Последовательные кубы

23? + 24? + 25? = 12 167 + 13 824 + 15 625 = 41 616 = 204?.

Эти числа можно найти простым перебором. Систематический метод состоит в том, чтобы обозначить среднее число n и записать, что (n – 1)? + n? + (n + 1)? = 3n? + 6n = m? для некоторого числа m. Таким образом, m? = 3n (n? + 2). Множители 3, n, n? + 2 не имеют общих делителей, кроме, может быть, чисел 2 и 3. Поэтому любой простой делитель больше 3 должен присутствовать как в n, так и в n? + 2 в четной степени (возможно, нулевой). Первые два числа, удовлетворяющие этому условию, – это 4 и 24, причем 24 является решением, а 4 не является.