2. Пример задачи целочисленного программирования

Допустим, нам нужно отправить грузовики с товаром к двум разным клиентам. Всего у нас в разных точках четыре грузовика. Обозначим через cij цену отправки грузовика i=1,2,3,4 к клиенту j=1,2. На любую доставку требуется полдня. Доставку можно осуществить либо утром (первая половина дня), либо днем (вторая половина дня). Нужно решить, к какому клиенту какой грузовик поедет и в какой момент времени.

Введем переменные x_ijt, i=1,2,3,4; j=1,2; t=1,2. Эти переменные могут принимать значение 0 или 1. Например, если грузовик 3 едет к клиенту 2 в первой половине дня, то x₃₂₁=1. Если этого не происходит (то есть грузовик 3 в первой половине дня никуда не едет или едет к другому клиенту), то x₃₂₁=0.

В нашей небольшой задаче всего 4?2?2=16 переменных, то есть ее можно решить и вручную.

Целевая функция – это цена доставки, и вычисляется она очень просто:

Например, если грузовик 3 едет к клиенту 2 в первой половине дня, то x₃₂₁ = 1 и мы прибавим к общей стоимости c₃₂. А если грузовик 3 к клиенту 2 не поедет, тогда x₃₂₁ = x₃₂₂ = 0 и c₃₂ не войдет в общую сумму.

Самое интересное – это ограничения. Например, грузовик i не может поехать к двум клиентам в одно и то же время. Это можно записать в виде ограничения:

x_i1t + x_i2t ?, i =1,2,3,4; t =1,2.

Тогда для любого i и t только одно (или ни одно) из значений х_i1t или х_i2t может равняться единице.

Еще одно универсальное ограничение: к клиенту j нужно послать только один грузовик, то есть

Ограничения могут учитывать особенности каждого грузовика, клиента и другие факторы. Например, мы не хотим, чтобы грузовик 3 работал утром (скажем, у этого грузовика запланирован техосмотр). Тогда мы просто включим ограничение:

x₃₁₁ + x₃₂₁ = 0.

Теперь допустим, что это условие желательное, но необязательное. Тогда к целевой функции можно добавить дополнительное слагаемое, которое будет означать штраф за невыполнение условия:

c_штраф (x₃₁₁ + x₃₂₁).

Заметьте, что это слагаемое действительно добавится, только если грузовик 3 работал в утреннюю смену. Естественно, оптимальное решение будет зависеть от коэффициента c_штраф. Если он больше любого c_ij в целевой функции, то оптимальный вариант – не задействовать грузовик 3 с утра. А если коэффициент с_штраф маленький, то, возможно, грузовик 3 все равно задействуют, если это обеспечит более низкую цену доставки.

В виде линейных ограничений можно записать самые разные условия. Например, мы хотим, чтобы грузовик 3 либо работал, либо не работал обе половины дня. Тогда мы вводим ограничение

x₃₁₁ + x₃₂₁ = x₃₁₂ + x₃₂₂. (П.2)

Это условие можно несколько усложнить. Например, если грузовик 3 в первой половине дня поехал к клиенту 1, то мы хотим, чтобы он работал и во второй половине дня. Как это записать в виде линейного неравенства? Часто используется такой прием. Вводим достаточно большое значение М и записываем:

(x₃₁₁ + x₃₂₁) ? (x₃₁₂ + x₃₂₂) ? M (1 ? x₃₁₁).

Если x₃₁₁=1, то значение справа при любом М равно нулю. Тогда неравенство выполняется (и на самом деле является равенством), только если x₃₁₂ + x₃₂₂=1 (вспомните, что x₃₁₁ + x₃₂₁=1). Но если x₃₁₁=0, то М можно выбрать достаточно большим, чтобы ограничение не играло никакой роли. В данном случае, кстати, достаточно, чтобы М=1. Для увеличения скорости решения М стараются выбирать «экономно» – не больше, чем нужно.

Есть еще множество интересных приемов записи обязательных и желательных условий в виде линейных выражений, но их более подробное описание выходит за рамки нашей книги.