Глава 1 Ленивая частица

Глава 1

Ленивая частица

Когда Исааку Ньютону (1642–1727) удалось объяснить небесную и земную механику одним-единственным уравнением, это стало толчком для существенных подвижек в понимании природы. Внезапно оказалось, что яблоки падают не потому, что имеют естественную тенденцию двигаться вниз, а потому, что на них воздействует та же сила, что и на другие тела во Вселенной. Введение внешней по отношению к этим телам силы исключало необходимость говорить о какой-то предрасположенности: деревянные бруски, движимые внешней силой, останавливались после прекращения ее действия не потому что покой — это естественное состояние бруска, а из-за силы трения. Теперь физические объекты могли считаться субъектами, не наделенными волей, а всю Вселенную можно было представить как шестеренку отлаженного механизма.

Восприятие Вселенной как механизма появилось в XVIII веке, и его отголоски живы до сих пор, хотя и с некоторыми изменениями. Понимание того, что все природные явления можно объяснить с помощью математических законов, стимулировало научный прогресс после Ньютона. Сферы, которые столетиями были предметом философского анализа, одна за другой склонялись перед научным методом.

Введенные Ньютоном инструменты использовались для объяснения таких явлений, как электричество, магнетизм или тепло, и результатом было рождение ряда новых физических дисциплин, к примеру электромагнетизма или термодинамики.

Однако до удовлетворительного описания газовой динамики методами механики оставалось еще два века: физическое сообщество отказывалось принять идею существования атомов, а в тех редких случаях, когда подобное предположение принималось, это преследовало скорее математические цели, не имевшие никакого отношения к реальной действительности. К тому же математический аппарат того времени не был предназначен для решения таких сложных задач. Даже если принять существование атомов и молекул, уравнения, описывавшие их движения, оказались слишком сложными. Некоторые их решения были найдены лишь через 200 лет, но в целом проблема так и осталась нерешенной.

Как описать частицу

Законы, сформулированные Ньютоном, опирались на очень сильный математический аппарат. Например, в его втором законе утверждалось, что сила, примененная к частице, пропорциональна характерному для нее ускорению, при этом константой пропорции является масса. Выражаясь математически,

F = m·а,

где F обозначает силу, m — массу, а — ускорение.

Применение этой формулы выходит далеко за пределы вычисления ускорения частицы, ведь на самом деле второй закон Ньютона является так называемым дифференциальным уравнением, то есть уравнением, приравнивающим функции. В качестве пояснения рассмотрим обычное уравнение, например

х + 3 = 5.

В этом уравнении говорится, что х — это число, при добавлении к которому числа три получится пять. Таким образом, х равен двум.

В дифференциальном же уравнении неизвестное — это не число, а функция. Функцию можно понимать как механизм, который заданное число превращает в другое число. Например, функция х² дает нам квадрат любого числа, которое мы подставим вместо х: для двух — четыре; для трех — девять.

В дифференциальном уравнении необходимо найти функцию, которая удовлетворяла бы некоторым условиям. Любой физический закон можно выразить как систему дифференциальных уравнений, в которых показано, как некоторые физические величины изменяются с течением времени.

В уравнении второго закона Ньютона говорится, как найти ускорение тела. Однако узнав ускорение, мы можем получить гораздо больше информации. Ускорение — это изменение скорости за единицу времени, так что если мы знаем ускорение, то мы знаем и скорость. Далее, скорость говорит нам, как сильно меняется положение тела за некоторый промежуток времени, так что если мы знаем скорость, мы можем определить положение.

Таким образом, если мы решим уравнение второго закона Ньютона, то можем выяснить, в какой точке находится и с какой скоростью движется тело в каждый момент времени. И эти огромные возможности скрыты в короткой формуле.

* * *

РЕШАЯ УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА

Уравнения Ньютона относительно просто решить при постоянном ускорении тела. Представим себе монету, падающую с Эйфелевой башни, высота которой составляет около 300 м. Мы знаем, что ее ускорение равно ускорению свободного падения, то есть 9,81 м/с² (для упрощения расчетов округлим до 10 м/с²). Это означает, что монета каждую секунду движется на 10 м/с быстрее. Исходя из этой информации, мы можем вычислить, какова ее скорость в любой момент. Если исходное состояние — покой, то через секунду ее скорость будет 10 м/с; через две — 20 м/с; через десять — 100 м/с.

Узнав скорость, мы можем вычислить расстояние, которое монета прошла за время своего падения. Например, мы можем определить путь, пройденный за первые две секунды. Поскольку исходная скорость монеты равна нулю (монета не двигалась), а конечная — 20 м/с, монета перемещалась со средней скоростью 10 м/с. И поскольку она падала в течение двух секунд, пройденное расстояние равно 20 м. Выполняя одну и ту же операцию для различных временных интервалов, мы можем выразить высоту относительно времени в таблице.

Также мы можем построить график, в котором видно положение монеты в каждый момент времени.

* * *

Преодолевая законы Ньютона

Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.

Большинству людей знаком, как минимум, один тип координат: долгота и широта. Зная эти числа, мы можем ориентироваться по карте. Координаты частицы — это группа чисел, позволяющих определить ее положение. Наиболее распространена прямоугольная система координат х и у (названа так Декартом, который эту систему и ввел).

Как видите, если известна координата х (горизонтальное положение) и у (вертикальное положение), можно определить положение частицы на рисунке. Если бы мы говорили о частице в трех измерениях, нам потребовалось бы еще одно число для выражения глубины, или координата z. Если предположить, что газ находится в закрытой коробке, то для уточнения его состояния нужно знать положение каждой его частицы, то есть все три ее координаты. Если учесть, что число частиц в коробке, наполненной воздухом, около 10²³, то есть двадцать три нуля после единицы, несложно догадаться, что сделать нечто подобное является слишком сложной задачей.

Координаты х и у подходят для того, чтобы представить, например, машину, движущуюся по прямой. В этом случае, если выбрать у в качестве высоты, видно, что вертикальное положение машины всегда одно и то же, а горизонтальное с течением времени меняется. Описывать движение машины в прямоугольной системе координат просто: пройденное расстояние — это скорость, умноженная на время. Итак, если мы едем со скоростью 100 километров в час в течение трех часов, то проедем 300 километров.

Однако прямоугольная система координат не подходит для описания кругового движения (см. рисунок).

Если сосредоточиться на горизонтальном положении частицы, можно увидеть, что она движется справа налево и слева направо зигзагом. То же происходит и с вертикальным положением: если смотреть на частицу сбоку, кажется, что она движется сверху вниз, как показано на графике.

Такое простое движение, как круговое, имеет очень сложное выражение в прямоугольной системе координат.

В этом случае для указания положения на плоскости используются полярные координаты. С их помощью можно показать расстояние до центра и угол относительно горизонтальной оси, как показано на рисунке.

Координата r постоянна, так как расстояние до центра никогда не меняется; координата ? увеличивается с течением времени, по мере вращения частицы. Как видите, смена системы координат значительно облегчает нашу задачу.

Физики вскоре поняли, что для решения сложных задач законам Ньютона недостает гибкости. Нужно было найти новую формулировку этих законов, которая подходила бы для любой системы координат и для любого числа частиц. Жозефу Луи Лагранжу и Уильяму Роуэну Гамильтону удалось переформулировать законы классической механики и привести их к современному виду. Результаты их работы используются для описания самых современных теорий в физике частиц, начиная с квантовой механики и кончая теорией струн.

Принцип наименьшего действия

Гамильтон потратил на переформулирование законов Ньютона довольно много времени. Важным шагом при этом было использование понятия энергии, не включенного в уравнения Ньютона.

Первым предложил нечто похожее на идею энергии Готфрид Лейбниц (1646–1716), который оспаривал с Ньютоном первенство изобретения анализа бесконечно малых — математического инструмента, позволявшего работать с бесконечно малыми числами. Лейбниц обнаружил, что при описании некоторых типов движения используется математическая величина, которая остается постоянной, vis viva, или живая сила. Ученый открыл, что эта сила пропорциональна массе и квадрату скорости. Лейбниц доказал, что для некоторого типа столкновений частиц общая живая сила остается постоянной.

С течением времени понятие живой силы трансформировалось в понятие энергии. Сегодня при описании движения тела говорят о его кинетической энергии. Выражение кинетической энергии практически идентично выражению живой силы: ее значение равно половине последней. Если мы обозначим через Т кинетическую энергию, через m — массу и через v — скорость, кинетическая энергия частицы равна:

T = m·v²/2

Кинетическая энергия остается постоянной при столкновениях тел, например бильярдных шаров. Однако на практике часть этой энергии всегда теряется, преобразуясь в молекулярные движения, невидимые глазу. При этом столкновения атомов, или элементарных частиц, абсолютно эластичны: вся кинетическая энергия при столкновениях сохраняется. Поэтому можно говорить о внутренней энергии газа как о сумме энергий всех частиц: хотя атомы постоянно сталкиваются, их общая энергия остается неизменной.

Идея кинетической энергии, или живой силы, привела к формулировке принципа наименьшего действия, предложенной Пьером Луи Моро де Мопертюи (1698–1759), который утверждал, что все изменения в природе совершаются наименьшим возможным количеством действия. Мопертюи при этом искал вдохновение в области оптики: еще в Древней Греции заметили, что луч света идет по кратчайшему пути между двумя точками. Ученый говорил: «Природа в своих действиях всегда пользуется наиболее простыми средствами».

Однако вскоре было установлено, что для описания движения частицы недостаточно кинетической энергии. Если подбросить тело в воздух, его начальная кинетическая энергия будет высока, но вскоре тело останавливается и начинает падать вниз. Куда девается его кинетическая энергия? Очевидно, что она никуда не исчезает, поскольку, падая, тело ускоряется, возвращая исходную кинетическую энергию. Должно быть, эта энергия хранится в теле в каком-то виде, из которого может снова возникнуть.

Решение задачи было связано с открытием понятия потенциальной энергии, то есть потенциала тела для получения кинетической энергии. Например, камень, расположенный на крыше небоскреба, обладает большим количеством потенциальной энергии: если его уронить, его кинетическая энергия в момент достижения земли будет огромной. Итак, потенциальная энергия камня определяется как кинетическая энергия, которой он обладал бы, если бы его уронили с высоты небоскреба. Обычно потенциальная энергия обозначается буквой V.

Тело на высоте небоскреба имеет гравитационную потенциальную энергию, поскольку именно гравитация обеспечивает ускорение тела при падении. Однако существует большое количество потенциальных энергий, каждая из них — со своим математическим выражением. Например, потенциальная энергия пружины проявляется после того, как сжатая пружина освобождается. Имеют потенциальную энергию и электрические заряды: два положительных заряда на близком расстоянии отталкиваются, высвобождая кинетическую энергию. Все виды потенциальной энергии трансформируются в кинетическую.

Потенциальная энергия особенно важна, когда речь идет о газах. При низкой плотности и высокой температуре газа его молекулы находятся на очень большом расстоянии друг от друга и движутся очень быстро, поэтому потенциальная энергия каждой из них, показывающая степень взаимодействия молекул, очень мала.

Однако если газ остынет, взаимодействие между молекулами станет значительным, то есть потенциальная энергия каждой молекулы возрастает и сравнится с кинетической. Чтобы реализовать это понимание, для изучения газовой динамики потребовались новые математические инструменты.

* * *

ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Современное понятие энергии определяется в зависимости от другой физической величины — работы. Физическая «работа» отличается от повседневной «работы», но оба понятия связаны между собой. Предположим, мы хотим измерить, сколько работы совершает человек за минуту. Поскольку мы говорим о физике, ограничимся физической работой, например передвижением объекта из одной точки в другую.

Сравним работу, которую выполняют два человека, задача которых — отнести коробки на склад. Очевидно, что чем больше вес коробки, тем больше работы совершил человек; то есть работа пропорциональна приложенной силе. Кроме того, чем больше расстояние, на которое переносится коробка, тем больше работа. Таким образом, работа пропорциональна расстоянию. На основании этих идей мы можем определить физическую работу как произведение силы на расстояние:

W = Fd,

где W — «работа» (от английского work), F — сила и d — расстояние.

Энергию можно определить как работу, проделанную телом при отсутствии трения. Например, вся работа, необходимая для перемещения коробки по ледовому катку (если предположить, что трение отсутствует), превращается в кинетическую энергию. Работа, необходимая для того, чтобы поднять коробку на крышу небоскреба, равна ее потенциальной энергии. Значит, энергия — это способность тела осуществлять работу. Эта простая формулировка дает нам инструмент для определения потенциальной энергии тела в любой ситуации: потенциальная энергия — это работа, необходимая для перемещения из одной точки в другую. Именно так математически выглядит выражение для расчета электрической и гравитационной потенциальной энергии.

* * *

Кажется, что любое тело движется так, будто хочет уменьшить свою потенциальную энергию. Например, камни всегда падают, а не движутся вверх. Более того: камень движется в область меньшей энергии по определенному пути, который позволяет ему потерять потенциальную энергию максимально быстро. Как показано на рисунке, камень будет следовать по прямой линии вниз: это самый короткий путь к нижней точке, в которой у него минимальная потенциальная энергия.

Различные пути, по которым камень мог бы достигнуть земли. Все они длиннее, чем его настоящий путь — самый короткий.

Великий математик Леонард Эйлер (1707–1783) использовал этот факт для формулировки новой версии принципа наименьшего действия; он предложил считать, что тела стремятся потерять потенциальную энергию с максимально возможной скоростью. Принцип Эйлера привел к современной идее о том, что система частиц всегда стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией. Этот простой тезис способен объяснить магнетизм железа, структуру молекулы воды, а также помочь в изучении поведения газа при низких температурах.

Однако принцип Эйлера в своем первоначальном виде работал не везде. Если подбросить камень, он сначала получит потенциальную энергию, а лишь затем начнет ее терять. Кажется, что при определении траектории частицы на нее воздействует не только потенциальная энергия, но и кинетическая.

Окончательная формулировка принципа наименьшего действия принадлежит Лагранжу и Гамильтону. С одной стороны, эти ученые переформулировали принцип Эйлера таким образом, чтобы он работал во всех случаях. С другой стороны, Лагранж и Гамильтон разработали новые математические методы для решения уравнений, которые следуют из этого принципа.

Ими было введено математическое понятие, названное лагранжианом, которому, по иронии судьбы, определение дал Гамильтон. Лагранжиан — это просто разница между кинетической и потенциальной энергией. Если мы обозначим лагранжиан через L, кинетическую энергию — через Т, а потенциальную — через V, то лагранжиан можно вычислить следующим образом:

L = T — V.

Значение лагранжиана различно для каждого промежутка времени движения частицы. В случае с камнем, брошенным вверх, его кинетическая энергия сначала уменьшается, пока не достигнет верхней точки, где становится нулевой, а затем снова увеличивается по мере того, как камень падает. Потенциальная энергия, в свою очередь, увеличивается, пока камень поднимается, а во время падения уменьшается.

* * *

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736–1813)

Он был одним из самых значительных математиков XVIII века. Среди заслуг Лагранжа — разработка вариационного исчисления, математического инструмента, позволяющего найти функцию, на которой заданный функционал достигает максимального или минимального значения. Методы Лагранжа до сих пор широко используются в физике, математике и даже в экономике, где найти максимальные значения некоторых величин, таких как выгода, очень важно. Помимо вклада в базовую науку, Лагранж стал одним из инициаторов внедрения метрической системы. Считается, что именно ему принадлежит идея выбрать килограмм и метр в качестве международных единиц.

Несмотря на закрытый характер, Лагранж пользовался большим признанием: он провел два десятилетия в Берлине, где Фридрих II Великий (1712–1786) регулярно обращался к нему за советами. После смерти монарха математик переехал в Париж, и его авторитет сохранился даже в период революции, в то время как другим ученым, таким как Антуан Лавуазье (1743–1794), повезло гораздо меньше. За два дня до смерти Лагранжа Наполеон наградил его Великим крестом имперского ордена Собрания. Похоронен ученый в Пантеоне, его могила открыта для посещений.

* * *

Лагранжиан можно вычислить в каждый промежуток времени, вычтя потенциальную энергию из кинетической. Все три случая показаны на графиках.

Этот математический объект оказался ключевым элементом, которого не хватало для дополнения принципа наименьшего действия, потому что его можно было использовать, имея в виду как кинетическую, так и потенциальную энергию. В новой формулировке утверждалось, что любое тело движется таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. За этой внешней простотой кроется удивительная способность прогнозировать движение любой классической системы, то есть любой системы, для описания которой нет необходимости прибегать к законам квантовой механики.

Кроме того, формула Лагранжа имеет еще два преимущества: во-первых, она подходит для любой системы координат, и это решило проблему уравнений Ньютона, применимых только для прямоугольной системы координат; во-вторых, эту формулу совершенно свободно можно применить к произвольному числу частиц.

Новая математика открыла для физиков новые возможности, поскольку теперь ученые уже не были ограничены изучением только простых систем, но могли обратить внимание на до сих пор не решенные задачи. Хотя формулировка Лагранжа соответствует законам Ньютона, на практике она позволяет максимально расширить действие этих законов. Изучение таких сложных систем, как газ, было бы невозможным без лагранжевой механики.

И все же, несмотря на всю свою важность, лагранжиан — это только инструмент, позволяющий узнать положение и скорость частицы. Следуя принципу наименьшего действия, траектория тела должна быть такой, чтобы лагранжиан уменьшался как можно быстрее. Но как найти эту траекторию? Одним из способов могло бы стать сравнение нескольких траекторий и выбор той, при которой лагранжиан уменьшается быстрее. К сожалению, количество существующих возможностей очень велико, и до изобретения компьютера не стоило и думать об этом методе. Для решения задачи Лагранжу пришлось воспользоваться вариационным исчислением — совершенно новым математическим инструментом.

Совместная работа Лагранжа и Эйлера привела ученых к открытию уравнений, известных сегодня как уравнения Эйлера — Лагранжа. Они сводят проблему нахождения наименьшего действия к решению системы дифференциальных уравнений, в которых неизвестное — это функция. Решение таких уравнений в XVIII веке было хорошо развито.

Можно представить метод Лагранжа следующим образом: берется некая траектория и слегка изменяется; затем исследуются похожие траектории и вычисляется, как уменьшается лагранжиан для всех них до тех пор, пока не находится подходящая траектория. На следующем графике можно наблюдать различные траектории частицы.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принцип наименьшего действия гласит, что тела движутся таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. Однако существует и более точная формулировка, основанная на такой величине, как действие.

Предположим, что мы знаем, как развивается лагранжиан частицы во времени. Сначала представим это развитие графически.

Действие определяется как область под кривой лагранжиана между исходным моментом (t) и конечным моментом (t₁) движения за определенное время. То есть действие — это закрашенная на рисунке область.

Принцип наименьшего действия можно изложить следующим образом: тело движется так, что действие, связанное с его движением, минимально.

Вычисление площади под кривой может потребовать использования анализа бесконечно малых — области математики, разработанной независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем именно для решения физических задач.

* * *

Лагранж действительно воспользовался этой идеей для того, чтобы найти общую форму, которая позволила бы ему определить траекторию, не останавливаясь на вычислении уменьшения лагранжиана.

Теоретически уравнения Эйлера — Лагранжа могли бы использоваться для определения траектории каждой частицы газа, поскольку, как уже было сказано, их легко можно расширить на произвольное число частиц. Однако на практике из-за огромного количества частиц решить эти уравнения невозможно без помощи мощного компьютера.

Импульсы и положения

Одно из основных преимуществ лагранжевой механики состоит в том, что она была определена в терминах обобщенных координат. В отличие от законов Ньютона, она не предполагала использование прямоугольной системы координат, а была справедлива для любых других систем, подходящих для изучения проблемы. Обобщенные координаты необязательно должны быть выражены единицами измерения длины; как мы видели раньше, одна из них может быть углом. Главное требование к таким координатам — они должны быть достаточными для того, чтобы определить положение частицы в некоторой области пространства.

Чтобы отличить обобщенные координаты от прямоугольной системы координат, оси которых названы х, у, z, используется буква q с индексами — q₁, q₂  или q₃. Это очень удобно, когда рассматриваются системы с несколькими частицами, как в случае с газом.

В предыдущем примере с полярными координатами, где положение на плоскости задано расстоянием до центра и углом, можно определить:

q₁ = r

q₂ = ?

Другой пример — сферические координаты.

В этом случае для определения положения в пространстве нужны три числа: расстояние до центра и два угла, как показано на рисунке. В этом случае получаются следующие обобщенные координаты:

q₁ = r

q₂ = ?

q₃ = ф

Существует неограниченное количество вариантов, каждый из которых подходит для разных задач. Преимущество формулировки Лагранжа заключается в том, что координаты подстраиваются к задаче, а не наоборот.

Числовое значение лагранжиана определяется не только положением частицы, но и ее скоростью, квадрату которой пропорциональна кинетическая энергия. Скорость частицы определяется как изменение положения за единицу времени: если известно положение тела в каждый момент, известна и его скорость.

Зависимость лагранжиана от положения тела и, в свою очередь, от его изменения, усложняла решение уравнений. Если бы лагранжиан зависел только от положения, проводить вычисления было бы намного легче.

Уильям Роуэн Гамильтон предложил решение этой проблемы. Его идея заключалась в том, чтобы переформулировать уравнения Эйлера — Лагранжа таким образом, чтобы они зависели только от положения тела, но не от его скорости. Для этого оказалось необходимым понятие импульса.

Импульс — это мера того, насколько сложно остановить тело. Чем тяжелее тело и чем быстрее оно движется, тем больше усилий необходимо, чтобы его затормозить. Поскольку импульс растет как вместе с массой, так и вместе со скоростью, он определяется как произведение обеих величин. Импульс обозначается буквой р и математически выражается как:

р = m·v,

где m — масса, а v — скорость.

Понятие импульса было известно с древности, хотя современную трактовку он получил от Ньютона, который говорил, что импульс представляет собой количество движения. На основании законов Ньютона можно доказать, что для системы, на которую не воздействуют внешние силы, количество движения остается постоянным. Если мы сложим импульсы каждой частицы в разные моменты времени и сравним результаты, то увидим, что суммы импульсов равны.

Разговор об этом понятии тесно связан с третьим законом Ньютона, в котором утверждается, что любому действию соответствует равное ему противодействие. Более точная формулировка звучит так: когда тело А оказывает некоторую силу на тело В, последнее оказывает на тело А такую же силу в противоположном направлении.

Представим себе человека, опирающегося о стену. В это время человек оказывает на нее силу F. Стена, в свою очередь, воздействует на человека аналогичным образом, но в противоположном направлении, благодаря этому мы и не можем проходить сквозь стены. Точно так же Земля воздействует на нас с силой, равной той, с которой мы воздействуем на Землю, и благодаря этому мы не проваливаемся к центру планеты. Что произошло бы, если бы мы воздействовали на Землю с силой больше нашего веса? В этом случае Земля ответила бы такой же силой, и мы бы отлетели бы от ее поверхности, то есть совершили прыжок.

Используя закон действия и противодействия, можно доказать, что импульс системы частиц должен оставаться постоянным. Возьмем предыдущий пример с прыжком: с одной стороны, человек толкает Землю вниз, в то время как Земля толкает человека вверх. Сила, примененная к человеку, вызывает изменение его скорости, согласно второму закону Ньютона, в котором говорится, что сила пропорциональна ускорению. Точно так же сила, примененная к Земле, влечет изменение ее скорости. Естественно, изменение скорости человека намного больше: масса человека по сравнению с массой Земли очень незначительна. Хотя изменение скорости Земли незаметно ввиду огромной массы планеты, однако изменение ее импульса равно изменению импульса человека, но в противоположном направлении. Итак, оба изменения импульса взаимно сокращаются, и общий импульс остается постоянным.

* * *

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН (1805–1865)

Гамильтон был ирландским физиком и математиком. Его главный вклад в физику состоял в том, что он вывел уравнения движения для тела в классической механике в их современном виде. Гамильтон изобрел кватернионы — систему представления комплексных чисел в четырех измерениях. Кватернионы подходят для описания любого типа вращений и широко использовались в физике, пока не были заменены векторным исчислением.

Гамильтон с детства проявил удивительные лингвистические способности, и уже к подростковому возрасту говорил на 12 языках. Однако потом эта его страсть уступила место все возрастающему интересу к математике, вызванному чтением великих трудов, таких как «Начала» Ньютона и «Небесная механика» Лапласа. Гамильтону удалось не только найти новые формулировки для законов Ньютона, но и построить параллели между механикой и оптикой, а затем перейти к разработке серии уравнений, применимых к обеим этим дисциплинам. Работы ученого использовал австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) для получения своего знаменитого уравнения, определяющего квантовую механику и использующего идею корпускулярно-волнового дуализма (вспомним, что механика работает с частицами, а оптика — с волнами).

* * *

Газ — это система частиц, на которую не воздействуют внешние силы. Это означает, что количество движения его частиц должно оставаться неизменным. Что удивительно, так это возможность сделать подобный прогноз, абсолютно ничего не зная о свойствах молекул, из которых состоит газ. Это делает возможными определенные вычисления, связанные с законами сохранения импульса или энергии. Эти законы являются фундаментальными для прогнозирования поведения какой-либо сложной системы.

Гамильтон решил «заново выразить» уравнения Лагранжа в терминах положений и импульсов вместо положений и скоростей. Таким образом он намеревался упростить математические методы, необходимые для определения траектории изучаемой частицы. Поскольку положения частиц выражались в обобщенных координатах, Гамильтон вынужден был дать импульсу другое определение, адаптированное для этих координат. Он назвал эти новые импульсы обобщенными импульсами и определил их таким образом, чтобы они совпадали с импульсами Ньютона в случае, когда обобщенные координаты совпадают с координатами в прямоугольной системе.

Гамильтон пытался уравнять импульсы и положения, предположив, что импульс — просто координата. Сделав это, он столкнулся с тем, что количество уравнений, требовавших решения, увеличилось, но сами уравнения при этом стали проще.

Поясним, как скорости заменяются импульсами. Возьмем частицу, брошенную в воздух на определенной скорости. Ее кинетическая энергия определяется следующим образом:

T = m·v²/2

Теперь заменим скорости импульсами. Мы знаем, что импульс — это произведение массы на скорость:

p = m·v.

Сократив скорость, получаем:

v = p/m

Теперь, если в формуле кинетической энергии заменить скорость (v) на полученный результат, имеем:

Это выражение включает не скорость, а импульс частицы. Выражение лагранжиана теперь включает в себя только положение и импульс, но в нем при этом удвоилось число неизвестных: теперь нужно найти как положение, так и импульс частицы в каждый момент времени. Но несмотря на такое усложнение, это все же проще, чем решать уравнения Эйлера — Лагранжа.

Уравнения Гамильтона

Следующим шагом для Гамильтона был поиск системы уравнений, которые позволили бы описать изменение во времени импульса и положения частицы, если даны их кинетическая и потенциальная энергии. Для решения задачи Гамильтон пошел дальше уравнений Эйлера — Лагранжа и нашел собственную формулировку классической механики.

Ключевым шагом было введение новой величины, названной в честь ученого гамильтонианом. Гамильтониан частицы совпадает с суммарной энергией, это сумма кинетической и потенциальной энергий. То есть:

H = T + V.

Здесь нужно сделать важное замечание: хотя представленное выше уравнение обычно верно, в некоторых случаях необходимо получать гамильтониан другими способами. Например, это происходит при изменении энергии или когда изучаемая система ускоряется. Однако в подавляющем большинстве физических систем суммарная энергия остается неизменной, поэтому обычно используется именно это уравнение.

Необходимо помнить, что кинетическая и потенциальная энергия зависит от импульсов и положений, которые, в свою очередь, являются временными функциями.

Найдем, как зависят положение и импульс от времени. Другими словами, мы хотим узнать, куда и с какой скоростью движется изучаемое тело. Используя уравнения Эйлера — Лагранжа, Гамильтону удалось изменить их так, чтобы найти новые равенства, зависящие только от гамильтониана. Открытые ученым уравнения могут быть выражены следующим образом:

— изменение положения во времени равно изменению гамильтониана за единицу импульса;

— изменение импульса во времени противоположно изменению гамильтониана в пространстве.

Ниже приведено их математическое выражение, в котором символы d и , несмотря на то что их значения немного различаются (не станем углубляться в эти различия), могут читаться как «изменение»:

Говоря об уравнениях Гамильтона, следует отметить некоторые моменты. Во-первых, как и можно было ожидать, мы видим два уравнения вместо одного, поскольку теперь мы должны вычислить изменение как положения, так и импульса.

Во-вторых, уравнения не зависят от скорости, а только от импульса, положения и гамильтониана, как этого и хотел Гамильтон. Наконец, оба уравнения симметричны, кроме знака. Это совпадение кажется почти волшебным: как может быть, что положение и импульс, абсолютно разные величины, ведут себя так похоже? Это совпадение не давало покоя нескольким поколениям физиков, особенно после того, как было открыто, что подобное отношение — фундаментальная часть квантовой механики. В теории струн дуализм импульса и положения привел к еще более важному утверждению: можно математически описать вселенные, где импульс ведет себя так, как будто является положением, в то время как положение играет роль импульса, что было названо Т-дуализмом.

Применение уравнений Гамильтона

Применение уравнений Гамильтона открывает широкие возможности, благодаря чему сегодня эти уравнения используются не только в классической механике, для которой они были разработаны. Если законы Ньютона в релятивистской системе, где скорость частиц приближается к скорости света, перестают действовать, то уравнения Гамильтона продолжают давать верные результаты: надо лишь заново определить значения кинетической и потенциальной энергии. Уравнения Гамильтона можно считать основой супертеории в том смысле, что они охватывают частную физическую теорию и применяются для тел в электрических или гравитационных полях. Эти уравнения могут быть применены к любой еще не открытой силе при одном условии: необходимо вычислить связанную с ней потенциальную энергию.

Квантовая механика — это физическая теория, которая рассматривает процессы в микромире. В отличие от релятивистской механики, здесь уравнения Гамильтона перестают работать, поскольку все изменения положений и импульсов в микромире в некотором роде случайны. И все же гамильтониан в этой теории становится еще более важным, поскольку определяет изменение любой квантовой системы во времени. Особое отношение между положением и импульсом является ключевым для такого понятия, как принцип неопределенности, который гласит, что невозможно одновременно точно измерить и импульс, и положение частицы.

Математический аппарат, предложенный Гамильтоном почти 200 лет назад, работает и сегодня. Потенциал уравнений Гамильтона очень высок, и они используются в дисциплинах, мало связанных с физикой. Так, Давид Касс (1937–2008), профессор экономики Пенсильванского университета, использовал эти уравнения для создания модели экономического роста. Он сопоставил значения импульсов, положений и некоторых экономических переменных, таких как экономический поток или цены, чтобы с помощью гамильтониана создать модель валового внутреннего продукта государства. Конечной целью Касса была возможность прогнозировать и даже направлять экономическое развитие. Ученые продолжают адаптировать уравнения Гамильтона для многих других отраслей.

До сих пор мы приводили только примеры применения уравнений Гамильтона к одной частице, но благодаря гибкой формулировке этот инструмент позволяет работать с неограниченным их числом. Анализ систем из нескольких частиц — это первый шаг к пониманию газовой динамики.