Самовлюбленные числа

Загадка с кубами приобрела некоторую известность потому, что в 1940 г. знаменитый математик Годфри Харолд Харди написал в книге «Апология математика»[6], что подобные головоломки не имеют никакой математической ценности, поскольку зависят от используемой нотации (в данном случае десятичной) и представляют собой всего лишь случайные совпадения. Однако, разгадывая такие загадки, можно почерпнуть немало полезных знаний в области математики, а обобщения (к примеру, расширение задачи на другие системы счисления, помимо десятичной) позволяют обойти вопрос нотации.

Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.

Четвертые степени цифр (4-самовлюбленные числа)

Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:

[abcd] = a⁴ +b⁴ +c⁴ + d⁴,

где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Пятые степени цифр (5-самовлюбленные числа)

На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:

[abcde] = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵+ e⁵,

что, как несложно догадаться, еще труднее.

Ответ в главе «Загадки разгаданные».

Более высокие степени цифр (n-самовлюбленные числа для n ? 6)

Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ? 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9ⁿ < 10^n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ? 6 получаем следующие числа: