Загадочная автобиография

Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал когда-то для читателей одного распространенного тогда журнала[59] в качестве «задачи на премию». Вот она:

Задача № 9

«Загадочная автобиография»

«В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она началась следующими строками:

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет, - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых ¹/₁₀ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?»

Решение

Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления - вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в этой системе (как 9 - в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором - не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцатипятерки» и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 x 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 x 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают:

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет.

Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 6 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых ¹/₅ приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей».

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятиричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119: 5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятиричной системе - 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23: 5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») - 4.

Итак, 119 = 4 x 25 + 3 x 5 + 4, или в пятиричной системе «434».

Сделанные действия для удобства располагают так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево, и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

Задача № 10

Изобразить 47 в третичной системе:

Решение

Ответ: «1202». Поверка: 1 x 27 + 2 x 9 + 0 x 9 + 2 = 47.

Задача № 11

Число 200 изобразить в семиричной системе.

Решение

Ответ: «404». Поверка: 4 x 49 + 0 x 7 + 4 = 200.

Задача № 12

Число 163 изобразить в 12-ричной системе.

Решение

Ответ: «117». Поверка: 1 x 144 + 1 x 12 + 7 = 163.

Думаем, что теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например в двенадцатиричной) может явиться надобность в цифрах «десять» и «одиннадцать». Из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, - хоты бы, например, буквы К и Л, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте. Так, число 1579 в двенадцатиричной системе изобразится следующим образом:

Поверка: 10 x 144 + 11 x 12 + 7 = 1579.

Задача № 13

Выразить число 1926 в двенадцатиричной системе[60].

Задача № 14

Выразить число 273 в двадцатиричной системе[61].