Почему у моих друзей больше друзей, чем у меня?

Предположим, в социальной сети n человек, причем человек i имеет x_i друзей. Тогда среднее число друзей по все членам сети составляет

При рассмотрении столбца 3 в таблице – взвешенного среднего от числа друзей у каждого из друзей j человека i – мы используем стандартный математический прием и работаем вместо этого с человеком j. Этот человек фигурирует как друг у x_j человек – а именно у собственных друзей – и вносит x_j в подсчет полного количества у каждого из этих друзей. Так что случаи, когда человек j выступает в качестве друга, вносят вклад x_j? в общую сумму. Число элементов в столбце 3 составляет x₁ + … + x_n. Так что взвешенное среднее числа друзей у каждого из друзей равно

Я утверждаю, что для любых x_j мы всегда имеем b>a, если только все x_j не равны, в каковом случае b = a. Это следует из стандартного неравенства, связывающего среднее с тем, что инженеры называют «среднеквадратичным значением» (это корень квадратный из среднего значения квадратов):

причем равенство достигается только при равенстве всех x_j. Возведя в квадрат и сгруппировав, получим a<b, за исключением случая равенства всех x_j, что и требовалось. Дополнительную информацию можно найти на сайте

http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Root-Mean_Square-Arithmetic_Mean-Geometric_Mean-Harmonic_mean_Inequality