13

2. Мой второй пример - предложенное Пифагором(6) доказательство "иррациональности" числа

Рациональные числа представляются в виде дроби

где a и b - целые числа. Можно предположить, что a и b не имеют общих множителей, так как если бы они их имели, то на общий множитель можно было бы сократить. Утверждение "число

иррационально" равносильно утверждению "число 2 не представимо в виде

", а оно в свою очередь равносильно утверждению о том, что соотношению

не могут удовлетворять целые значения a и b, не имеющие общего множителя. Это - теорема чистой арифметики, не требующая знания "иррациональных чисел" и не зависящая ни от какой теории иррациональных чисел.

Снова воспользуемся доказательством от противного. Предположим, что соотношение (2) выполняется и что a и b целые числа, не имеющие общего множителя. Из соотношения (2) следует, что число a

чётно (так как 2b

делится на 2), и, следовательно, число a чётно (так как квадрат нечётного числа нечётен). Если a чётно, то

a = 2c, (3)

где c - некоторое целое число, и, следовательно,

или

(4)

Следовательно, число b

чётно, а это значит (по той же причине, что и прежде), что число b чётно. Таким образом, оба числа a и b чётны и поэтому имеют общий множитель 2, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, наше исходное предположение ложно.

Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение - не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d - длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору(7),

поэтому d не может быть рациональным числом.

Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием "основной теоремы арифметики", гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является "трудным", требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.

Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса - на простые числа

5, 13, 17, 29, 37, 41, ...,

дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа

3, 7, 11, 19, 23, 31, ...,

дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.

Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[117] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.

Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?