Глава 10 Новые идеи — Риман. Итог — непротиворечивость

Глава 10

Новые идеи — Риман. Итог — непротиворечивость

Будь я склонен к рекламе, я начал бы с того, что в этой главе речь пойдет о поразительных по своей красоте вещах.

Но вместо этого я честно уведомляю читателей, что по крайней мере первая половина этой главы — довольно сухая математика.

Итак, сначала о теории поверхностей.

Прародителем ее был все тот же Гаусс. Чтобы сохранить все же какую-то видимость популярного рассказа, сформулируем интересующие нас вопросы так.

Пусть на какой-то прихотливо изогнутой поверхности обитают некие разумные двумерные существа. Какова будет их геометрия, во-первых? Как смогут они (если смогут) заметить, что их поверхность искривлена, во-вторых?

Вероятно, второй вопрос на первый взгляд представляется совершенно наивным. И возможно, читателям сразу вспоминаются доказательства шарообразности Земли, приводимые в учебниках географии для четвертого класса. Но если чуть-чуть внимательней подумать о доказательствах этого сорта, становится ясно: в них используется тот факт, что мы — трехмерные существа, живущие на двумерной поверхности.

И чтобы иллюзия наивности исчезла, достаточно задуматься: как можно обнаружить, искривлен ли наш трехмерный мир, а также что вообще означает эта столь часто употребляемая фраза?

Но о трех- и четырехмерном мире — чуть позже, а пока вернемся к поверхностям.

Гаусс начал с того, что ввел замечательную величину, определяющую геометрию поверхности. Это гауссова кривизна.

Прежде всего анонсируем важнейшее свойство гауссовой кривизны.

Гауссова кривизна остается постоянной при любом изгибании поверхности, если только не происходит растяжения.

Что именно означает отсутствие растяжения, интуитивно ясно, а строго это формулируется так: если при изгибе поверхности отсутствует растяжение, то, во-первых, остаются неизменны длины любых кривых, проведенных на поверхности, а во-вторых, углы между ними.

Это же самое можно сформулировать несколько по-другому. Возьмите лист бумаги. Изогните его. И измерьте в какой-нибудь точке гауссову кривизну. Теперь можно проделывать с этим листком все, что угодно (только не растягивать и не рвать!), изгибать самым прихотливым образом. Значение гауссовой кривизны в данной точке не изменится.

Чтобы очень важное для нас понятие гауссовой кривизны определить более строго, придется выяснить, что такое радиусы кривизны в данной точке поверхности.

Рассмотрим какую-нибудь точку поверхности и проведем к ней нормаль.

Теперь, очевидно, нужно сказать, что такое нормаль. Для этого понадобится еще одно дополнительное понятие — касательная плоскость. Приведем почти строгое определение. Рассмотрим все возможные кривые линии, расположенные на поверхности и проходящие через точку P.

Оказывается, что касательные ко всем этим кривым лежат в одной плоскости. Сразу это не видно, но может быть строго доказано. Все множество касательных и образует касательную плоскость.

Для случая, показанного на верхнем рисунке на странице 205, довольно очевидно, как будет расположена касательная плоскость. Но иногда касательная плоскость располагается более хитро относительно поверхности (см. рис. на стр. 202).

Теперь строго определим понятие нормали. Нормаль — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости.

После этого можно приступить к определению понятия главных радиусов кривизны. Проведем через нормаль какую-либо плоскость.

Ясно, что их можно провести бесконечное число. Но мы выберем для начала любую. При пересечении плоскости и поверхности образуется плоская кривая.

Всегда можно подобрать такую окружность, которая очень хорошо прилегает к этой кривой вблизи точки P. Точный смысл этих слов объяснять не будем, понадеявшись, что интуиция подскажет нужный образ.

Радиус этой прилегающей (соприкасающейся) окружности R называется радиусом кривизны плоской кривой. Так как через нормаль можно провести бесчисленное множество плоскостей, то мы получим бесчисленное число радиусов кривизны. Среди них есть наибольший и наименьший по абсолютной величине. Можно доказать, что плоские кривые, которым соответствуют наименьший и наибольший радиусы, взаимно перпендикулярны в точке P. Эти два радиуса, R₁ и R₂, и называются главными радиусами кривизны нашей поверхности в точке P.

Можно также доказать, что центры окружностей всегда расположены на нормали.

Если центры кривизны лежат по одну сторону от поверхности, точка P называется эллиптической. Если по разные — гиперболической. В этом случае один из главных радиусов следует считать отрицательным.

Наконец, есть еще и параболические точки. Это точки, где один из главных радиусов кривизны равен бесконечности. Гауссова кривизна в любой точке поверхности определяется так:

K = 1/R₁R₂.

Теперь можно составить табличку:

В эллиптической точке K > 0

В гиперболической точке K < 0

В параболической точке K = 0

Посмотрим, какими свойствами может обладать поверхность в целом. Представим какую-нибудь поверхность и попробуем покрыть ее плотно прилегающим куском материи.

Условия игры таковы. Нашу материю (естественно, первоначально это был плоский кусок) нельзя:

а) разрезать,

б) растягивать,

в) она должна покрывать поверхность без складок.

Если бы какая-нибудь дама предъявила подобные требования своему портному, он, вероятно, выгнал бы ее без дальнейших разговоров. И был бы прав.

А прежде чем идти дальше, я призываю читателей на секунду прервать чтение и самостоятельно представить, какими свойствами должна обладать фигура нашей гипотетической модницы, чтобы можно было удовлетворить ее требование.

После тех сведений о гауссовой кривизне, что мы имеем, ответ довольно прост.

Первоначально кусок был плоским. Это значит, что кривизна его в каждой точке была равна нулю. При изгибании без растяжения кривизна не меняется. Значит, плоский кусок материи можно изогнуть только на такую поверхность, кривизна которой в каждой точке строго равна нулю.

Например, на цилиндр. Легко можно сообразить, что на боковой поверхности цилиндра гауссова кривизна строго равна нулю. Или, иначе, каждая точка поверхности параболическая. Если вы усвоили понятие кривизны, то легко убедитесь, что второй пример подходящей поверхности конус.

Но вот на шар невозможно изогнуть плоскость так, как мы этого требуем.

Кривизна шара постоянна и положительна. Именно это обстоятельство и вызывает все мучения картографов.

Несколько запоздало надо добавить, что и раньше и позже мы все время будем иметь в виду «хорошие» поверхности. Строго объяснять, что это значит, я не буду, а грубо говоря, «хорошими» мы будем считать поверхности без острых ребер и остриев. Вершина конуса, например, «нехорошая» точка.

Далее надо иметь в виду, что когда мы говорим об изгибании одной поверхности на другую, то, строго говоря, мы всегда подразумеваем возможность изгибания достаточно большого куска, а не всей замкнутой поверхности. Например, целиком развернуть боковую поверхность конуса на плоскость можно, только проделав хотя бы один разрез по образующей. Теперь последнее необходимое нам понятие — понятие геодезической линии. Геодезическая — это такая кривая линия, проведенная на поверхности между двумя точками, что любая другая кривая окажется длиннее. Вообще-то это определение из числа «почти строгих», но я утешаюсь тем, что те, кто достаточно хорошо знает математику, вообще не будут читать эту главу, и уличить меня, таким образом, некому.

Воображаемые двумерные существа, живущие на данной поверхности, скажут, что геодезическая — кратчайшее расстояние между двумя точками. Впрочем, то же самое скажут и трехмерные существа, если поставить им условие не покидать поверхность.

Для нас, жителей сферы, кратчайшие расстояния между двумя точками Земли дуги большого круга. И именно по дуге большого круга должен направлять штурман свой корабль, чтобы возможно быстрее прибыть из одного порта в другой. А теперь обсудим весьма любопытный вопрос. Мы договорились, что плоскость можно изогнуть на поверхность, кривизна которой постоянна и равна нулю. Или — что то же самое — такую поверхность можно развернуть на плоскость. Любая фигура, нарисованная на плоскости, превратится в аналогичную фигуру на нашей поверхности. Углы между линиями при изгибании не меняются. Кратчайшие линии на плоскости — прямые линии — перейдут в геодезические линии на поверхности. Поэтому для цилиндрического треугольника, например (его стороны, понятно, образованы кривыми линиями), сумма углов останется той же, что была у плоского треугольника. В том же духе можно рассуждать и далее. Каждому геометрическому понятию на плоскости можно сопоставить соответственный образ на поверхности.

И довольно легко представить, что все теоремы, имевшие место на плоскости, переносятся без изменений на поверхность.

Надо только помнить, что теперь эти теоремы справедливы для «образов». Если на плоскости осуществлялась евклидова геометрия, то она будет осуществляться и для «образов» на цилиндре.

По существу, мы сейчас соприкоснулись с одной из самых замечательных и красивых сторон математики. Пока мы не интересуемся практическим приложением, нам совершенно все равно, о чем именно говорят наши теоремы. Лишь бы они удовлетворяли требованиям логики. Более того, мы даже не знаем, о чем мы, собственно, говорим. Только физику необходимо знать, что происходит «на самом деле». Каков его мир.

Для физики прямая — это луч света. Для математики это одно из основных неопределяемых понятий. Прямые на евклидовой плоскости и геодезические линии на поверхности цилиндра невозможно различить, если сравнивать их только с точки зрения аксиоматики.

Представим себе некую фантастическую картину. Два двумерных мира. Один плоский. Другой на поверхности цилиндра. В обоих живут разумные существа. Допустим, они каким-то образом наладили связь.

Двумерный «плоский» и двумерный «цилиндрический» математики с удовольствием бы констатировали, что у них одна геометрия.

Окажись система аксиом противоречивой на евклидовой плоскости, мы сразу бы знали: она противоречива и на цилиндре.

Один мог бы объяснять другому теоремы, которые он доказал, и второй принимал бы их без всяких изменений. Они могли бы работать вместе без малейших разногласий. Вот у «плоского» и «цилиндрического» физиков такого тесного контакта не было бы. Они с самого начала заявили бы, что в их мирах законы природы различны.

Впрочем, если бы в «цилиндрическом» мире луч света распространялся по геодезической линии, они тоже не сразу бы обнаружили отличия.

Читатели понимают, конечно, что сейчас мы находимся где-то очень близко от проблемы непротиворечивости неевклидовой геометрии. Если бы в обычном евклидовом пространстве удалось найти также поверхности, на которых осуществляется геометрия Лобачевского… Если бы эти поверхности можно было сделать такими, что на них отображалась бы вся плоскость Лобачевского… Тогда задача была бы решена.

Первое «Если…» удовлетворяется. Такие поверхности (псевдосферы) существуют. Это поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Но вот второе условие нас губит. Вся поверхность псевдосферы соответствует лишь кусочку плоскости Лобачевского. Забудем на время непротиворечивость и хоть и вскользь, но скажем о Римане. Этот болезненно застенчивый юноша в 1854 году открывает математикам новые перспективы. Сейчас нам придется снова вернуться к гауссовой кривизне, но теперь уж на совсем математическом языке. Рассмотрим два произвольных семейства кривых на поверхности. Семейства, повторим, могут быть совершено произвольны. Эти два семейства образуют координатную сетку. Пусть теперь мы хотим найти расстояние между двумя очень близкими, а в остальном совершенно произвольно выбранными точками x₁ и x₂.

Гаусс рассмотрел следующее выражение:

?S₁₂ = g₁₁(x₁x₂)?x₁² + 2g₁₂(x₁x₂)?x₁?x₂ + g₂₂(x₁x₂)?x₂².

Его называют основной метрической формой. Для тех, кто не очень знаком с математикой, эта формула, естественно, довольно неприятно выглядит. Но мы и не будет особенно ею пользоваться. Сделаем лишь два замечания.

1. «Физический» смысл этого выражения очень прост. Это квадрат расстояния между точками x₁ и x₂.

2. g₁₁(x₁x₂), g₁₂(x₁x₂) и g₂₂(x₁x₂), естественно, меняются при переходе от одной точки поверхности к другой. Мы писали в скобках x₁ и x₂, чтобы показать: все выражения g₁₁, g₁₂ и g₂₂ зависят от места на поверхности.

Нам существен сейчас один результат Гаусса. Он показал, что кривизна поверхности полностью определяется числами g₁₁(x₁x₂), g₁₂(x₁x₂), g₂₂(x₁x₂). Но этого мало. Он доказал, что какую бы ни выбрать систему координат, кривизна не изменится. Это совсем не очевидно. Действительно, все числа g₁₁, g₁₂, g₂₂, вообще говоря, изменятся при выборе новой координатной сетки. Но гауссова кривизна так комбинируется из этих чисел, что останется неизменна. То есть гауссова кривизна совершенно не зависит от способа описания.

Она — внутреннее свойство поверхности. Итак, для плоских поверхностей вся геометрия определяется одним только соотношением — основной метрической формой. Эта форма зависела от двух переменных. И, зная коэффициенты, мы могли вычислить в любой точке гауссову кривизну поверхности.

Идею Римана можно передать буквально в двух словах. Давайте чисто формально рассматривать подобные выражения от трех, четырех и n-переменных. И скажем, что эти метрические формы определяют геометрию трех-, четырех-, n-мерного мира. Формально мы сможем вычислить гауссову кривизну для таких миров. Сможем сказать о том, какая именно геометрия будет в них осуществляться.

Если кривизна отлична от нуля, мы скажем, что такой мир искривлен. И заметим это, не выходя из одной точки. Нам достаточно узнать кривизну в этой точке.

Геометрия «мира» может быть любой. Какой именно, даже не очень важно сейчас. Теория Римана предусматривает все мыслимые случаи.

Вот и все, грубо говоря.

Просто обобщение гауссовой теории поверхностей на случай многих переменных. А в начале XX столетия оказалось, что для описания нашего реального мира нужно использовать геометрию Римана. Причем не для трех, а для четырех измерений. Четвертым оказалось время.

На этом расстанемся с Риманом.

Сейчас основная моя задача — воздерживаться по мере сил от восторженных восклицаний.

Действительно, вряд ли во всей математике отыщешь еще десяток идей, равных по своей красоте доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Все построено на том, что математику совершенно безразлично, что именно скрывается под его Основными Понятиями. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.

До поры до времени геометрия не более чем логическая игра. «Прямая», «точка», «плоскость», «движение» — фигурки в этой игре; и единственное, что знает о них математик, — это его аксиомы — правила игры с этими фигурами.

На этом этапе геометрия, вообще говоря, столь же бесполезна для физика, как шахматы или домино. Лишь тогда, когда он — физик — экспериментально установит, что его реальные прямые, точки и т. д. очень точно описываются математическими абстракциями, лишь тогда, когда он увидит, что аксиомы математики действительно описывают поведение его вполне реальных прямых, точек, плоскостей… Лишь тогда геометрия превращается в одну из глав физики — науки, исследующей окружающий нас мир. До этого момента геометрия — логическая игра.

Но как раз такая неожиданная позиция дает возможность доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Задача выглядит так.

Есть две игры: геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.

Попробуем доказать, что если в правилах одной из них скрыто внутреннее противоречие, то оно непременно есть и в правилах другой.

Правила игры — напомним еще раз — это список аксиом.

Как видите, мы несколько изменили постановку вопроса.

Мы понимаем, что прямо, в лоб, строго решить проблему непротиворечивости — задача безнадежная.

Сколько бы сотен миллионов теорем мы ни доказали, не может быть уверенности, что в следующей теореме мы не наткнемся на противоречие.

А теперь мы хотим доказать: если противоречива геометрия Лобачевского, то непременно противоречива и геометрия Евклида.

Однако на первый взгляд и здесь не видно ясного пути.

Правила игры (аксиомы) различны. Правда, отличаются геометрии лишь одной аксиомой — аксиомой о параллельных, но в принципе дела это не меняет.

Игры разные. И совершенно неясно, как вообще можно перекинуть связующий мост между ними.

Тем не менее это оказалось возможно.

Боюсь, что различные аналогии, призванные пояснять, лишь затуманят суть, и потому прямо перейду к доказательству. Автор его — один из крупнейших математиков XIX века Феликс Клейн. О нем, конечно, стоило бы рассказать. Был он интересный и сложный человек, но, к сожалению, нам невозможно слишком увлекаться историей. Я хочу только привести один поразивший меня в свое время факт.

Клейн прожил долгую жизнь. И если взять только те его работы, что были им выполнены после 30–35 лет, то по любым меркам — перед нами великолепный разносторонний ученый. Активный, тонкий, плодовитый математик, блестящий знаток прошлого своей науки, один из лучших педагогов за всю историю математики.

Сам он жестко и безапелляционно написал, что после 30 лет в результате нервного переутомления, вызванного исследованием одной математической проблемы он никогда больше не был способен к творческой деятельности. Он не кокетничал. Он действительно думал именно так. И признаюсь, меня подкупают люди такого склада. Другой вопрос — облегчает ли им жизнь такая беспощадность к себе?

Итак, доказательство.

Сначала мы «играем» в евклидову геометрию. Рассмотрим обычный круг. Проведем в нем хорду. Возьмем какую-нибудь точку, не лежащую на этой хорде. Ясно, что через эту точку можно провести бесчисленное число других хорд, не пересекающих нашу. Это все хорды, уместившиеся между двумя пересекающими нашу в ее крайних точках; там, где она пересекается с окружностью.

Пока все до наивности ясно. Неясно только, какое отношение этот круг может иметь к геометрии Лобачевского.

И сейчас произойдет удивительное.

Идея Клейна в том, что он превращает этот тривиальный круг в модель плоскости Лобачевского.

Вот как это происходит.

Повторим старое заклинание.

Математику все равно, что такое его Основные Понятия. Лишь бы удовлетворялись аксиомы.

И начинается двойная игра.

Мы называем:

круг — плоскостью Лобачевского;

любую хорду в круге — прямой Лобачевского;

точку — точкой Лобачевского.

Естественно, мы должны добавить новые понятия: «соотношения», «лежать между», «принадлежать» и «движение».

Добавим их. А после этого попробуем сыграть с этими евклидовыми элементами в «геометрию Лобачевского».

Чтобы проделать это, надо будет обратиться к списку аксиом и проверить, удовлетворяют ли наши элементы аксиомам геометрии Лобачевского.

Сравнительно легко можно убедиться, что с большинством аксиом все в порядке.

Все великолепно и с аксиомой о параллельных — единственной, отличающей геометрию Лобачевского от геометрии Евклида: «Через данную точку к данной «прямой» можно провести бесчисленное множество непересекающих ее «прямых».

Пока из чувства перестраховки я ставлю кавычки у слова «прямая». Но стоит доказать, что для наших понятий выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского, — и кавычки можно будет смело убрать.

Не забывайте только — идет двойная игра. Мы все время должны «переводить» с языка евклидовой геометрии на язык геометрии Лобачевского. И наоборот.

С понятиями «принадлежать» и «лежать между» все хорошо. На обоих языках они одинаковы. Трудности начинаются, когда мы переходим к движению.

Понятие «движение» должно удовлетворить всей группе аксиом движения.

Мы заявили, что наш круг — плоскость Лобачевского. Очень хорошо. Мы можем определить движение в этой плоскости Лобачевского. Это движение обязано удовлетворять всем положенным ему аксиомам. (Их стоит сейчас посмотреть в приложении к третьей главе.)

Тоже хорошо. Но неясно, можно ли сформулировать это понятие движения неевклидовой плоскости на языке евклидовой геометрии.

Неевклидова плоскость в нашем случае на евклидовом языке — круг. Движение, вспоминаем мы, — это взаимно однозначное преобразование плоскости самой в себя. Значит, на евклидовом языке мы должны найти какое-то преобразование круга самого в себя.

Один класс таких преобразований сразу назойливо напрашивается. Это простые повороты круга относительно его центра. Однако легко убедиться, что эти преобразования не годятся как кандидаты в «неевклидово движение».

При поворотах невозможно перевести любую заданную точку круга в любую другую заданную заранее точку. Ну, например, центр круга. При таких преобразованиях он всегда неподвижная точка. Он переходит сам в себя. А аксиомы, определяющие движение, требуют, чтобы при движении любую данную точку можно было перевести в любую другую. Поэтому повороты не могут нас удовлетворить.

Однако необходимые нам преобразования круга есть. Есть!

И это центральный и радостный момент в схеме Клейна.

Он указал бесчисленное множество таких преобразований круга (их называют проективные преобразования), которые переводят круг в точно такой же «новый круг». Любую внутреннюю точку «старого круга» во внутреннюю точку «нового круга». Любую точку контура «старого круга» оставляют на контуре «нового круга».

А хорды «старого круга» переходят в хорды «нового круга».

Эти преобразования круга (на евклидовом языке — проективные преобразования) на неевклидовом языке удовлетворяют всем аксиомам движения.

Например, преобразование хорд на неевклидовом языке означает, что прямые переходят в прямые и т. д.

А теперь можно сделать последний, решающий шаг. И мы его делаем.

Мы объявляем эти преобразования «движением плоскости Лобачевского».

Подведем итог.

Вот она, модель Клейна.

Все свойства проективных преобразований, конечно, известны, но, вообще говоря, нам не нужно их знать. Достаточно принять на веру, что такие преобразования существует.

И — вот она, минута торжества! Если можно объявить круг плоскостью Лобачевского… А это можно, мы доказали это… Если так… Задача решена.

Действительно, пусть, доказывая какую-то теорему в геометрии Лобачевского, мы пришли к противоречию. Допустим это. Но каждая теорема геометрии Лобачевского означает теперь одновременно какую-то теорему геометрии Евклида для нашего круга, его хорд и для проективных преобразований. Каждую теорему мы можем сформулировать на двух языках. И, получив противоречие в геометрии Лобачевского, мы одновременно получим противоречие в евклидовой геометрии.

Конечно, на евклидовом языке это противоречие будет выглядеть по-другому, оно откроется в другой теореме, но это-то совершенно неважно. Важно то, что если в одной геометрии скрыто логическое противоречие, оно скрыто и в другой.

Геометрии равноправны.

И тем самым доказана независимость пятого постулата от остальных аксиом геометрии Евклида.

Все!

Но, как в сказках Шехерезады, в науке конец любой истории — это начало следующей.

И доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского означало для математиков начало колоссального цикла работ по исследованию проблем аксиоматики, по созданию сложнейшего, идеально строгого и абсолютно абстрактного аппарата — математической логики; аппарата, бесконечно далекого от малейших практических приложений, пока не оказалось, что электронно-вычислительные машины… Впрочем, трудно найти более удобный момент для конца наших рассуждений.

И лучше вернемся к модели Клейна, чтобы отметить одно забавное место.

Возьмем две точки внутри нашего круга. Проведем через них хорду. На евклидовом языке расстояние между этими точками равно длине отрезка хорды. Каково оно на неевклидовом языке?

Уже интуитивно ясно, что, во всяком случае, оно не может быть равно длине этого отрезка. Действительно, расстояния между двумя точками на бесконечной плоскости Лобачевского могут быть сколь угодно велики. А «евклидовы расстояния» между точками нашего круга ограничены его диаметром. Ясно, что «неевклидово расстояние» надо определить как-то по-другому. Но как? Ответ легко находится, если вспомнить, как вообще вводится понятие длины в геометрию.

Грубо говоря, это делают так.

Берется масштабный отрезок и посредством преобразования движения совмещается с измеряемым. Длина измеряемого отрезка определяется тем, сколько раз на нем можно отложить масштабный.

Не будем сейчас задерживаться на тонкостях. Нам важно лишь то, что определение равенства отрезков (а следовательно, и понятие длины), как, впрочем, и равенство любых геометрических фигур, определяется при помощи понятия движения.

Так обстоит дело и в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.

Но в нашей модели движение в плоскости Лобачевского на евклидовом языке — проективное преобразование круга. Следовательно, на языке геометрии Лобачевского оказывается, что два отрезка равны, если один переходит в другой при проективном преобразовании. Вспомнив еще, что длина не должна меняться при преобразовании движения, мы понимаем, что «неевклидова длина» должна оставаться неизменной при проективном преобразовании. Как говорят в математике, быть инвариантом преобразования. Такая величина, естественно, известна для проективных преобразований круга. Если учесть еще, что длина суммы двух отрезков должна быть равна сумме длин этих отрезков, то оказывается, что «неевклидово расстояние» определяется однозначно. И конечно, оно ведет себя так, как надо, то есть обращается в бесконечность, когда одна из точек оказывается на контуре круга.

Контур круга соответствует бесконечно удаленным точкам плоскости Лобачевского.

Конечно, несколько экстравагантный характер «неевклидова движения» в модели Клейна сказывается и в том, что величина «неевклидова угла» между двумя прямыми совсем не то, что величина между двумя хордами на евклидовом языке. Но это все уже детали. Важные, но детали. Главное уже сказано раньше.

И последнее.

Чтобы доказать непротиворечивость стереометрии Лобачевского, достаточно круг Клейна превратить в шар.

Через несколько лет после Клейна французский математик Пуанкаре предложил другую модель геометрии Лобачевского. Тоже на шаре. Она, быть может, еще более замечательна. Более того, Пуанкаре даже примыслил удивительный по своим физическим свойствам мир существ, которые, с евклидовой точки зрения, жили бы в ограниченном круге Пуанкаре, а со своих позиций утверждали бы, что они в бесконечной плоскости Лобачевского.

В этом мире «прямые Лобачевского» на евклидовом языке — дуги окружностей, перпендикулярных к поверхности шара. На предыдущей странице читатель может полюбоваться моделью Пуанкаре.

Но, как ни привлекательна «сфера Пуанкаре», нам следует остановиться.

И в лучших традициях детектива снова прервем рассказ в самый интригующий момент.