Глава 6 Эпоха доказательств. Продолжение
Глава 6
Эпоха доказательств. Продолжение
Их было много. Очень много. Не меньше тысячи.
Так или иначе, раньше или позже судьба сталкивала их с пятым постулатом, и они погружались в манящий лабиринт теорем.
Выхода не находил никто.
Иные запутывались в самом начале, иные проходили дальше, но итог был неизменно постоянен.
Некоторые отдавали этой безнадежной задаче всю жизнь, другие вовремя отступали.
Иные доходили до нервного потрясения, мистицизма и отчаяния, иные же философски спокойно бросали в корзину листки своих выкладок. Но итог был неизменен.
Некоторым улыбался мираж, и они пребывали в счастливой уверенности, что выбрались наружу. Но итог оставался неизменен.
Они повторяли пути предшественников, не зная, что идут уже проверенным и отброшенным путем, часто им светила надежда, и казалось, что нужно лишь одно решительное усилие. Но итог всегда бывал один.
Дилетанты, профессионалы, наивные посредственности и талантливейшие математики; греки, арабы, персы, европейцы — те, кто запутывался на первых шагах, и те, кто сражался долго, упорно и изобретательно — более двух тысяч лет, — всех их ждал один конец.
Пятый постулат был неприступен. Он относился, казалось, к тем задачам, что никогда не будут решены при помощи человеческого ума.
Но раз уж мы пленились возвышенным стилем, то можно сказать, что математики точно следовали девизу, высеченному на могиле капитана Скотта:
«Бороться и искать,
Найти и не сдаваться».
И подобно бескрайним снегам, пятый постулат поглощал одного за другим.
Большинство не оставили после себя каких-либо следов. Они исчезли бесследно. Но некоторые гибли достойно, оставив по себе добрую память.
На кладбище жертв «пятого» одно из самых почетных мест по праву принадлежит Анри Лежандру.
Лежандр был, возможно, наиболее крупным математиком среди тех, кто попал под гипноз пятого постулата. Он занимался им долгие годы, подступал к чудовищу то с одной, то с другой стороны. Находил и опровергал, предлагал одно доказательство за другим, переходил от уверенности в успехе к полному разочарованию, снова надеялся на удачу, но под конец все же сам заключил, что точного решения не найдено. Признание содержится уже в самом названии резюмирующей работы, опубликованной им в последние годы жизни (1833 г.), «Размышления о различных способах доказательства теории параллельных линий или теоремы о сумме углов треугольника».
Как часто бывает в науке, это осторожное, обширное и в итоге пессимистическое исследование появилось тогда, когда уже было найдено решение и в «Вестнике Казанского университета» была напечатана первая работа Лобачевского.
Впрочем, тут удивляться не приходится. Но вот то, что ровно через двадцать лет наш русский академик В. Я. Буняковский, который, уж во всяком случае, обязан был знать работы Лобачевского, опубликовал аналогичное исследование, — это грустный факт. Еще раз обращаю ваше внимание на поразительный, почти анекдотический характер этого события. Впрочем, разговор о нем еще впереди.
В своих многолетних попытках доказать пятый постулат Лежандр проявил и настойчивость и замечательную изобретательность.
Во-первых, он очень изящно доказал несколько теорем «абсолютной геометрии». Во-вторых, доказывая «пятый» от противного, он, по существу, нашел ряд теорем геометрии Лобачевского. Доказывал он не непосредственно «пятый», а его эквивалент — «сумма углов треугольника равна ?».
Прежде всего он доказывает эквивалентность.
Уже по нашей доморощенной теореме, когда на эквивалентность с «пятым» исследовался постулат: «перпендикуляр и наклонная пересекаются», можно было почувствовать, как тесно связан «пятый» с теоремой о сумме углов треугольника.
Но, конечно, доказательства эквивалентности этой теоремы и пятого постулата мы не дали.
Полное доказательство эквивалентности любых двух утверждений содержит две части.
1. Доказывается: «Если принять утверждение A, то из него следует утверждение B».
2. Доказывается обратная теорема: «Если принять утверждение B, то из него вытекает утверждение A».
В нашем случае надо доказать:
Если справедлив «пятый» — сумма углов треугольника равна ?.
Эта первая часть доказательства — известная теорема и приводится во всех школьных учебниках геометрии. Вторую половину задачи решает Лежандр, и решает безукоризненно. Посмотрим, как он действовал. Во-первых, он доказывает:
1. Сумма углов треугольника не может быть больше ?.
Доказывает безукоризненно строго. Конечно, не используя пятого постулата. И даже дает два варианта доказательства. Оба правильные. Метод доказательства — испытанное оружие «reductio ad absurdum». Предполагается, что существует треугольник, сумма углов которого равна (? + ?), и показывается, что в этом случае мы непременно придем к противоречию. Доказательства довольно просты.
Я не повторяю их потому, что для любителей геометрии весьма привлекательно получить этот результат самостоятельно.
Далее идут несколько вспомогательных теорем, и он доказывает очень важное утверждение:
2. Если сумма углов в каком-либо одном треугольнике равна ?, то она равна и во всяком другом треугольнике.
Все доказывается без привлечения пятого постулата. Средствами абсолютной геометрии.
Теперь все подготовлено для последней теоремы этого цикла — доказательства эквивалентности:
3. Если сумма углов треугольника равна ?, справедлив постулат Евклида. Вообще говоря, если принять первые два утверждения, то эквивалентность сразу можно доказать с помощью «нашей» теоремы. Предоставляю читателям самостоятельно проверить это утверждение. Кстати, можно признаться, что примерно так и доказывал Лежандр. Остается получить только одно:
4. Сумма углов треугольника не может быть меньше ?.
Только это! И пятый постулат доказан.
И Лежандр решает эту задачу.
Доказательство Лежандра великолепно.
Оно изящно. Просто. Неожиданно.
В нем есть все, что восхищает нас в математике. Кроме одного.
Оно неверно.
Но внимания оно заслуживает.
Метод — снова доказательство от противного. Перед нами ? ABC. С него мы начинаем. Он главный. И сумма его углов по предположению равна (? – ?).
Стороны угла A мы продолжим до бесконечности. Это понадобится в дальнейшем.
Теперь — вспомогательное построение.
На стороне BC строим еще один точно такой же треугольник. Он виден на чертеже — это ? BCD.
Построили мы его так, что сторона BD = AC, а сторона CD = AB. Легко убедиться, что сделать это всегда возможно. И теория параллельных пока никак не вмешивается в наши рассуждения. Теперь из точки D проведем какую-либо прямую. К ней предъявляется единственное требование. Она должна пересечь обе стороны угла А. Вроде бы очевидно, что можно найти не одну, а много прямых, удовлетворяющих этому условию.
Остановимся.
Все. Задача решена. Пятый постулат уже доказан. Остальное дело очень несложной техники. Посмотрите на чертеж. Сумма углов в треугольнике CDF и BED непременно меньше ?. Действительно, теорема 1 запрещает ей быть больше ?, а теорема 2 плюс существование ? ABC исключают возможность быть равной ?.
Насколько меньше, нам совершенно неважно. Более того, на самом деле нам нужно только одно: сумма углов в этих треугольниках не должна превышать ?. Теперь остались мелочи. Посмотрим на большой ? AEF. И найдем сумму его углов. Проделаем это несколько окольным путем.
Всего у нас четыре маленьких треугольника. Сумма всех их углов равна: 2(? – ?) + (? – ?) + (? – ?) = 4? – 2? – ? – ?.
Теперь обратим внимание на то, что эту же сумму можно записать несколько по-другому. Из углов наших маленьких треугольников у точек С, В и D организуются три угла, равные ? каждый. Остаются еще углы у вершин A, E и F. Но сумма этих углов и есть сумма углов ? AEF.
Итак:
сумма углов ? AEF + 3? = 4? – 2? – ? – ?.
И потому:
сумма углов ? AEF + 3? = 4? – 2? – ? – ?.
Теперь начинается цепная реакция. Дословно повторив все наше построение для ? AEF, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (? – 4?). Далее, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (? – 8?). Короче, как бы ни было мало ?, мы сможем построить такой треугольник, что сумма его углов отрицательна. Но это явный абсурд. Наше предположение привело к нелепости. Теорема доказана. Сумма углов треугольника не может быть меньше ?. Доказательство действительно прекрасно. Для профессионала его можно записать на трех строчках. В дополнительных построениях всего две операции.
Но… предположить, что через точку внутри угла всегда можно провести прямую, встречающую обе его стороны, означает, что вместо пятого постулата мы вводим его эквивалент. И Лежандр понимает это. Но от столь красивого решения отказываться жаль. И уже совсем по-человечески он несколько жалобно объясняет, что за <A выбран тот из углов, что меньше 60°(?/3). Тогда легче поверить в его предпосылку. Поверить действительно легче. Но дела это не меняет. Доказать это утверждение без помощи пятого постулата нельзя. И в итоге Лежандр отказался от своего доказательства.
Более того.
Пусть <A произвольно мал. Меньше любого наперед заданного числа. Меньше, например,
секунды. Даже в этом случае нельзя доказать предположение Лежандра. Если бы это было возможно, сразу был бы доказан пятый постулат. Для точек внутри угла, достаточно близких к вершине, гипотезу Лежандра, конечно, можно доказать строго. Но только для близких. А при нашем построении, чтобы получить противоречие, надо все дальше уходить от вершины.
Если продолжить анализ на пути Лежандра, то на свет выплывает много забавных эквивалентов пятого постулата.
По существу, на этом пути можно получить много теорем неевклидовой геометрии. Для развлечения можно предложить такую задачу. Анализируя предпосылку Лежандра, показать: пусть <C — угол при вершине семейства равнобедренных треугольников: ACB, A?CB?, A?CB? и т. д.
Допустив, что в этом семействе всегда найдется треугольник с высотой, большей любого наперед заданного числа, мы докажем пятый постулат. Не правда ли, это довольно неожиданный, очень естественный на вид эквивалент «пятого»! Он довольно просто находится при анализе доказательства Лежандра. Несколько забегая вперед, отметим, что в геометрии Лобачевского правильна противоположная теорема.
Большинство прочих авторов не шли так далеко, как Лежандр. Они запутывались в самом начале.
Но были и более интересные работы.
В 1889 году итальянский геометр Бельтрами обнаружил забытую работу своего соотечественника иезуита Иеронима Саккери, который еще в 1733 году предвосхитил и превзошел все результаты Лежандра.
До этого времени считалось, что именно Лежандр показал:
1. Не прибегая к пятому постулату Евклида, при помощи остальных аксиом можно доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых, больше 180° (> ?).
2. Если справедлив пятый постулат, то сумма углов хотя бы в одном треугольнике точно равна 180° (равна ?).
Отсюда следовал вывод:
Если несправедлив пятый постулат, то сумма углов во всех треугольниках меньше 180° (< ?).
Лежандру хотелось верить, что он опроверг и эту возможность, но… впрочем, мы уже говорили об этом.
Так вот оказалось, что Саккери получил все эти результаты значительно раньше. Более того, его исследование, цепочка его теорем тянется значительно дальше, чем у Лежандра. Правда, отправной пункт у него несколько другой. Он идет не от треугольника, а от четырехугольника, так же как несколько столетий ранее Хаййам.
Построение его таково.
1. Возьмем отрезок AB.
2. Из крайних точек А и В восстановим перпендикуляры и отложим на них отрезки AA?и BB? равной длины.
3. Соединим А? и B? прямой. Получим четырехугольник.
4. Возьмем середины оснований С и С? и соединим их прямой.
5. Возьмем «второй тождественный экземпляр» четырехугольника АА?ВВ? четырехугольник А1А1?В1В1? и наложим его на первый так, чтобы сторона В1В1? легла на сторону AA?.
Тогда легко доказать, что угол А? равен углу B?, а прямая CC? перпендикулярна к обоим основаниям. Читатели сами могут докончить строгое доказательство этой теоремы, могут также получить этот результат и несколько по-другому, использовав соображения симметрии.
Для угла А? и B? есть три возможности:
1. Они равны 90°(= ?/2);
2. Они острые, то есть меньше 90°(< ?/2);
3. Они тупые, то есть больше 90°(> ?/2).
Саккери показывает прежде всего, что если любая возможность осуществилась в одном каком-то четырехугольнике, то она осуществится и во всех возможных четырехугольниках такого типа.
Далее он доказывает, что:
1. Если справедлива «гипотеза тупого угла», то сумма углов любого треугольника больше ?.
2. Если справедлива «гипотеза прямого угла», то сумма треугольника равна ?.
3. Если справедлива «гипотеза острого угла», то сумма углов треугольника меньше ?.
Далее он доказывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.
Следовательно, чтобы доказать пятый постулат, нужно отвергнуть две другие гипотезы.
С «гипотезой тупого угла» Саккери расправляется весьма быстро и абсолютно строго.
Остается «гипотеза острого угла». И здесь оказывается, что все предыдущее только присказка, сказка впереди.
Почти на ста страницах Саккери разбирает следствия этой поистине сатанинской «гипотезы острого угла».
Он получает теоремы одна страннее другой, но отлично понимает до поры до времени, что внутреннего противоречия в них нет. Но вдруг ему мерещится: он нашел. И он объявляет решительно и безоговорочно: вот доказательство, вот божественная искра, испепеляющая эту гипотезу.
«Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии».
И здесь враг рода человеческого улавливает Иеронима Саккери. Он ошибается. Грубо ошибается.
Но нет, не будем спешить с выводами. Саккери еще не успокоен, он смутно чувствует какой-то подвох и заявляет:
«На этом я мог бы спокойно остановиться, но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит сама себе».
И игра начинается снова.
Саккери вновь ищет доказательства, но уже на ином пути.
Он доказывает, что если принять «гипотезу острого угла», то оказывается, что «геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой линии, есть кривая линия».
Все это строго.
Обратите внимание, вывод, казалось бы, так нелеп, что можно остановиться.
Нет, Саккери отлично понимает, что этого еще недостаточно.
И здесь на секунду забудем о Саккери и вспомним о нашем досточтимом Гийас ад-Дине Абу-л-Фатхе Омаре ибн Ибрахиме ал-Хаййаме ан-Найсабури.
Пора выполнить наш долг и рассказать, что именно сделал он, доказывая пятый постулат.
Свое доказательство пятого постулата Хаййам начинает (как, впрочем, и все) с критики предшественников.
Он опровергает доказательства Герона, Евтокия, ал-Хазина, аш-Шанни ан-Найризи. Опровергает он также и Абу Али Ибн-ал-Хайсама, который шел весьма любопытным и оригинальным путем.
Али Ибн-ал-Хайсам начинает с гипотезы, что линия, описываемая верхним концом перпендикуляра данной длины при движении нижнего конца его по данной прямой, также есть прямая. (На чертеже изображены палочка с роликом и пунктирная прямая. Таким образом, автор пытается наглядно изобразить постулат Абу Али Ибн-ал-Хайсама.)
Сам Абу Али Ибн-ал-Хайсам пытался обосновать это утверждение, рассуждая о свойствах движения.
Как раз это и вызывает некоторое негодование Хаййама. Он атакует Абу Али за то, что тот вводит в геометрию движение. Тут Хаййам не прав.
Но и Абу Али тоже ошибался. Фактически он в своем доказательстве использовал постулат, эквивалентный Евклидову. А именно, его гипотеза эквивалентна постулату, уже известному нам: «геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, тоже прямая». Но он-то надеялся, что не постулировал, а доказал это.
Но и Хаййама аллах тоже покарал за гордыню. В итоге он запутался как раз в этом вопросе. Неявно он тоже использовал тот же самый эквивалент пятого постулата, что и Абу Али. Мы не будем анализировать доказательство Хаййама, поскольку оно довольно рядовое среди других. Заметим только, что все это говорилось, чтобы позволить себе некоторое лирическое отступление: все же математики думают неплохо. В Греции ли, в Хорасане или в Италии… Призывают ли они на помощь Зевса, аллаха или Иисуса Христа, они стремятся к безукоризненной логике и если ошибаются, то на довольно высоком уровне. И многие из них отлично понимали: утверждение, что геометрическое место равноудаленных от прямой точек есть прямая, надо доказывать.
Пусть противоположная версия кажется странной, но внутренних противоречий в ней не видно. А гипотеза будет отвергнута лишь тогда, когда ее следствием будет абсурд.
И Саккери продолжает борьбу.
Он анализирует эту «кривую равных расстояний», анализирует тщательно и совершенно строго, пока в какой-то момент лукавый опять не сбивает его с пути истинного, — он находит доказательство. Это прямая. И… попадает в очередную западню носителя зла. Снова ошибка. Но Саккери-то ее не видит. Он уверен: он доказал.
Кажется, все. Работа закончена. Пятый постулат доказан. Можно издавать книгу.
И он издает ее, точнее, она появляется на свет божий через несколько месяцев после его смерти (1733 г.). Заглавие достаточно сенсационное. «Евклид, освобожденный от всех пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии».
Но совесть ученого, видно, все же не очень спокойна. В заключение он пишет: «Не могу не указать здесь разницы между приведенными опровержениями обеих гипотез. При гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий… Между тем гипотезу острого угла мне не удается опровергнуть иначе, как доказав…»
В общем Саккери не удовлетворен. Это ясно чувствуется.
А дьявол шутит с ним свою последнюю и совсем уж злобную шутку. Работа его остается практически неизвестна до 1889 года, когда она стала иметь лишь чисто историческое значение.
По существу, Иероним Саккери блестяще доказал несколько десятков теорем неевклидовой геометрии, но его погубили исходные позиции; он все время был уверен, что вот-вот докажет пятый постулат.
Не зная о работе Саккери, еще дальше его пошел немецкий математик Ламберт (1728–1777 гг.). Он уже по праву может считаться прямым предтечей неевклидовой геометрии.
Ламберт начинает анализ, используя несколько другой четырехугольник. Вот он. В нем три прямых угла — A, A? и B. Относительно угла B? снова могут быть три гипотезы.
Он:
1. Острый.
2. Прямой.
3. Тупой.
Ламберт также довольно просто истребляет «гипотезу тупого угла».
Как именно, мы умолчим за недостатком времени.
Но мало того. Ламберт понимает и говорит, что «гипотеза тупого угла» оправдывается на сфере, если присвоить окружностям большого круга роль прямых линий. Это чрезвычайно интересное и глубокое наблюдение.
Дело в том, что и Саккери и Ламберт опровергали «гипотезу тупого угла», строго доказывая, что стоит ее принять, и будет получено: прямые AA? и BB? пересекаются в двух точках.
Но это противоречит известной аксиоме: через две различные точки проходит одна, и только одна, прямая.
Впрочем, достаточно даже доказать, что AA? и BB? пересекаются в одной точке, чтобы отбросить «гипотезу тупого угла».
Читатели могут развлечь себя проверкой последнего утверждения.
На сфере же, где дуги большого круга пересекаются в двух точках, «гипотеза тупого угла» справедлива.
После этого небольшого отступления Ламберт возвращается к плоскости.
Он показывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.
Снова остается проверить и опровергнуть «гипотезу острого угла».
Ламберт начинает анализ, надеясь прийти к абсурду, и протягивает цепь своих теорем еще дальше, чем Саккери.
Он доказывает, между прочим, одну из самых замечательных и странных на привычный взгляд теорем геометрии Лобачевского:
Площадь любого треугольника пропорциональна разности между 180° и суммой его углов:
S = A · (? – ?).
A — постоянное число, оно одно и то же для всех треугольников;
? — сумма углов треугольника.
Отсюда немедленно следует, что площадь любого треугольника не может превышать:
Smax = A · ?
Это наивыгоднейший для нас случай, когда сумма углов треугольника равна нулю.
Отсюда, в свою очередь, немедленно вытекает, что стоит допустить существование треугольника сколь угодно большой площади — и мы докажем постулат Евклида.
Далее сразу ясно, что при «гипотезе острого угла», или, говоря попросту, в геометрии Лобачевского, отсутствуют подобные треугольники, ибо не может быть двух неравных треугольников с равными углами.
Так что теорему, доказанную Ламбертом, можно использовать, чтобы предложить две новые формулировки пятого постулата.
1. Существует треугольник, площадь которого больше любого указанного заранее числа.
Или:
2. Существуют хотя бы два подобных треугольника, то есть такие треугольники, площади которых различны, а все углы соответственно равны. (Правда, как помните, этот эквивалент пятого постулата использовали значительно раньше.)
Обе формулировки предельно естественны, предельно очевидны.
Вне сомнений, что элементарные следствия теоремы о площадях были ясны Ламберту. Но он не поддается лукавому и обманчивому очарованию очевидности. Напротив. Он даже увлекается этой неподатливой «гипотезой острого угла».
«Я склонен даже думать, что третья гипотеза («гипотеза острого угла». — В. С.) справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не столь легко поддается опровержению, как это можно было сделать со второй гипотезой».
Сказано абсолютно точно. Действительно, считая, что геометрия Евклида справедлива на плоскости, можно указать такие поверхности, на которых будет выполняться планиметрия Лобачевского.
Это так называемые псевдосферические поверхности. Впервые их открыл все тот же Бельтрами.
Вот как симпатично выглядят некоторые из них.
(К поверхностям этим мы еще вернемся, а пока посмотрим, что еще говорил Ламберт.)
Основная его задача — доказать, что на плоскости выполняется геометрия Евклида. Замечание о псевдосферах — побочный вывод.
И Ламберт — можно еще раз восхититься логикой этого человека — ясно понимает: он ничего не доказал.
«Доказательства Евклидова постулата могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса. Обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо эквивалентный ему постулат».
Вот его вывод. Вывод безукоризненный и точный.
Безусловно, он разобрался в проблеме лучше всех предшественников, он провел анализ дальше всех, перечислил ряд нелепых, с точки зрения нашей «евклидовой» интуиции, выводов, к которым приводит «гипотеза острого угла», но он не нашел логически безупречного доказательства.
А «аргументы, вызываемые любовью и недоброжелательством», как он их квалифицирует, — не аргументы для геометра.
Более того, в глубине души Ламберт смутно подозревает, что, быть может, пятый постулат вообще нельзя доказать. Он обсуждает возможную справедливость «гипотезы острого угла».
Увлекаясь невольно цепью своих теорем, он даже нарушает сдержанный академический стиль:
«В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива.
И все же я желал бы, несмотря на это преимущество, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом других неудобств.
Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе, ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине, и астрономии пришлось бы плохо».
Слова «несмотря на это преимущество» относятся к замечательному выводу неевклидовой геометрии — существованию абсолютной единицы длины.
Ламберт, как видим, владел и этим понятием. (Об абсолютной единице длины мы вспомним еще чуть позже.) К сожалению, работа Ламберта также оказалась вне внимания ученых, и Лобачевский не знал о ней до конца дней своих.
Впрочем, неясно, стоит ли сожалеть об этом. Работа Ламберта, знай ее Лобачевский, могла бы, конечно, сэкономить ему пару лет работы, но могла бы и погасить интерес к проблеме, убедив, что все его начальные результаты уже давно известны.
Так или иначе, он ее не знал.
Ламберту оставалось совсем немного, чтобы стать автором неевклидовой геометрии. По сути — лишь одно.
Надо было твердо заявить: «гипотеза острого угла» равноправна с пятым постулатом.
Ни пятый постулат, ни противоположное ему утверждение («гипотеза острого угла» — в терминологии Ламберта) не вытекают из остальных аксиом. Они совершенно независимы. Какое именно выполняется в нашей вселенной — вопрос опыта.
Стоило ясно сформулировать себе эти очень вроде бы простые мысли, стоило поверить, что все так оно и есть. И… остальное было дело техники.
Математик такого дарования, как Ламберт, сравнительно просто мог доказать еще несколько десятков теорем, мог и без особого труда систематизировать эти теоремы — мог построить всю систему неевклидовой геометрии.
А теперь остановимся на мгновение.
Законы научного творчества — вещь смутная. Иногда к открытию приходят одним путем, иногда совсем отличным; бывает, приходят почти случайно, бывает, что открытие венчает десятилетия проклятого напряженного труда. Бывает всякое. Но один закон непреложен.
Лет через пятьдесят (от силы сто) любое супергениальное провидение — непонятное, запутанное, странное и поразительное для современников — кажется естественным, простым и едва ли не тривиальным.
Чтобы оценить значение той или иной работы, надо попытаться отбросить весь комплекс знаний, накопленных со времени ее появления, и мысленно представить себя в той эпохе.
Попробуем же вообразить себя геометром конца XVIII, начала XIX столетия, исследующим пятый постулат.
С ранних лет нас учат, что геометрия Евклида — самое совершенное создание человеческого разума. Нас не только учат, мы сами с годами все больше подчиняемся завораживающей логике доказательств, погружаемся в холодную красоту чертежей, лемм, теорем — в призрачное царство логики и интеллекта.
Мы живем в этом замкнутом мире, и единственные законы, управляющие нашим сознанием, — законы этого мира.
Геометрия давно уже не представляется нам тем, чем она была когда-то в дряхлой древности, «наукой об измерении земли — землемерием». Вопрос о ее реальности, о ее практическом осуществлении в нашем мире решен столь давно, что сейчас он никого не заботит.
Геометрия давно уже воспарила от грешной земли к горным высотам идеальной абстракции.
Сама мысль, что геометрию все еще можно и должно проверять опытом, что геометрия, по существу, один из разделов физики, не может прийти нам на ум, потому что еще в самые первые дни обучения мы узнали, что геометрия верно служит уже несколько тысяч лет.
Да, в последнее время вся система аксиом подвергается некоторой критике.
Да, пресловутый пятый постулат шокирует, и довольно серьезно, наши эстетические чувства.
Но не более.
Никаких сомнений в справедливости пятого постулата у нас нет и быть не может. Мы сомневаемся лишь в том, что это постулат. Мы лишь подозреваем, что в аксиомы затесалась теорема.
Ставить под сомнение пятый постулат вообще — означает усомниться в геометрии. А если так, то столько же оснований усомниться, например, в аксиоме: «Через две точки проходит одна, и только одна, прямая».
Или в любой другой. Можно подвергнуть ревизии и понятие линии. И арифметические аксиомы. Можно все идеальное, античных пропорций здание превратить в бесформенное нагромождение обломков. Можно. Но это работа варвара, гунна, а отнюдь не математика.
Нет ничего более совершенного в мире, нежели геометрия, и лишь один небольшой изъян слегка смущает нас — пятый постулат.
Что касается других аксиом — они настолько очевидны, что сколь-нибудь серьезных вопросов с ними не может быть связано. Легкие изменения, более отточенные формулировки — да, это возможно. Но малоинтересно в конце концов. Так мы думаем. Так думали математики всех стран 25 веков до нас. Отказаться от нашей веры — означает отказаться от всего.
Мы стремимся к красоте и гармонии в нашей евклидовой геометрии, к окончательной отделке здания. Но менее всего думаем о разрушении.
И мы убеждены: допустить, что в геометрии Евклида можно изменить хоть одну аксиому, не придя при этом к ужасной нелепости, — значит подорвать все.
Нужна одна мысль, одна фраза, но мысль, совершенно меняющая все мировоззрение.