Глава 6 Доказательство

Глава 6

Доказательство

хⁿ + уⁿ = zⁿ не имеет решений.

Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но у меня нет времени записать его — скоро приедет поезд.

Граффити на одной из станций нью-йоркского метро, 1988 год

Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Рибет доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе настоящую бурю эмоций. «В тот момент я понял, что моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», — вспоминал он позже.

Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. Как признавался он сам много лет спустя, у него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако у этого преимущества была и обратная сторона: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточиться на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Но Уайлс подозревал, что на пути к славе ему будет мешать не только недостаток времени, но и повышенный интерес специалистов со всего мира.

Мальчик, который хотел доказать теорему Ферма

Об Эндрю Уайлсе известен забавный случай: он узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Образ затерянного доказательства напомнил мальчику о темных пещерах и таинственных кладах, зарытых в далеких южных странах. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики. Эта история как никакая другая доказывает, насколько притягательной делает теорему Ферма простота ее формулировки, понятной даже ребенку. Юному Уайлсу, разумеется, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь.

* * *

ОПАСНОСТЬ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Как уже говорилось в предыдущей главе, к 90-м годам XX века теорема была доказана для всех показателей степени вплоть до 4 000 000. Если теорема Ферма верна для таких больших степеней, почему математики так стремились доказать ее для всех возможных показателей? Ведь практически невозможно, чтобы внезапно, словно с неба, появился непостижимо большой показатель степени, для которого теорема Ферма будет ложной. Не слишком ли щепетильным было математическое сообщество? Оставив в стороне вопросы психологии, скажем, что в случае с гипотезой, согласно которой бесконечное множество чисел обладает определенным свойством, никакая выборка «экспериментальных» данных, сколь велика бы она ни была, не может являться доказательством. Математика строится на доказательствах, то есть на непогрешимых истинах, и благодаря этому является столь мощным инструментом науки. И кроме того, история математики знает примеры, когда, вопреки изначальным предположениям, гипотезы оказывались ложными.

Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:

x⁴ + у⁴ + z⁴ = w⁴.

Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:

2 682 440⁴ + 15 365 639⁴  + 187 960⁴  = 20 615 673⁴.

Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.

* * *

Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.

Подсчет бесконечностей

В течение следующих семи лет Уайлс как одержимый работал над доказательством. Первые два года он посвятил исключительно обзору задачи и рассмотрению всех возможных подходов, стремясь найти метод, который мог бы сработать. По этому поводу англичанин Джон Идензор Литлвуд как-то сказал, что математик должен чувствовать задачу, «словно язык у себя во рту». Основным местом развития событий стал чердак в доме Уайлса в окрестностях Принстона. Уайлс отключил телефон и, не слишком хорошо знакомый с компьютерами, покрывал тысячи и тысячи страниц всевозможными формулами, рисунками, схемами и графиками. Работа продвигалась очень медленно: иногда он пробовал применить уже известный метод, чтобы перейти от одного шага доказательства к другому, в других случаях он слегка изменял известные методы, наконец, в некоторых случаях просто требовалось изобретать нечто совершенно новое. Поначалу Уайлс держал тему своей работы в строжайшем секрете.

Сперва он оценил возможность «подсчитать» все эллиптические функции (напомним, что их бесконечно много), с одной стороны, и модулярные эллиптические функции (которых также бесконечно много) — с другой, и показать, что вычисления в обоих случаях эквивалентны. Этот способ оказался неэффективным, но по ходу работы Уайлс получил важный результат, который помог упростить задачу: вместо доказательства гипотезы Таниямы — Симуры для всех эллиптических кривых нужно было доказать эту гипотезу только для их подмножества, так называемых полустабильных кривых.

На этом этапе Уайлс в поисках вдохновения обратился к теории Галуа, названной в честь ее создателя — безвременно ушедшего из жизни французского математика Эвариста Галуа (1811–1832). Галуа, подлинно трагическая фигура в истории математики, высказал гениальную догадку о перестановках возможных решений (корней) многочлена, которая позднее была развита Огюстеном Луи Коши и Артуром Кэли. Например, многочлен второй степени

х² — 4х + 1 = 0

имеет корни х₁ = 2 + ?3 и х₂ = 2 — ?3.

Оба корня удовлетворяют следующим уравнениям:

x₁ + x₂ = 4

x₁x₂ = 1

Оба уравнения будут по-прежнему верны, если мы поменяем местами х₁ и х₂

x₂ + x₁ = 4

x₂x₁ = 1

Галуа подробно изучил функции, инвариантные по отношению к перестановке корней, и определил так называемую группу Галуа для уравнений. Например, группа Галуа для многочлена х² — 4х + 1 = 0 состоит из двух перестановок: неизменной (в результате которой корни остаются «на своих местах») и транспозиции (показанной в примере).

Эндрю Уайлс в 2000 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

Свойства групп Галуа — очень мощный инструмент, который позволяет охарактеризовать чрезвычайно сложные структуры. Уайлс использовал их, чтобы преодолеть первое препятствие на пути к доказательству. В частности, он определил эллиптические уравнения в терминах представлений Галуа и доказал, что их можно ассоциировать с некоторыми характерными элементами модулярных форм. Таким образом, Уайлс переформулировал задачу о подсчете, использовав более «податливые» понятия. Этот первый, но очень важный шаг сам по себе уже заслуживал признания со стороны математического сообщества. Но это был всего лишь первый шаг, а Уайлс потратил на него два года непрерывного труда.

Уайлс работал в полном одиночестве, откуда же он брал силы, чтобы не отступаться от задачи? По его словам, «когда ты полностью сосредоточен, лучший способ расслабиться — это поговорить с детьми. Им не интересна теорема Ферма, по крайней мере, в столь нежном возрасте. Они хотят слушать только сказки». Остается лишь добавить, что Уайлсу повезло: его дети не проявили такого интереса к теореме Ферма, как он сам, когда был ребенком.

* * *

ПОРОЧНЫЙ ГЕНИЙ

Эварист Галуа был молодым человеком с горячим сердцем, который не раздумывая встал на сторону республиканцев в смутные времена Луи-Филиппа I, последнего короля Франции. Он также был одним из величайших гениев за всю историю математики. Его пылкий и непокорный характер, тяготы и лишения, свойственные научной работе, и проваленные вступительные экзамены в Политехническую школу привели к тому, что его труды были почти не известны современникам. Отдушину от неудач в науке Галуа нашел в политическом радикализме. Из-за своих политических взглядов он получил вызов на дуэль от офицера артиллерии, который симпатизировал монархистам.

Галуа знал, что плохо умел обращаться с оружием, поэтому в последнюю ночь перед дуэлью он лихорадочно пишет письмо, где кратко излагает итоги своих исследований, и отправляет его своему другу, блестящему математику Огюсту Шевалье. На следующее утро Галуа был смертельно ранен в живот и скончался через несколько часов. В своем последнем письме он изложил основы теории, которая позднее получила его имя и стала одним из основных разделов современной алгебры. Ему был всего 21 год.

Портрет Эвариста Галуа в возрасте 15 лет сделан с натуры его одноклассником.

* * *

Новый метод подсчета, придуманный Уайлсом, также содержал интересные аналогии с темой его докторской диссертации — теорией Ивасавы. Наступил 1988 год, и Уайлс чувствовал, что другие математики уже дышат ему в затылок. Можно представить, как он побледнел, когда 8 марта прочитал на первых страницах газет, что последнюю теорему Ферма доказал японец по имени Иоичи Мияока. Хотя подробности доказательства не публиковались, некоторые специалисты во всеуслышание заявили, что общая схема представленного доказательства верна. Однако спустя несколько месяцев стало ясно, что доказательство содержало серьезную ошибку. В замке по-прежнему было темно. Призрак Ферма вновь улыбнулся, и Уайлс — вместе с ним.

* * *

МИЯОКА ДОКАЗАЛ ПОСЛЕДНЮЮ ТЕОРЕМУ ФЕРМА

Ошибочное доказательство последней теоремы Ферма, предложенное Мияокой, базировалось на так называемой философии параллелизма. В рамках этой философии, основанной на общих принципах, которые сформулировал в 1970-е годы канадский математик Роберт Ленглендс в так называемой программе Ленглендса, задачи теории чисел предлагалось решать с использованием методов алгебраической геометрии. Именно таким образом немецкому математику Герду Фалтингсу удалось доказать гипотезу Морделла. Тот же Фалтингс был одним из экспертов, которые занимались проверкой доказательства, и именно он обнаружил ошибку в рассуждениях японского математика. Несмотря на отчаянные усилия Мияоки, исправить ошибку так и не удалось.

Роберт Ленглендс на 61-й годовщине математика Пьера Делиня в Принстоне, которая отмечалась в 2006 году.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси)}

* * *

Флах, Кац и свет в конце туннеля

Однако, к разочарованию Уайлса, теория Ивасавы оказалась не столь полезной, как он рассчитывал. В его словах ясно читается разочарование:

«Я искренне верил, что иду по верному пути, но это не означало, что я мог бы достичь цели. Возможно, что нужные методы были бы… найдены в ближайшие сто лет. Поэтому, даже если бы я был на правильном пути, могло случиться так, что я жил не в том веке».

После пяти лет затворничества Уайлс решил немного развеяться и восстановить связь с бывшими коллегами, среди которых был и его руководитель, Джон Коутс. Он похвально отзывался о работе одного из своих учеников, Матиаса Флаха, — тот, используя результаты российского математика Виктора Колывагина, разработал мощный инструмент, который мог применяться для укрощения неподдающихся эллиптических уравнений. По словам Уайлса, казалось, что этот инструмент был «создан специально». Требовалось лишь расширить частичные результаты Колывагина — Флаха, чтобы охватить все случаи теоремы Ферма, и Уайлс принялся за дело с новой силой. После нескольких месяцев упорного труда, казалось, новая тактика начала приносить желаемые плоды, но Уайлса не покидали сомнения. Сложное доказательство основывалось на недавно созданном методе, о способах применения которого все еще велись споры. Пришло время посвятить других в секрет Уайлса и организовать небольшой заговор.

Помощником и осведомителем Уайлс выбрал своего сокурсника, эксперта в той области алгебры, которую использовали Флах и Колывагин. Ник Кац так вспоминает о моменте, когда Уайлс раскрыл ему суть проекта, над которым работал последние шесть лет: «Был январь 1993 года. Эндрю пришел ко мне во время вечернего чая и попросил зайти в его кабинет, чтобы обсудить один вопрос. Я не имел никакого представления, о чем могла пойти речь. Я зашел в его кабинет и закрыл за собой дверь. Он сказал, что близок к тому, чтобы доказать гипотезу Таниямы — Симуры. Я был изумлен. Это было что-то невероятное».

Уайлс выбрал Каца не только за его знания, но и потому, что был уверен: Кац сохранит все в тайне. И он не ошибся. Нужно было организовать совместную работу так, чтобы вместе обсуждать доказательство и рассматривать уравнения, но при этом не вызвать подозрений у коллег. Уайлс и Кац нашли остроумный выход. Первый объявил, что будет вести новый курс в докторантуре под названием «Вычисления на эллиптических кривых». Как и все подобные курсы, его могли посещать студенты и преподаватели. Программой курса было не что иное, как поэтапное изложение доказательства Уайлса. Кац записался на этот курс и мог спокойно проверять различные этапы доказательства, не вызывая никаких подозрений. Немногие докторанты, которые записались на курс, быстро перестали ходить на занятия: материал оказался для них слишком сложен. «На этом уровне, если вы не знаете, какова цель вычислений, то проследить за ними невозможно. Более того, следить за сложными выкладками трудно даже в том случае, когда вам известно, куда они ведут. Через несколько недель я остался единственным слушателем», — вспоминает Кац.

* * *

ОЗАРЕНИЯ

Во время работы над теорией Ивасавы применительно к доказательству теоремы Ферма Уайлс любил гулять у озера неподалеку от университета, чтобы расслабиться и, как говорил он сам, «дать подсознанию поработать». Уверенность в том, что подсознание всегда работает над решением задачи, присуща всем творческим личностям, и в особенности математикам. Французский математик Анри Пуанкаре живо описывает подобное озарение в тот миг, когда он понял, что фуксовы функции (позднее они получили название автоморфных) связаны с геометрией Лобачевского: «Тогда я уехал из Кана… чтобы записаться на геологическую экскурсию. События, произошедшие в пути, заставили меня забыть о моей работе по математике. <…> Мы переезжали с места на место на омнибусе. И ровно в тот момент, когда я поставил ногу на ступеньку, ко мне неожиданно пришла мысль, никак не связанная с тем, о чем я думал до этого. <…> По возвращении в Кан я спокойно проверил мою догадку».

* * *

Сотрудничество оказалось плодотворным, и, кроме того, Кац не мог найти в доказательстве Уайлса ни единой ошибки. Для пущей уверенности Уайлс посвятил в заговор еще одного человека — Питера Сарнака, своего коллегу по Принстонскому университету. «Думаю, что я вот-вот докажу последнюю теорему Ферма», — признался Уайлс потрясенному Сарнаку. «В ту ночь я не смог сомкнуть глаз», — признается последний.

Однако нужно было преодолеть еще одно, последнее препятствие. Некоторые эллиптические кривые по-прежнему не поддавались. Именно тогда на горизонте снова возникла фигура Барри Мазура: именно его статья навела Уайлса на мысль изменить один из рассматриваемых параметров. Уайлс вспоминает:

«Я уточнял детали доказательства, время летело незаметно, и в тот день я даже забыл поесть. Настало время пить чай, я спустился с чердака, и Нада (жена Уайлса. — Примеч. автора) удивилась, почему я спустился так поздно… и я сказал, что, по-моему, доказал последнюю теорему Ферма. Я был уверен, что решение было у меня в руках. Джон Коутс, мой руководитель в Кембридже, через несколько дней собирался провести конференцию. Мне показалось, что именно эта конференция как нельзя лучше подойдет, чтобы представить мое доказательство. Это был мой старый дом, именно там я защитил докторскую».

Конференция в Кембридже должна была состояться через несколько дней, с 21 по 23 июня, и Уайлс неутомимо приводил в порядок результаты последних семи лет работы. Окончательный вариант рукописи насчитывал 200 страниц и был закончен как раз тогда, когда нужно было садиться на самолет и лететь в Великобританию.

Обложка видеокассеты с фильмом о последней теореме Ферма. Фильм был снят в июле 1993 года. В него вошли интервью с различными математиками, в частности, Эндрю Уайлсом и Кеном Рибетом.

Утреннее письмо

Англичанин Джон Хортон Конвей в 1993 году был ярчайшей звездой на кафедре математики Принстонского университета. Он был признанным экспертом в геометрии, теории групп и теории игр. Кроме того, он изобрел один из первых и самых популярных клеточных автоматов — игру «Жизнь». 23 июня Конвей, не изменявший привычке рано вставать, первым открыл двери кафедры. Несколько недель назад один из его коллег, Эндрю Уайлс, отправился на конференцию в Кембридж, и в течение уже нескольких дней до Конвея, активного члена международного математического сообщества, доносились самые разные слухи. Говорили, что Уайлс достиг выдающегося, удивительного результата, однако подробности были неизвестны. С первыми лучами утренней зари, осветившими горы бумаг и книг, которыми был заполнен его кабинет, Конвей включил компьютер, чтобы прочитать почту, пришедшую прошлой ночью. Одним из последних загрузилось письмо, написанное в 5 часов 53 минуты. Его тема звучала просто: «Уайлс доказал великую теорему Ферма».

«Эндрю, я все равно не понимаю»

Уайлс вернулся в Принстон в пятницу. Он чувствовал себя эмоционально опустошенным. «Почти семь лет я только и делал, что работал над этой задачей, — признался Уайлс. — И вскоре все отошло на второй план. Я забыл, каково это — вставать утром и думать о чем-то другом». На Уайлса обрушился шквал поздравлений. Некоторые благодарили его за то, что смогли при жизни увидеть доказательство теоремы Ферма. Резонанс был столь велик, что (небывалый случай!) американский журнал People включил Уайлса в список 25 самых интригующих людей года.

Достижение Уайлса еще было темой репортажей и телепередач, а научный мир уже приступил к неблагодарному, но необходимому занятию: доказательство должен был проверить комитет экспертов. Это было необходимо, чтобы подтвердить его правильность. Для такого сложного доказательства, окончательный вариант которого занимал почти 200 страниц, проверка могла занять несколько месяцев. Хотя в ходе подобных проверок не раз выявлялись грубые ошибки (например, как было за пять лет до этого с доказательством Мияоки), почти все считали, что это лишь простая формальность, учитывая, насколько тщательно Уайлс проверил свое доказательство. Никто также не думал, что доказательство будет полностью безошибочным: как правило, эксперты находят мелкие неточности, которые в большинстве случаев не влияют на ход решения и которые можно легко исправить.

Уайлс решил опубликовать доказательство в научном журнале «Математические открытия» (Inventiones Mathematicae), редактором которого был не кто иной, как Барри Мазур. Мазур поручил проверку группе экспертов, среди которых были Герд Фалтингс и Ник Кац. Последний весь июль и август строчку за строчкой проверял доказательство Уайлса, в частности, его третью главу объемом в 70 страниц. Каждый день проверка проходила по одному и тому же принципу: если Кац сомневался в каком-то этапе доказательства, он отправлял сообщение Уайлсу, который всегда с удовольствием отвечал. За исключением одного случая.

Кац проверил примерно две трети главы, когда не смог понять очередной этап доказательства. Он требовал применения сложного математического инструмента — системы Эйлера, которая была взята из работ Колывагина — Флаха. И Кац, и Уайлс проверили эту, одну из самых запутанных, частей доказательства во время придуманного ими курса.

На этот раз вместо письма по электронной почте Кац отправил свои вопросы по факсу. Уайлс ответил с привычной быстротой, Кац остался неудовлетворен ответом и повторил вопрос, добавив невинную фразу: «Эндрю, я все равно не понимаю». Они опять обменялись факсами, и снова безуспешно. В сентябре Уайлсу не осталось другого выбора, кроме как признать, что в доказательстве что-то не так.

Сначала Уайлс пробовал справиться с проблемой, внося различные поправки в систему Колывагина — Флаха. Он снова уединился в своей комнате на чердаке и стал работать в полном одиночестве.

Несмотря на все усилия, ему не удавалось исправить ошибку в рассуждениях, которая мешала получить необходимую систему Эйлера. Давление усиливалось. Кац вспоминает: «В октябре о существовании ошибки знали я сам, Илюзи (Люк Илюзи, французский математик, к которому Кац обратился за помощью в июле. — Примеч. автора), те, кто проверял остальные главы, и сам Эндрю. <…> Я действовал так же, как поступил бы любой эксперт: сохранял полную конфиденциальность». Хотя все ожидали, что проверка может занять несколько месяцев, в разгар осени 1993 года математическое сообщество заподозрило наличие серьезной ошибки и начало проявлять нетерпение. Электронные почтовые ящики кафедры дымились от писем со всевозможными предположениями. (Саймон Сингх цитирует одно из писем, которое лучше всего демонстрирует настроения специалистов. Письмо датировано 18 ноября, его автор — Джозеф Липман из Университета Пердью. «Циркулирует множество слухов об одном или нескольких пробелах в доказательстве Уайлса. Но что означает пробел — небольшую трещину, расщелину, расселину, ущелье или бездну?»). В целом после феноменального выступления на июньской конференции никто, кроме экспертов, занимавшихся проверкой доказательства, не имел возможности увидеть его официальную версию. Давление, оказываемое на Уайлса, росло, и журналисты начали задавать вопросы тем, кто был близок к нему или что-то знал о его доказательстве.

Математик Ник Кац, который первым начал сотрудничать с Уайлсом в поисках доказательства, а позднее вошел в комитет по оценке его работы.

_{(фотография: С. Моззочи, Принстон, Нью-Джерси).}

* * *

СЛИШКОМ БОЛЬШОЙ КОВЕР

В телепрограмме 2000 года, посвященной Эндрю Уайлсу и доказательству теоремы Ферма, Питер Сарнак так описывает его усилия, направленные на то, чтобы исправить ошибку: «Всякий раз, когда ему удавалось исправить какую-то часть своих вычислений, какая-нибудь другая трудность возникала в другой части доказательства. Дело обстояло так, будто Уайлс пытается расстелить в комнате ковер, который больше комнаты: стоило Эндрю добиться, чтобы расстелить ковер ровно в одном углу, как в другом углу тотчас же возникали складки. Но расстелить ковер так, чтобы он лег без складок по всей комнате, Уайлсу никак не удавалось».

* * *

В конце ноября решение все еще не было найдено, и 4 декабря Уайлс разместил в новостной группе Sci.math такое сообщение:

«В связи с появлением домыслов, касающихся моей работы над гипотезой Таниямы — Симуры и теоремой Ферма, я предлагаю вашему вниманию краткое изложение текущей ситуации. В ходе проверки возник ряд проблем, большинство из которых были устранены, за исключением одной… Я уверен, что мне удастся в ближайшее время восполнить пробел, используя те идеи, которые были изложены в моих кембриджских докладах. Большой объем работы, который еще предстоит проделать над рукописью, не позволяет мне издать ее в черновом виде. Я подробно расскажу о своей работе в курсе лекций, который я проведу в Принстоне начиная с февраля.

Эндрю Уайлс».

Все, кто был вовлечен в работу, и особенно сам Уайлс, попали в очень неловкую ситуацию. Позднее Уайлс сказал:

«Первые семь лет, когда я работал над задачей, я наслаждался каждой минутой. Несмотря на все трудности и многочисленные препятствия, которые в свое время казались мне непреодолимыми, я продолжал бой. Но публичная работа над исправлением доказательства не доставляла мне ни малейшего удовольствия. Мне пришлось заниматься математикой на виду у всего мира, что совершенно не в моем вкусе. Надеюсь, что подобное никогда не повторится».

По совету Сарнака, Уайлс попросил помощи у своего бывшего ученика Ричарда Тейлора, блестящего молодого математика. Оба засучив рукава принялись за работу, но, несмотря на все усилия, почти весь 1994 год им никак не удавалось изменить метод Колывагина — Флаха в соответствии с доказательством.

Озарение

Осенью того же года Уайлс, отчаявшийся, подавленный, исчерпавший силы до предела, поднял белый флаг. Он был не в силах восстановить доказательство. Исключительно из профессиональной гордости он вернулся на три года назад и стал проверять метод Колывагина — Флаха с самого начала, чтобы по меньшей мере определить, почему столь многообещающее направление в итоге привело его в тупик. Уайлс сел за тот же самый стол, который был свидетелем его славы, а затем — череды неудач.

Утро понедельника, 19 сентября, Уайлс навсегда запомнил в мельчайших подробностях:

«Я пытался найти ошибку, как вдруг внезапно, совершенно неожиданно на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина — Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Это был самый… самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Решение было неописуемо прекрасно, просто и элегантно».

Двадцать минут Уайлс с недоверием смотрел на исписанные листы, и его глаза наполнялись слезами.

«Остаток дня я ходил по кафедре. Потом я вернулся в кабинет, чтобы убедиться, что я не ошибся. И я действительно не ошибся. Мне стало ясно, что от метода Колывагина — Флаха я могу взять все необходимое для того, чтобы сделать эффективным мой первоначальный подход трехлетней давности. Так из руин и пепла метода Колывагина — Флаха возникло правильное решение задачи. Прошла ночь, и я снова начал проверять решение. В 11 утра я убедился, что все в порядке. Я вернулся домой и сказал жене: "Я нашел его. Думаю, что мне удалось найти его". И это было так неожиданно… Думаю, она решила, будто я говорю о детской игрушке, и спросила: "Что ты нашел?" И я ответил: "Я исправил доказательство. Мне это удалось"».

Нада отмечала день рождения 3 октября, и супруг преподнес ей удивительный подарок, пусть и на несколько дней раньше. Следующие несколько дней Тейлор и Уайлс подробно проверяли новое, исправленное доказательство, и не нашли ни единой ошибки. Меньше месяца спустя были опубликованы две рукописи. Авторство одной из них, достаточно объемной, с названием «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», принадлежало Эндрю Уайлсу. Другая, более короткая, называлась «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» и принадлежала перу Уайлса и Ричарда Тейлора. В первой содержалось доказательство гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильных эллиптических кривых. Один из важнейших этапов доказательства был основан на материале второй рукописи. Обе рукописи были подробно прокомментированы и представлены к публикации в научном журнале «Анналы математики». Эксперты не обнаружили ошибок, и рукописи были опубликованы в майском номере журнала за 1995 год.

Медаль, которая никогда не была выдана

Математики всего мира могли вздохнуть с облегчением. Удивительное достижение Уайлса, в успех которого уже почти перестали верить, было удостоено всех возможных научных наград: премии Вольфа, одной из наиболее престижных и крупных премий в математике, в 1995 году; премии Шока в том же году; медали Лондонского королевского общества и премии Островского в 1996 году; премии Коула в области теории чисел в 1997 году (ранее этой премии были удостоены Горо Симура, Барри Мазур и Карл Рубин) и, разумеется, премии Ферма, учрежденной в 1989 году, чтобы поощрять исследования в тех областях, где работал сам Ферма. В 1998 году он получил премию Файзала, в 1999-м— награду Математического института Клэя.

Первая страница работы Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма», опубликованной в журнале «Анналы математики».

Не будем забывать и о премии Вольфскеля, которая значительно обесценилась из-за гиперинфляции 1930-х годов в Германии, но тем не менее составила внушительные 30 000 фунтов.

Однако в коллекции наград, полученных Уайлсом, недостает одной, но очень важной: Филдсовской медали. Эта премия, которая вручается раз в четыре года, была учреждена в 1936 году канадским математиком Джоном Чарльзом Филдсом и присуждается на заседании Конгресса, проводимого под эгидой Международного математического союза. Размер премии относительно скромен, около 10000 евро, но эта премия вне всяких сомнений является самой престижной в математике. Филдс хотел поддержать молодых математиков, поэтому ограничил возраст лауреатов 40 годами. Многие полагают, что пик творческой активности приходится на третье десятилетие жизни, поэтому считают Филдсовскую премию справедливой наградой, присуждаемой за выдающийся вклад в математику. К сожалению, к моменту церемонии 1994 года Уайлсу уже исполнился 41 год. Однако Международный конгресс математиков не мог остаться в стороне. Было принято решение впервые в истории премии присвоить Уайлсу почетный титул и вручить ему серебряную табличку в знак признания его выдающихся заслуг.

Эпилог. Есть ли жизнь после Ферма?

В знаменитом докладе на конференции в 1900 году, посвященном положению дел в математике начала XX века, немецкий математик Давид Гильберт писал: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Говоря о теореме Ферма, он добавил: «Проблема доказательства этой неразрешимости являет собой яркий пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная задача. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь… является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций».

Гильберт прочел свой доклад за много лет до того, как появились работы Морделла, Таниямы — Симуры и Фрая. Разумеется, он не мог даже представить, каким образом Уайлсу удастся найти доказательство. Кто мог предположить, что эти работы помогут совершить небывалый прорыв в математике? Танияма и Симура установили удивительную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Кто знает, между какими разделами математики, которые сейчас кажутся совершенно независимыми, в будущем будет найдена неожиданная взаимосвязь?

Тем не менее, не отрицая всю важность доказательства последней теоремы Ферма, стоит отметить, что оно намного важнее как своеобразный катализатор будущих исследований. В течение многих веков задача Ферма возвышалась, словно неприступная цитадель, и копья математиков разбивались о ее стены. Уверенность Уайлса в том, что он практически в одиночку сможет решить задачу такого масштаба, несомненно, вдохновит других посвятить себя решению других открытых задач, которые сейчас представляются нерешаемыми.

Что говорит по этому поводу сам Уайлс? Из-за его природной скромности не стоит ожидать от него каких-то громких фраз. Однако эту книгу можно закончить только его словами, которые он произнес, когда было окончательно утверждено его второе доказательство и сбылась мечта всей его жизни:

«Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если в зрелом возрасте вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав великую теорему Ферма, я не мог не ощутить потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».