17

Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, - её глубина. Определить его ещё труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; "более глубокие" идеи обычно труднее постичь, но вместе с тем это не одно и то же. Идеи, лежащие в основании теоремы Пифагора и её обобщений весьма глубоки, но современный математик не счёл бы их трудными. С другой стороны, теорема может быть в сущности поверхностна, но очень трудна для доказательства (таковы, например, очень многие "диофантовы"[120] теоремы, т.е. теоремы о решении уравнений в целых числах).

Создаётся впечатление, что математические идеи "стратифицированы", т.е. расположены как бы слоями, идеи в каждом слое связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея. Так, идея "иррационального числа" глубже идеи целого числа, и по этой причине теорема Пифагора глубже теоремы Евклида.

Сосредоточим внимание на отношениях между целыми числами или в какой-нибудь другой группе объектов, лежащих в каком-нибудь конкретном слое. Может случиться так, что одно из этих отношений окажется полностью понятным, что мы сможем распознать и доказать, например, какое-нибудь свойство целых чисел, не зная о содержании слоев, расположенных ниже. Так, теорему Евклида мы доказали, рассматривая только свойства целых чисел. Но существует также немало теорем о целых числах, которые мы не можем должным образом оценить и ещё в меньшей степени доказать, не "копая" глубже и не выясняя того, что происходит в лежащих ниже слоях.

Нетрудно привести соответствующие примеры из теории простых чисел. Теорема Евклида очень важна, но не отличается особой глубиной: мы можем доказать, что существует бесконечно много простых чисел, не пользуясь ничем глубже понятия "делимости". Но как только мы узнаем, что простых чисел бесконечно много, сразу же возникают новые вопросы. Да, простых чисел бесконечно много, но как они распределены? Пусть N - некоторое большое число, например,

или

(13). Сколько существует простых чисел, не превосходящих числа N?(14) Стоит нам задать эти вопросы, как мы оказываемся в совершенно ином положении. Мы в состоянии ответить на них с поразительной точностью, но только если копнем глубже, оставив на время в стороне целые числа, и воспользуемся самым мощным оружием современной теории функций. Таким образом, теорема, дающая ответ на наши вопросы (так называемая "теорема о распределении простых чисел"), гораздо глубже теоремы Евклида или даже теоремы Пифагора.

Я мог бы легко увеличить число примеров, но понятие "глубины" неуловимо даже для математика, способного его распознать, и вряд ли я могу сказать ещё что-нибудь об этом понятии, что будет особенно полезным читателям-неспециалистам.