствующим, а того, кто бодрствует — спящим.

7. Раз все убеждения зазеркального логика ложны, то на самом деле Лев должен быть в лесу без Единорога. Следовательно, Лев находится в лесу. Значит, зазеркальный логик должен считать, что Льва в лесу нет.

8. Раз убеждение зазеркального логика заведомо ложно (как и все его суждения), то Бармаглот ни разу в своей жизни не делал правдивых заявлений; все заявления, когда-либо высказанные Бармаглотом, ложны. Именно поэтому зазеркальный логик должен верить каждому из них!

9. Поскольку зазеркальный логик полагает, что у всех грифонов есть крылья, значит, неверно, что у всех грифонов есть крылья, что означает, что должен быть хотя бы один грифон без крыльев. Таким образом, должен существовать хотя бы один грифон.

10. Это вопрос-ловушка, потому что невозможно, чтобы зазеркальный логик мог быть убежден в обоих этих суждениях!

Предположим, он считает, что Алиса не достигнет восьмой клетки, не став Королевой. Тогда это ложное суждение, что Алиса не достигнет восьмой клетки, не став Королевой, что означает, что Алиса достигнет восьмой клетки, не став Королевой. Таким образом, Алиса действительно достигнет восьмой клетки, поэтому зазеркальный логик не может полагать, что она это сделает.