Математика карты Нью-Йорка
Рис. 24
Взгляните на фрагмент карты Манхэттена на рис. 24. Если вы стоите на углу Тридцать четвертой улицы и Восьмой авеню, а у вас назначено свидание на углу Пятьдесят девятой улицы и Пятой авеню, найти дорогу не составит труда, верно? Именно в этом и заключалась идея новой геометрии по Декарту. Он снабдил свое «Рассуждение о методе» приложением «Геометрия» объемом в 106 страниц[61]. Трудно поверить, что эта поразительно простая концепция совершила настоящую революцию в математике. Начал Декарт с почти что тривиального факта: как показывает карта Манхэттена, пара чисел однозначно определяет положение точки на плоскости (например, точка А на рис. 25, а). Затем, опираясь на этот факт, Декарт разработал мощную теорию кривых – аналитическую геометрию. В честь Декарта пара перпендикулярных прямых, которая дает нам систему отсчета, получила название «Декартова система координат». По традиции горизонтальную линию называют «ось х», вертикальную – «ось у», а точку их пересечения – «начало координат». Например, точка, обозначенная А на рис. 25, а, имеет координаты х = 3 и у = 5, что принято обозначать упорядоченной парой чисел (3, 5) (обратите внимание, что начало координат обозначается (0, 0)). А теперь предположим, что мы хотим как-то охарактеризовать все точки на плоскости, которые находятся на расстоянии ровно 5 единиц от начала координат. Разумеется, это и есть геометрическое определение окружности с центром в начале координат и с радиусом в 5 единиц (рис. 25, b). Если вы возьмете точку (3, 4) на этой окружности, то окажется, что ее координаты удовлетворяют равенству 32 + 42 = 52. Более того, легко показать (при помощи теоремы Пифагора), что координаты (x, y) любой точки этой окружности удовлетворяют равенству х?2 + у?2 = 52. Но и этого мало: точки на окружности – это единственные точки на плоскости, для которых верно уравнение х?2 + у2 = 52. Это значит, что алгебраическое уравнение х?2 + у2 = 52 характеризует окружность точно и однозначно. Иначе говоря, Декарт открыл[62] способ выразить геометрическую кривую алгебраическим уравнением или численно – и наоборот. Наверное, когда речь идет просто об окружности, кажется, будто в этом нет ничего особенно интересного, однако все на свете графики – будь то недельные колебания фондовой биржи, температура на Северном полюсе за последние сто лет или темп расширения Вселенной – основаны на гениальной идее Декарта. Алгебра и геометрия внезапно перестали быть двумя независимыми отраслями математики и превратились в два представления одних и тех же истин. Уравнение, описывающее кривую, неявно содержит все мыслимые свойства этой кривой, в том числе, например, все теоремы евклидовой геометрии. Но и это еще не все. Декарт показал, что если начертить в одной и той же системе координат разные кривые, то точки их пересечения задаются общими решениями соответствующих алгебраических уравнений. Таким образом Декарт сумел задействовать мощности алгебры, чтобы исправить неприятные недостатки классической геометрии. Например, Евклид определял точку как сущность, не имеющую ни частей, ни величины. Это довольно темное определение навсегда кануло в забвение, когда Декарт определил точку на плоскости просто как упорядоченную пару чисел (x, y). Но даже эти открытия – всего лишь верхушка айсберга. Если две переменные величины x и y можно соотнести таким образом, чтобы каждому значению х соответствовало одно и только одно значение у, они составляют так называемую функцию, а функции воистину вездесущи. Когда вы отслеживаете уменьшение веса во время диеты, рост вашего ребенка в дни рождения или зависимость расхода топлива от скорости вождения, все эти данные можно выразить в виде функций.
Рис. 25
Функции – это хлеб насущный современных физиков, статистиков и экономистов. Если много повторяющихся научных экспериментов или наблюдений дают одни и те же функциональные соотношения, то они иногда получают почетное звание законов природы – математических правил поведения, которым, оказывается, подчиняются все природные явления. Например, закон всемирного тяготения Ньютона, к которому мы еще вернемся в этой главе, гласит, что если расстояние между двумя точечными массами удвоить, то сила притяжении между ними всегда уменьшается в четыре раза. Таким образом, идеи Декарта открыли дверь систематической «математизации» практически всего чего угодно – вот она, самая суть идеи, что Бог – математик. С чисто математической точки зрения, установив эквивалентность двух отраслей математики, алгебры и геометрии, которые, как полагали раньше, вообще не связаны друг с другом, Декарт расширил горизонты математики и проложил дорогу современному анализу, который позволяет математикам безо всякого труда переходить от одной математической субдисциплины к другой. Таким образом, математика не просто получила возможность описывать широкий диапазон явлений, но и сама по себе стала шире, богаче и всеохватнее. Как выразился великий математик Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813): «Пока алгебра и геометрия следовали разными путями, прогресс их был медленным, а область применения ограниченной. Однако когда эти две науки объединились, то напитались свежими соками друг от друга и с тех пор бодро шагают к совершенству».
Несмотря на все важнейшие достижения Декарта в математике, сфера его научных интересов математикой не ограничивалась. Он говорил, что наука – будто дерево: корни ее – метафизика, ствол – физика, а три основные ветви – механика, медицина и мораль. Выбор ветвей может поначалу показаться неожиданным, но на самом деле ветви прекрасно символизируют три главные области, в которых Декарт хотел применить свои новые идеи: Вселенная, человеческий организм и человеческое поведение. Первые четыре года своего пребывания в Голландии – с 1629 по 1633 – Декарт писал трактат по физике и космологии «Мир» («Le Monde»)[63]. Однако, когда книга была уже готова к печати, Декарт получил крайне неприятные известия. В письме к своему другу и критику естествоиспытателю Марену Мерсенну (1588–1648) он жаловался.
Я собирался послать вам мой «Мир» в подарок на Новый год, и еще две недели назад я был полон решимости отправить вам хотя бы часть, если всю книгу не удастся напечатать вовремя. Однако вынужден сказать, что за это время я взял на себя труд поинтересоваться в Лейдене и Амстердаме, можно ли там достать «Диалог о двух системах мира» Галилея, поскольку я вроде бы слышал, что его напечатали в Италии в минувшем году. Мне сообщили, что его и вправду напечатали, однако весь тираж немедленно сожгли в Риме, а самого Галилея отдали под суд и заключили в тюрьму. Я пришел в такой ужас, что едва не решил сжечь все свои бумаги или по крайней мере сделать так, чтобы их никто не увидел. Ведь я не мог даже помыслить, чтобы Галилей – итальянец и, насколько я понимаю, в добрых отношениях с Папой – был обвинен в преступлении по какой бы то ни было причине, кроме того, что он попытался, а так, несомненно, и было, заявить, что Земля движется. Я знаю, что эту точку зрения уже осудили некоторые кардиналы, но, кажется, слышал, что о ней все равно публично рассуждают в Риме. Должен признать, что если это представление ложно, значит, ложны и все основные принципы моей философии (курсив мой. – М. Л.), ведь его можно легко вывести из них. И оно так тесно вплетено в каждую фразу моего трактата, что я не могу убрать его, не нанеся ущерба всей работе. Однако я ни за что на свете не хотел бы публиковать книгу, в которой даже одно-единственное слово вызвало бы неодобрение церкви, поэтому предпочел отозвать трактат из печати, лишь бы не выпускать его в изуродованном виде.
От идеи публиковать «Мир» Декарт и вправду отказался (правда, незавершенная рукопись все же увидела свет в 1664 году), однако большинство результатов включил в свои «Первоначала философии», которые вышли в 1644 году. В этом систематическом рассуждении Декарт сформулировал свои законы природы и теорию вихрей. Два из этих законов сильно напоминают знаменитые Первый и Второй законы Ньютона, но остальные, в сущности, неверны[64]. Согласно теории вихрей, Солнце находится в эпицентре смерча, возникшего в вечной вселенской материи. Планеты вращаются в этом вихре, словно листья в речном водовороте. В свою очередь, планеты формируют свои вторичные вихри, которые движут спутниками. Хотя теория вихрей Декарта – это полнейшее заблуждение (на что беспощадно указывал впоследствии Ньютон), она все равно вызвала интерес, поскольку это была первая серьезная попытка сформулировать теорию Вселенной в целом, основанную на тех же законах, что действуют на поверхности Земли. Иначе говоря, для Декарта не было разницы между явлениями земными и небесными: Земля для него была частью Вселенной, подчиняющейся единым физическим законам.
К сожалению, Декарт нарушил собственные принципы и не заложил в основу своей подробной теории ни непротиворечивой математической модели, ни наблюдательных данных. Тем не менее сценарий Декарта, по которому Солнце и планеты так или иначе возмущали однородную материю Вселенной вокруг них, содержал некоторые элементы, которые значительно позднее стали краеугольным камнем теории гравитации Эйнштейна. Согласно эйнштейновой общей теории относительности, гравитация – это не какая-то загадочная сила, которая действует на огромных пространствах космоса. Правильнее сказать, что массивные тела вроде Солнца искажают пространство вокруг себя: примерно так же батут провиснет, если положить на него увесистый шар для боулинга. А планеты просто движутся в этом искаженном пространстве по кратчайшим возможным траекториям.
Я преднамеренно исключил из этого крайне сжатого изложения идей Декарта практически все его фундаментальные философские идеи, поскольку это увело бы нас слишком далеко от природы математики (о его представлениях о Боге мы еще поговорим в этой главе). Однако я не могу устоять перед искушением процитировать здесь забавное замечание английского математика Уолтера Уильяма Роуза Болла (1850–1925), сделанное в 1908 году:
Что касается его [Декарта] философских теорий, достаточно сказать, что он разбирал те же вопросы, которые обсуждались последние две тысячи лет – и, вероятно, с тем же жаром будут обсуждаться еще две тысячи лет. Едва ли стоит упоминать, что сами эти вопросы очень важны и интересны, однако на них так и не было дано никаких ответов по существу, которые можно было бы строго доказать либо опровергнуть: удается разве что сделать то или иное объяснение более или менее вероятным, и всякий раз, когда философ вроде Декарта полагал, что он наконец-то дал окончательный ответ на какой-то вопрос, у его последователей оставалась возможность указать на логические несообразности в его аргументации. Я где-то читал, что философия всегда занималась в основном взаимоотношениями Бога, Человека и Природы. Первыми философами были древние греки, которые в основном занимались отношениями Бога и Природы, а с Человеком разбирались отдельно. Христианская церковь была так поглощена отношениями Бога и Человека, что полностью пренебрегала Природой. Наконец, современные философы озабочены главным образом отношениями Человека и Природы. Насколько точно подобное историческое обобщение представлений, превалировавших в различные эпохи, я сейчас обсуждать не хочу, однако та часть этого утверждения, которая относится к современной философии, обозначает все недостатки сочинений Декарта.
Свой трактат о геометрии Декарт завершает следующими словами: «И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им самим удовольствие найти это» (рис. 26). Он и представить себе не мог, что человек, которому в год его, Декарта, смерти сравнялось всего восемь лет, продвинет его представления о математике как о сердце науки далеко вперед. Этот непревзойденный гений, пожалуй, имел возможность получить «удовольствие найти это» столько раз, сколько не выпадало на долю больше никому за всю историю человечества.
Рис. 26