Глава 5. Как покупать по минимальной цене. Рынок

Глава 5. Как покупать по минимальной цене. Рынок

Рынок изначально был местом, где встречались продавцы и покупатели: производители товаров и купцы предлагали свои товары, а местные жители покупали все необходимое. Очевидно, что продавцы хотели получить максимальную выгоду, то есть обеспечить как можно большую разницу между ценой продажи и стоимостью производства товара, а покупатели стремились приобрести необходимые товары как можно дешевле. Продавцы прекрасно знали, что если они поднимут цены, то продажи снизятся, а если в течение торгового дня какие-то товары останутся непроданными, по сниженной цене их будет легче продать. Во время подобного взаимодействия между продавцами и покупателями устанавливался достаточно стабильный уровень цен, которые изменялись лишь в неурожайные годы.

Спрос и предложение

Рынок существует столько же, сколько и само человечество, однако сегодня он представляет собой чрезвычайно сложный механизм. Товары могут производиться на расстоянии нескольких тысяч километров от места продажи и претерпевать различные изменения. Небольшая группа продавцов, вступив в сговор, может зафиксировать монополистические цены, а влиятельная группа покупателей, в свою очередь, может вынудить продавцов пойти на уступки. Однако рынок продолжает оставаться механизмом, в котором цены определяются как результат взаимодействия продавцов (предложения) и покупателей (спроса). Равновесная рыночная цена — это цена, устанавливаемая покупателями и продавцами в условиях совершенной конкуренции.

Когда одна из сторон обладает большими возможностями, чем другая, возникает монополия со стороны спроса или предложения.

Рынок существует не только для потребительских товаров, услуг и инвестиций, но и для факторов производства, в частности труда, сырья и технологий. Ситуацию на рынке, по сути, определяют предпочтения покупателей (предпочтения и цена, которую они готовы платить) и затраты на производство товаров, а также стратегии, которые используют предприятия для получения максимальной прибыли.

Рынок — традиционное место встречи продавцов и покупателей, однако в наши дни он имеет более широкое значение и является одним из основных элементов капиталистической экономики. На иллюстрации изображен центральный рынок американского города Ланкастер в штате Пенсильвания.

Спрос изучается с помощью статистических таблиц, в которых содержатся данные прошлых периодов об изменении спроса в зависимости от изменения цен. Каждой цене соответствует определенная величина спроса. Кривая спроса представляет собой ветвь гиперболы, при этом на оси ординат откладываются цены, на оси абсцисс — соответствующая величина спроса.

Кривая спроса не фиксирована, а смещается по мере изменения рыночных условий. Таким образом, если уровень доходов покупателей возрастает, то очевидно, что при неизменной цене товара спрос на него увеличится, и кривая спроса сместится вправо. Это же произойдет и при увеличении числа потребителей. Однако на фоне экономического кризиса уровень доходов потребителей снизится, а кривая спроса сместится влево.

Следует различать перемещение вдоль кривой спроса, вызванное исключительно изменением цены или объема предлагаемого товара при том, что остальные переменные (уровень доходов, число потребителей и другие) остаются неизменными, и смещение кривой влево или вправо при увеличении спроса, вызванном изменением одной из этих переменных.

Кривая предложения описывает объем товара, который готовы предложить предприятия по определенной цене, гарантирующей получение прибыли.

Кривая предложения изображается на той же координатной плоскости, где на оси ординат откладываются цены, на оси абсцисс — объем товара, предлагаемого при соответствующем уровне цен. Кривая предложения представляет собой часть параболы, нижняя точка которой определяется минимальной ценой, по которой производители согласны продавать свой товар, — цена меньше этой не окупит стоимость производства товара.

При изучении предложения следует учитывать очень важный показатель — затраты на производство. Чем они ниже по отношению к цене, тем выше будет прибыль предприятия и, как следствие, предприятие будет готово предложить на рынке больше продукции.

Существенную долю затрат на производство составляет стоимость факторов производства — труда, электроэнергии, оборудования. Их сочетание зависит от уровня технологий на предприятии. Технический прогресс заключается в том, что постепенно для производства товара требуется все меньше электроэнергии и труда, а оборудование используется более эффективно. Также прогресс предполагает поиск замещающих факторов, которые повысят эффективность и объемы производства.

Таким образом, производственный процесс автоматизируется, на смену ручному труду приходит автоматизированная производственная цепочка, что позволяет экономить на оплате труда, материалы заменяются другими, более прочными, надежными и одновременно более дешевыми и т. д.

Подобно кривой спроса, кривая предложения также может смещаться. Если цены на рынке меняются, то точка, описывающая рыночную ситуацию, будет смещаться вдоль кривой предложения. Однако если изменяются технологии производства или возрастает число конкурентов, совокупное предложение увеличивается, и, как следствие, кривая предложения смещается вправо.

Роль рынка в формировании цен. Теория рыночного равновесия

Чем выше рыночная цена, тем больше величина предложения, однако при высоком уровне цен величина спроса, как правило, снижается. И напротив, чем ниже цена, тем больше величина спроса, но тем ниже прибыль предприятий.

В определенный момент кривые спроса и предложения пересекаются, и точка их пересечения соответствует совпадению предложения и спроса, то есть указывает цену, по которой покупатели готовы приобретать товар, а предприятия — продавать его.

Эта точка называется точкой равновесия, и если рыночные условия (уровень доходов, предпочтения потребителей, уровень технологий, стоимость факторов производства и т. д.) стабильны, то не существует причин, по которым ситуация на рынке сместилась бы в сторону от равновесной.

На положение равновесной точки могут влиять смещения кривых спроса и предложения, которые сигнализируют об изменении уровня технологий, росте конкуренции между производителями, изменении уровня доходов и количества потребителей, а также их предпочтений. Для производителей равновесная точка соответствует ситуации, при которой предельные издержки (то есть затраты, вызванные увеличением производства на одну единицу продукции) равны предельному доходу (то есть доходу, полученному от продажи дополнительной единицы товара).

Предельный доход рассчитывается по формуле

lim _?q->0  (?b/?q), что с помощью производных можно записать так: db/dq

где b — доход, q — объем продукции. Предельные затраты рассчитываются по формуле:

lim _?q->0  (?c/?q), что с помощью производных можно записать так: dc/dq

где с — затраты, q — объем продукции.

Для анализа ценообразования и поведения рынка требуются широкие знания математики. Во-первых, необходимо сформировать статистику продаж, объемов производства и цен, а также проанализировать, при каких ценах достигается равенство спроса и предложения, или, иными словами, какой уровень спроса будет соответствовать определенной фиксированной цене и какими при этом уровне затрат будут доходы предприятия или всего сектора экономики (в случае если проводится макроэкономический анализ).

Очевидно, что для изучения рынка как на уровне отдельных предприятий (микроэкономическом), так и на уровне секторов экономики необходимо формировать статистику, анализировать графики и проводить другие, более сложные виды статистического анализа — анализ дисперсии, многовариационный анализ и подбор аппроксимирующей кривой, чтобы определить, какие переменные, помимо спроса и предложения, влияют на уровень цен и доходы предприятий.

* * *

ОБЩЕЕ РАВНОВЕСИЕ

При изучении общего равновесия все секторы экономики рассматриваются одновременно и анализируются все возможные прямые и косвенные воздействия рынков друг на друга. Леон Вальрас (1834–1910) был первым, кто описал общее экономическое равновесие на языке математики.

Вальрас считал, что центром экономики является предприятие, и изучал деятельность предприятий в условиях конкурентной борьбы. Он также выявил взаимозависимость всех рынков в экономике: товарных (где продаются и покупаются товары и услуги) и рынков факторов производства (труда, земли и капитала). Он проанализировал механизмы определения цен и объемов продаваемых и приобретаемых товаров и сформулировал теорию общего экономического равновесия, то есть устойчивого положения на рынке. Итальянский экономист Вильфредо Парето и австрийский ученый Карл Менгер, считающиеся основателями неоклассической экономической школы маржинализма, продолжили исследования Вальраса.

Теория общего равновесия изучается в микроэкономике (экономике предприятия) и объясняет поведение производителей и потребителей, а также механизмы ценообразования в экономике. В теории общего равновесия используется подход снизу вверх, так как изначально в ней рассматриваются отдельные рынки и экономические субъекты. В макроэкономике, напротив, используется подход сверху вниз, и макроэкономический анализ начинается с рассмотрения наиболее масштабных компонентов.

Леон Вальрас — французский экономист, сформулировавший математическую основу теории общего равновесия.

* * *

Современные модели общего экономического равновесия очень сложны, и для поиска точных численных решений необходимо использовать мощные компьютеры.

В модели Вальраса в виде взаимосвязанных уравнений представлены функции спроса и предложения, аргументами которых являются цены. Переменными являются цена, величина спроса и величина предложения. Необходимо найти значения двух неизвестных: цены и объема, при которых величина спроса будет равна величине предложения. В функции предложения с ростом объема цена возрастает, в функции спроса с ростом объема цена снижается. Точка пересечения кривых спроса и предложения является точкой равновесия.

Принцип Вильфредо Парето (1848–1923), в свою очередь, основан на эмпирических наблюдениях. Этот итальянский философ и экономист заметил, что общество неизменно делится на «немногих, владеющих многим» и «многих, владеющих немногим». Он определил две группы с соотношением численности 80/20, при этом меньшинство, составляющее 20 %, владеет 80 % чего-либо, а большинство, составляющее 80 % населения, владеет 20 % этого же «чего-либо». Эти цифры не являются окончательными и могут изменяться. Принцип Парето используется для описания событий, является примерным и в каждом конкретном случае корректируется. Нужно учитывать, что даже распределение причин и следствий не является линейным: 80 % следствий вызваны лишь 20 % причин.

Было обнаружено, что принцип Парето можно применить в различных областях экономики и бизнеса. Этот принцип гласит, что 20 % действий вызывают 80 % результатов, а остальные 80 % действий являются причиной всего 20 % последствий. Для равномерного распределения благ, максимально далекого от соотношения 80/20, нужно свести действие принципа Парето к минимуму.

Принцип Парето используется и в коммерческом анализе. Компании, проводящие анализ счетов-фактур, констатируют, что примерно 80 % счетов выставляется 20 % клиентов. Соотношение 80/20 почти никогда не соблюдается буквально, однако само распределение объемов продаж это соотношение описывает, как правило, с высокой точностью.

Вильфредо Парето — итальянский экономист, сформулировавший принцип распределения в соотношении 80/20, который с успехом применяется в самых разных областях.

* * *

АВС-АНАЛИЗ РЕСУРСОВ

Принцип Парето также используется для анализа ресурсов или ассортимента товаров, предлагаемых торговыми предприятиями, в которых 20 % ассортимента дают 80 % продаж. Такой анализ получил название АВС-анализа. А — 20 % товаров, приносящих 80 % продаж, В — 15 % от общего объема продаж и 30 % ассортимента, С — 5 % продаж и 50 % ассортимента. Эта классификация также используется для разделения ассортимента на ограниченное число категорий в зависимости от наличия товаров. Продукты категории А располагаются ближе к зоне обработки заказов, чтобы на их перемещение тратилось минимальное время.

* * *

Принцип Парето успешно применяется во многих областях политики и экономики. Согласно этому принципу, около 20 % населения обладают 80 % политической власти и экономических ресурсов, а между остальными 80 %, которых Парето называл «массами», распределено 20 % богатства и незначительное политическое влияние. Этим же соотношением в целом описывается и распределение природных богатств.

Эластичность спроса

Материальные блага ограничены, и для их получения необходимы определенные затраты, которые измеряются в физических и денежных единицах. После того как вследствие определенных действий произведен некоторый объем благ, их необходимо продать на рынке. Цена благ определяется спросом, и если установившиеся цены выше стоимости производства благ, производитель получает прибыль. Таким образом, принимая решение вывести на рынок товар, производитель руководствуется следующими принципами.

1. Предвидеть изменение спроса и следующее за ним изменение цен.

2. Попытаться сделать минимальными затраты на производство, чтобы получить как можно большую прибыль, а также определить порог рентабельности, за которым производство товаров или услуг становится невыгодным.

3. Разработать экономическую модель, которая позволит определить параметры рыночного равновесия и увидеть, как формируются цены в зависимости от спроса и предложения.

Таким образом, нужно изучить, как меняется спрос при изменении цены предложения. Для этого определяется отношение изменения спроса и изменения цен, которое называется эластичностью спроса и выражается следующим образом:

Эластичность спроса = ?q/?р,

где ?q — изменение величины спроса на определенное благо, ?р — изменение его цены.

Эти изменения можно также выразить в процентах:

Иными словами, эластичность равна производной q по р, dq/dp, умноженной на p/q

Эластичность спроса измеряется в процентах. Она показывает, на сколько изменяется спрос на определенное благо при изменении его цены на одну денежную единицу.

Если при незначительном изменении цены спрос существенно меняется, то говорят, что спрос является эластичным. При значительном росте цен спрос пропорционально падает, и потребители начинают покупать более дешевые товары-заменители. Эластичный спрос характеризуется эластичностью больше единицы, то есть при изменении цены на одну денежную единицу отмечается изменение спроса на несколько единиц. Если же, напротив, при изменении цены спрос практически не меняется, то говорят, что спрос является неэластичным. В этом случае эластичность спроса меньше единицы.

Спрос на товары первой необходимости, в частности продукты питания, одежду и обувь, обычно неэластичен, так как эти товары сложно заменить. Товары роскоши характеризуются более эластичным спросом, так как с ростом цен потребители отдают предпочтение более дешевым товарам, в то время как при падении цен на товары роскоши спрос на них быстро восстанавливается.

На цены также влияет уровень доходов потребителей — высоким доходам соответствует высокая покупательная способность, как следствие, потребители могут приобретать больше благ. Следовательно, эластичность спроса соответствует определенному уровню дохода, и с изменением доходов, то есть при смещении кривой спроса вправо, она также может изменяться.

Как функционирует рынок

В теории кажется, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции и абсолютной прозрачности, то есть на нем действует множество предприятий, предлагающих продукцию как можно более высокого качества, созданную при минимально возможных затратах, товары идеально соответствуют запросам потребителей, а потребители всегда действуют рационально, то есть приобретают блага наилучшего качества, удовлетворяющие их потребностям, по самой низкой цене, таким образом, получают максимальный уровень полезности по минимальной цене. В действительности это не так: на рынке отсутствует совершенная конкуренция и, как правило, существует несколько предприятий, способных производить товары при недостижимом для остальных уровне затрат и технологий. Как следствие, такие предприятия устанавливают на свои товары максимально возможную цену, которую готовы платить потребители. Иногда на рынке действует единственная компания, занимающая привилегированное положение, например поставляющая топливо или высокотехнологичные товары (высокоточное оборудование, самолеты и т. п.), при этом цены на ее продукцию формируются в интересах производителя, а не потребителей.

А бывает и так, что компании выпускают на рынок товары и услуги, о которых потребитель ничего не знает, потому что раньше ничего подобного на рынке не было. С помощью рекламной кампании у потребителя создается ощущение, что новый продукт ему необходим, и он спонтанно и нерационально приобретает по завышенной цене товар, который в действительности ему не нужен (при этом сам покупатель убежден в обратном).

Также существуют предприятия, занимающие привилегированное положение на рынке, в частности концессии (поставщики воды, электричества, транспортные компании), которые могут устанавливать слишком высокие цены. Существование подобных монополий (то есть компаний, доминирующих на рынке) при невмешательстве государства крайне негативно отражается на потребителях, однако в некоторых странах функции таких монополий берет на себя само государство. Порой, когда предложение формируется ограниченным числом производителей (такая ситуация называется олигополией), они могут вступить в сговор и установить на свою продукцию определенный уровень цен. Олигополии действуют подобно монополисту: ситуация на рынке полностью контролируется производителями и неблагоприятна для потребителей (подобные истории очень часто происходят в автомобильной промышленности и страховании).

На этой карикатуре 1885 года американский художник Фредерик Бурр Оппер изобразил монополистов-миллионеров, узурпировавших ресурсы страны.

Помимо монополии предложения, может существовать и монополия спроса (монопсония), то есть ситуация, при которой на рынке имеется только одна компания-покупатель и несколько компаний-поставщиков. В этом случае компания-покупатель может выдвигать жесткие условия, касающиеся сроков поставки, скидок, расположения товаров в магазинах, условий платежа и т. д. Примером монопсонии являются супермаркеты, которые требуют у поставщиков (в том числе транснациональных компаний) скидок за большой объем приобретаемого товара, передачи товара на реализацию, при которой счета-фактуры оформляются только в момент продажи конечному потребителю, устанавливают сроки оплаты, превышающие 30 дней, и взимают с поставщиков дополнительные платежи, так как владельцы супермаркетов полагают, что появление товара на их полках само по себе является рекламой, за которую нужно платить, и т. д. Если компания хочет сотрудничать с супермаркетом, она должна подписать договор о поставках, в котором на поставщика накладываются серьезные ограничения.

Еще одним фактором, влияющим на итоговую стоимость товаров, является деятельность посредников или комиссионеров, которые взимают небольшой процент от исходной цены или получают комиссию в зависимости от объема продаж. Существование цепочек посредников, участвующих в процессе распределения товара, может существенно повысить его итоговую стоимость для потребителя, и некоторые посредники могут быть настоящими монополистами. Такая ситуация обычно складывается на рынке сельскохозяйственной продукции, что вызывает значительную разницу между ценой, по которой товар покупается у производителей, и ценой, которую платит за него потребитель.

Еще одним способом организации рынка является аукцион, при котором товар получает тот покупатель, который предложит наибольшую цену.

* * *

ФАКТОРИНГ

Существует множество способов ведения торговых операций, особенно касающихся способов оплаты. Один из таких способов — факторинг, при котором компания обращается в финансовое учреждение, чтобы получить авансом оплату счета, выставленного клиенту. Банк перечисляет поставщику определенную часть суммы счета (выполняет дисконтирование платежа), а после того как покупатель оплатит продукцию, доплачивает продавцу остаток суммы, удерживая процент за предоставленный кредит и комиссию за оказанные услуги. Если сумма, которая должна быть уплачена клиентом на дату n, равняется V_n, банк выплатит компании авансом меньшую сумму V₀ и удержит процент по ставке i процентов годовых (при пересчете этой процентной ставки на период времени n фактическая процентная ставка становится равной i_в), таким образом, сумма процентов, удержанных банком, будет равна:

D = V_n- i_в

В виде авансового платежа V₀ компания получит сумму, равную:

V₀ = V_n — V_n?i_e = V_n(1 — i_в) = V_n — D; V₀ < V_n

где V₀ — сумма, выплаченная банком, V_n - дисконтированная сумма; i — годовая процентная ставка банка, i_e — эффективная процентная ставка, применяемая в зависимости от сроков уплаты; n — срок погашения и D — сумма процентов (= V_n?i).

Эта формула аналогична формуле расчета простых процентов, но в ней используется авансовый платеж.

* * *

Существуют различные разновидности аукционов. Наиболее распространенным является прямой (английский) аукцион, при котором товар выставляется на торги по начальной цене, затем потенциальные покупатели увеличивают ее, и лот в итоге достается тому, кто предложит наибольшую сумму. Другая разновидность аукциона — обратный (голландский) аукцион, при котором исходная цена является максимальной, но если никто не желает приобрести товар по этой цене, аукционист постепенно ее снижает, и товар достается тому, кто первым согласится приобрести его по предложенной цене.

Американский аукцион проводится по правилам английского, однако его торги закрыты, и один участник может подать заявку лишь один раз.

Также существуют аукционы покупателя, их обычно проводят государственные учреждения, закупающие какие-либо товары или услуги. На этих аукционах предложения подаются в закрытых конвертах, побеждает тот, чья цена будет наименьшей. С этим аукционом схож тендер, в котором победитель определяется на основании не только цены, но и с учетом других факторов.

Сегодня существует множество разновидностей аукционов в зависимости от отрасли, вида товара и других условий: таможенные аукционы, на которых распродаются конфискованные товары, аукционы недвижимости, где финансовые учреждения реализуют имущество, изъятое за долги, публичные торги, интернет-аукционы, проводимые в электронной форме, аукционы, на которых выставляются монеты, произведения искусства, антиквариат и т. д.

Аукцион — это очень прозрачный способ формирования цены и организации рынка, поскольку спрос и предложение на нем ничем не ограничены. Такая форма торговли часто используется на довольно сложных рынках, например валютных, так как аукционы являются очень эффективным средством контроля обмена валют, ассигнования государственных ценных бумаг, казначейских векселей и ценных бумаг с фиксированной доходностью. На рынке ценных бумаг биржи используют аукционы для фиксации котировок на момент начала торгов или на момент закрытия биржевых сессий.

На этой английской карикатуре 1819 года изображается аукцион, на котором Георг IV продал вещи недавно умершей матери.

Изучение рынка

Проведем исследование рынка на следующем примере: по оценкам, чистящее средство некой марки используют 26 % семей. Была сформирована выборка из 12 семей, которым задали вопрос, какую марку чистящего средства они используют. Нужно определить, какова вероятность того, что в этой выборке от 6 до 9 семей используют чистящее средство рассматриваемой марки. Анализируемая переменная может принимать одно из двух возможных значений («да, используется» и «нет, не используется»), вероятности которых соответственно равны 26 % и 74 % (74 = 100—26).

С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность РВ(k) того, что в выборке из n семей k будут использовать рассматриваемое чистящее средство, равна где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь, указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь,

указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ГРУППИРОВКИ ОБЪЕКТОВ

Сочетаниями из n объектов по k (где k < n) называются все группы из k объектов; две группы считаются различными, если они отличаются по меньшей мере одним объектом, при этом порядок объектов в группах не имеет значения. Так, число сочетаний (групп) из четырех объектов по 3 обозначается С³₄ и вычисляется по следующей формуле:

Всего можно составить четыре различные группы. Так, если в качестве четырех исходных элементов мы рассмотрим буквы А, В, С, D, то искомыми четырьмя сочетаниями будут AВС, ABD, ACD, BCD. Существуют другие типы группировки объектов, которые широко используются в дискретной математике, к ним относятся размещения и перестановки.

Размещение из n объектов по m Aⁿ_m определяется так: две группы считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом или же их элементы расположены в разном порядке. Все возможные размещения из четырех элементов (р, q, r, s) по 3 таковы:

pqr, pqs, prq, psq, prs, psr,

qrp, qpr, qps, qsp, qrs, qsr,

rps, rsp, rpq, rqp, rsq, rqs,

spq, sqp, sqr, srq, spr, srp.

Число размещений вычисляется по формуле Aⁿ_m = m?(m — 1)?(m — 2)…(m — n + 1). В нашем случае число размещений равно

V³₄ = 4(4—1) … (4 — 3 + 1) = 4?3?2 = 24.

Перестановки — это размещения, содержащие все исходные элементы, то есть размещения при m = n. Перестановками из трех элементов (М, N, Р) являются размещения из 3 по 3. Все возможные перестановки таковы: MNP, MPN, NMP, NPM, PMN, PNM. Число перестановок вычисляется по формуле

Р_n = n(n — 1)(n — 2)…(n — n + 1) = n(n — 1)(n — 2)…3?2?1 = n!

В нашем случае Р₃ = 3(3 — 1)(3 — 2) = 3! = 6.

* * *

Вероятность того, что произойдет одно или несколько возможных событий, равняется сумме вероятностей отдельных событий, если они являются независимыми (то есть не могут произойти одновременно).

В нашем примере вероятность того, что шесть опрошенных используют определенное чистящее средство, равна

Использовав эту формулу, рассчитаем с помощью Excel таблицу значений от РВ(1)до РВ(12).

Распределение вероятностей передается графически двумя способами: справа оно представлено на гистограмме, слева — с помощью графика непрерывной функции

Искомая вероятность того, что рассматриваемую марку средства используют от 6 до 9 опрошенных, равна

РВ (6 < х < 9) = РВ (6) + РВ (7) + РВ (8) + РВ (9) =

= 0,0468708102 + 0,0141155039+ 0,0030996943 + 0,0004840363 = 0,0645700627 = 6,46 %

Средняя величина и среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения рассчитываются по формулам:

среднее = ? = n?p; среднеквадратическое отклонение = ? =

В нашем случае

среднее ? = р = 12?0,24 = 2,88; среднеквадратическое отклонение = ? =  = 1,479.

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, график которого при больших объемах выборки стремится к графику нормального распределения.

Кривая биномиального распределения слегка асимметрична по сравнению с кривой нормального распределения, которая полностью симметрична.

Слева — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковой средней ? и среднеквадратическим отклонением ? = 1; ? = 2; ? = 3. Справа — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковым среднеквадратическим отклонением ? = 1 передними ?₁, ?₂, ?₃, ?₄.

Статистики и экономисты должны уметь работать с широким спектром распределений вероятности. Каждой конкретной ситуации, в которой встречаются случайные величины (переменные, значения которых невозможно спрогнозировать), соответствует определенное распределение вероятностей (функция распределения).

Некоторые распределения вероятностей описывают экономические и социальные явления. Ситуации, когда изучаемая переменная является дискретной (принимает только целые значения или значения «да»/«нет»), адекватно описываются биномиальным распределением. При непрерывных переменных во многих случаях применяется нормальное распределение, или кривая Гаусса.

Живительная математическая теорема, называемая «центральной предельной теоремой», гласит, что на очень больших генеральных совокупностях (при анализе множества деталей, изготовленных на станке, множества избирателей в стране, роста, веса, психологических характеристик людей, поведения групп людей и т. д.) рассматриваемые значения стремятся к нормальному распределению, следовательно, средние значения на выборках, взятых из этой совокупности, также подчиняются нормальному закону и совпадают со средними по всей совокупности. Среднеквадратическое отклонение на выборках также подчиняется нормальному закону и равняется среднеквадратическому отклонению генеральной совокупности.

Центральная предельная теорема является основным связующим звеном между значениями на выборке (несколько объектов) и значениями на большой генеральной совокупности (множество объектов) и показывает, насколько большое значение имеет нормальное распределение вероятности в статистических исследованиях.

По данным периодически проводимых опросов активного населения можно определить параметры всего населения страны с определенной погрешностью, которая описывается доверительным интервалом, о чем мы уже говорили выше.

Вероятность P(z) возникновения события z вычисляется как площадь, ограниченная графиком функции распределения и осью ОХ. Поэтому нет смысла говорить о Р(0,45), так как, во-первых, в связи с погрешностями измерения, неизбежными для любого инструмента, можно говорить лишь об определенном интервале, во-вторых, потому что площадь полученной области будет равна 0.

* * *

СТАНДАРТИЗОВАННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Стандартизованное нормальное распределение — это упрощенное нормальное распределение изучаемого параметра или переменной. Все значения х_i изучаемой переменной меняются: из них вычитается среднее значение i, после чего результат делится на среднеквадратическое отклонение ?. Стандартизованная переменная обозначается буквой z.

Таким образом, центральным значением множества х_i становится не ?, а 0. При делении на ? распределение становится стандартизованным, среднеквадратическое отклонение принимает значение ? = 1. Таким образом, одно и то же распределение (один и тот же график, одну и ту же функцию и одну и ту же таблицу значений) можно использовать для любого нормального распределения после замены переменной, а благодаря этой замене при анализе любого нормального распределения можно использовать одну и ту же таблицу значений.

При переходе к новой переменной (от х к z) все распределения статистических переменных, подчиняющихся нормальному закону, определяются одной и той же функцией распределения (так  при среднем значении, равном 0, и среднеквадратическом отклонении, равном 1.

* * *

При изучении непрерывных статистических переменных имеет смысл говорить только о вероятности попадания значения z на определенный интервал  .

Тогда площадь, ограниченная графиком, есть интеграл от функции плотности:

Также можно говорить о вероятности того, что величина z будет не больше определенного значения, то есть будет принадлежать открытому интервалу [ ]. Эта вероятность рассчитывается так:

В обоих случаях интеграл позволяет найти необходимую площадь.

Графически вероятность того, что значение z будет меньше или равно а, изображается областью, выделенной серым цветом на следующем графике, и вычисляется с помощью интеграла:

Значение этого интеграла можно вычислить только с помощью методов аппроксимации. С их применением были составлены таблицы распределения вероятностей для стандартизованного нормального закона распределения, позволяющие выполнить любое статистическое исследование, в котором фигурирует нормальное распределение. Эти таблицы можно найти в любой книге по основам статистики, и они позволяют вычислить следующие вероятности:

PNT (z <= 1) = 0,8413; PNT (z <= 2) = 0,9972; PNT (z <= 3) =0,9987.