Пределы

Идеи Больцано дали толчок дальнейшему усовершенствованию. Он сделал возможным определение предела бесконечной последовательности чисел и, следовательно, ряда, который является суммой бесконечной последовательности. Так, его формализм подразумевает:

1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₆ + …

и т. д. до бесконечности. Это осмысленная сумма, и ее величина точно равна 2. Не чуть-чуть меньше, не бесконечно малой величине меньше 2, а ровно 2. Чтобы понять, как это работает, предположим, что у нас есть последовательность чисел:

a₀, a₁, a₂, a₃, …

и т. д. до бесконечности. Мы можем сказать, что a_n стремится к пределу a по мере того, как n стремится к бесконечности, если для любого числа ? > 0 существует такое число N, что разница между a_n и а меньше, чем ?, для любого n > N. (Символ ?, один из традиционно используемых математиками, – греческая буква эпсилон.) В этом определении все числа конечные – никаких бесконечно малых или бесконечно больших. В дополнение к бесконечному ряду выше взглянем на его конечные суммы:

a₀ = 1,

a₁ = 1 + ¹/₂ = ³/₂,

a₂ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄ = ⁷/₄,

a₃ = 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ = ¹⁵/₈

и т. д. Разница между a_n и 2 равна 1/2ⁿ. Чтобы сделать ее меньше ?, мы берем n > N = log₂ (¹/_?).

Ряд, имеющий конечный предел, называют сходящимся. Конечная сумма определяется как предел последовательности конечных сумм, полученных добавлением всё новых ее элементов. Если такой предел существует, ряд сходящийся. И производные, и интегралы – лишь разновидности пределов. Они существуют – иными словами, обретают математический смысл – при условии, что их пределы сходятся. Пределы, как отмечал Ньютон, – некая величина, которая позволяет определить, как некое другое число приближается к бесконечности или 0. Но при этом число не может достичь бесконечности или 0.

Сегодня исчисление в целом опирается на непоколебимый фундамент. Ранее его главным недостатком было то, что, прежде чем прибегнуть к поиску предела, никто не интересовался, есть ли вообще сходимость. Лучшим способом сделать это было бы доказательство еще нескольких более общих теорем о том, какие виды функций непрерывны, или дифференцируемы, или интегрируемы, и какие последовательности и ряды сходятся. Именно этим и занялись математики, и именно поэтому мы можем уже не тревожиться из-за нестыковок, отмеченным епископом Беркли. Поэтому мы больше не противимся использованию рядов Фурье: теперь можно точно определить, когда они сходятся, а когда нет, и уж, во всяком случае, четко понять, в каком смысле они сходятся. Существует достаточно возможностей выбрать тот ряд Фурье, который вам нужен.