Степенные ряды

Вейерштрасс открыл, что одинаковые идеи работают и с комплексными числами, и с действительными. Любое комплексное число z = x + iy имеет модуль , что, согласно теореме Пифагора, равно расстоянию от 0 до z на комплексной плоскости. Если мерить величину комплексного выражения с помощью его модуля, то определения предела, ряда и т. п., сформулированные для действительных чисел еще Больцано, тут же перенесутся в область комплексного анализа.

Вейерштрасс отметил, что один особый вид бесконечного ряда кажется особенно полезным. Он известен как степенной ряд и выглядит как многочлен бесконечной степени:

f(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + a₃z³ + …,

где коэффициенты a_n – конкретные числа. Вейерштрасс углубился в исследование этого вопроса, стремясь полностью провести комплексный анализ степенных рядов. Результаты вышли блестящими.

Например, вы можете описать экспоненциальную функцию выражением:

e^z = 1 + z + ¹/₂ z² + ¹/₆ z³ + ¹/₂₄ z⁴ + ¹/₁₂₀ z⁵ + …,

где 2, 6, 24, 120 и т. д. являются факториалами – произведениями последовательности целых чисел (например, 120 = 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5). Эвристически Эйлер уже выводил эту формулу, теперь же Вейерштрасс получил ее логическим путем. В очередной раз использовав страницы из книги Эйлера, он сумел преобразовать тригонометрические функции в экспоненциальные, определив:

cos ? = ¹/₂ (e^i? + e^–i?),

sin ? = ¹/_2i (e^i? – e^–i?).

Все стандартные свойства этих функций вытекают из их выражений в виде степенного ряда. Вы даже можете определить ? и доказать, что e^i? = –1, как утверждал Эйлер. И из этого, в свою очередь, вытекает, что комплексные логарифмы ведут себя именно так, как описывал Эйлер. Всё это наполнилось смыслом. Комплексный анализ перестал быть загадочным продолжением вещественного анализа: он превратился в самостоятельный серьезный предмет. На поверку вышло, что подчас работать в комплексной области даже проще, чтобы выразить в конце вещественный результат.

По Вейерштрассу, все эти достижения были лишь началом – первым этапом грандиозной программы. Но главное – были получены правильные основания. Теперь математики могли без опасений продолжать строить всё более сложное здание нового раздела науки.

Вейерштрасса отличал поразительно светлый ум, открывавший ему путь в самых сложных хитросплетениях пределов, производных и интегралов. И он не сбивался с выбранного курса. Также он заранее видел потенциально трудные места. Одна из его самых удивительных теорем доказывала, что существует функция f(x) от действительной переменной x, непрерывная в любой точке, но не дифференцируемая ни в одной точке. Графиком такой функции является непрерывная кривая, но ее изгибы так прихотливы, что мы не можем провести ни одну касательную к ней. Его предшественники не верили в такую возможность, современники недоумевали, к чему ведет такая теорема. А его последователи развили теорему в самую захватывающую новую теорию ХХ в. – теорию фракталов.

Но об этом мы поговорим позже.

ГИПОТЕЗА РИМАНА

Самой известной нерешенной проблемой для всех математиков является гипотеза Римана: вопрос комплексного анализа, возникший в связи с простыми числами, отразился в итоге на всей математике.

Примерно в 1793 г. Гаусс предположил, что количество простых чисел, меньших х, приблизительно равно x/ln x. На самом деле он сделал более точное приближение, названное интегральным логарифмом. В 1737 г. Эйлер отметил многообещающую связь между теорией чисел и анализом: бесконечный ряд

1 + 2^–s + 3^–s + 4^–s + …

равен произведению, по всем простым р, следующего ряда:

1 + p^–s + p^–2s + p^–3s + … = 1/(1 – p^–s).

Здесь мы должны взять s > 1, чтобы ряд сходился.

В 1848 г. Пафнутий Чебышёв добился некоторого прогресса в доказательстве предположения Гаусса, используя комплексную функцию, родственную рядам Эйлера и позже названную дзета-функцией ?(z). Роль ее полностью осветил Риман в 1859 г. в своей статье «On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude» («О числе простых чисел, не превышающих заданной величины»). Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, т. е. решениями z уравнения ?(z) = 0.

В 1896 г. Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен использовали дзета-функцию для доказательства теоремы о распределении простых чисел. Главной трудностью было показать, что ?(z) не равна 0 для всех z вида 1 + it. Чем лучше мы контролируем расположение нулей дзета-функции, тем больше узнаем о простых числах. Риман предположил, что все нули, за исключением тривиальных (получающихся при z, равной отрицательным четным целым числам), расположены на критической прямой z = ¹/₂ + it.

В 1914 г. Харди доказал, что на этой прямой располагается бесконечное множество нулей. Мощные компьютерные данные позже подтвердили эту гипотезу. Себастьян Веденивский с помощью компьютерной программы ZetaGrid в 2001–2005 гг. удостоверил, что первые 100 миллиардов нулей лежат именно на критической прямой.

Гипотеза Римана отмечена номером 8 в знаменитом списке нерешенных кардинальных математических задач, составленном Давидом Гильбертом и содержащем 23 пункта. Кроме того, это одна из задач тысячелетия, за решение которой Математический институт Клея предлагает миллион долларов.