15

Под "серьёзной" принято понимать теорему, содержащую "значительные" идеи. Мне кажется, что нужно попытаться провести более подробный анализ тех качеств, которые делают математическую идею значительной. Сделать это очень трудно, и маловероятно, что проводимый мной анализ окажется очень ценным. Мы узнаем "значительную" идею, когда нам случается её видеть, как мы узнали значительные идеи в приведённых выше теоремах Евклида и Пифагора, но способность распознать важное требует весьма высокой степени математической мудрости и знания математических идей, которое берётся только от многолетнего пребывания в их компании. Поэтому я всё же попытаюсь проанализировать в какой-то мере "серьёзности" математической идеи и сделать анализ при всей его неадекватности разумным и понятным насколько это возможно. Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддаётся определению легко и просто.

Значительная математическая идея, серьёзная математическая теорема должна обладать "общностью" в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе её доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьёзной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств. Нам остаётся только привести примеры отдельных курьезов, которые во множестве встречаются в арифметике. Приведу, два примера, заимствованных мной почти наугад из книги "Математические эссе и развлечения" Роуза Болла и Коксетера. (Русский перевод: Болл Р., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986. - Прим. перев.)

(а) 8712 и 9801 единственные четырёхзначные числа, равные целым кратным числам, полученным при записи в обратном порядке:

8712 = 42 · 178, 9801 = 9 · 1089.

Других чисел, не превосходящих 10000, которые бы обладали этим свойством, не существует.

(б) Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

Все это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика. Их доказательства не трудны и не интересны, а всего лишь немного утомительны. Соответствующие утверждения, как теоремы, не серьёзны. Ясно, что одна из причин этого (хотя, вероятно, не самая важная) - чрезмерная конкретность как формулировок, так и доказательств, не допускающих никаких обобщений.