Многоугольники навсегда

Хотя может показаться, что эта фигура будет увеличиваться до бесконечности, на самом деле она всегда остается в пределах ограниченной области на плоскости: круга радиусом приблизительно 8,7.

Отношение радиусов окружности, описанной вокруг правильного n-угольника, и окружности, вписанной в него, равно sec ?/n, где sec – это тригонометрическая функция секанс, а угол измеряется в радианах. (Если хотите измерять угол в градусах, замените ? на 180°.) Таким образом, для любого n радиус окружности, описанной вокруг правильного n-угольника на рисунке, равен

S = sec ?/3 ? sec ?/4 ? sec ?/5 ? … ? sec ?/n[38].

Мы хотим узнать предел этого произведения при n, стремящемся к бесконечности. Возьмем логарифм:

lnS = lnsec ?/3 + lnsec ?/4 + lnsec ?/5 + … + lnsec ?/n.

Пока x мал, lnsec x ~ x?/2, так что этот ряд можно сравнить с рядом

1/3? + 1/4? + 1/5? + … + 1/n?,

который при n, стремящемся к бесконечности, сходится. Следовательно, lnS конечен, так что и S конечно. Сумма членов ряда до n = 1 000 000 дает 8,7 в качестве разумной оценки предела.

Я узнал об этой задаче, а также о приведенном ответе из книжного обзора Харольда Боаса[39]. Этот автор нашел эту задачу в книге «Математика и воображение» Эдварда Каснера и Джеймса Ньюмена, изданной в 1940 г. Он пишет: «Может быть, если этот рисунок воспроизвести в достаточном числе книг, этот забавный пример станет частью стандартного набора задач занимательной математики».

Я стараюсь, Харольд.