Происхождение греческой философии чисел

В начале была пропорция, и пропорция была у Бога, и пропорция была Богом.

Иоанн, 1:1[5]

Египтяне, которые изобрели геометрию, не особенно задумывались о математике. Для них это был всего лишь инструмент измерения хода времени и земельных участков. Отношение греков было совсем иным. Для них числа и философия были нераздельны, и к обоим они относились очень серьезно. Греки заходили слишком далеко, когда дело касалось чисел. В прямом смысле слова.

…Гиппас из Метапонта стоял на палубе, готовясь к смерти. Вокруг него стояли последователи культа, тайного братства, которое он предал. Гиппас раскрыл секрет, который был смертельно опасен для греческого мышления, секрет, который грозил подорвать всю философию братства. За это сам великий Пифагор приговорил его к смерти через утопление. Для защиты своей философии — нумерологии — братство готово было убивать. Однако как ни смертелен был секрет, раскрытый Гиппасом, он был незначителен по сравнению с опасностями, которые таил ноль!

Возглавлял культ Пифагор, древний радикалист. Согласно большинству источников, он родился в VI веке до н. э. на Самосе, греческом острове у побережья современной Турции, знаменитом своим храмом Геры и великолепным вином. Даже по стандартам суеверных древних греков взгляды Пифагора были эксцентричны. Он был твердо убежден, что он — реинкарнация Эуфорба, троянского героя. Это помогало Пифагору верить в то, что все души — включая души животных — возрождаются после смерти в других телах. По этой причине он придерживался вегетарианства. Бобы, впрочем, находились под запретом, поскольку они вызывают скопление газов и по виду напоминают гениталии.

Пифагор мог бы быть древним последователем нью-эйдж; он был красноречивым оратором, признанным ученым и харизматичным учителем. Говорят, он написал конституцию для живущих в Италии греков. Ученики стекались к нему, и он скоро приобрел множество последователей, которые хотели учиться у мастера.

Пифагорейцы жили согласно учению своего вождя. Среди прочего они верили, что заниматься любовью лучше всего зимой, а не летом; что все болезни вызываются несварением; что следует есть сырую пищу и пить только воду; что не следует носить одежду из шерсти. Однако в центре их философии находился самый важный принцип: все есть число.

Греки унаследовали числа от геометров-египтян. В результате в греческой математике не было существенного различия между фигурами и числами; для греческих философов-математиков они были примерно одним и тем же. Даже сегодня у нас имеются, благодаря их значимости, квадраты целых чисел и треугольные числа (рис. 5). В те дни доказать математическую теорему часто было все равно, что нарисовать прекрасную картину; инструментами древнегреческих математиков были не карандаш и бумага, это были линейка и циркуль. Для Пифагора связь между фигурами и числами была глубокой и таинственной. Каждое число-форма имело скрытое значение, а самые красивые из них были священны.

Рис. 5. Квадраты чисел и треугольные числа

Мистическим символом пифагорейского культа была, естественно, «число-форма»: пентаграмма, пятилучевая звезда. Эта простая фигура — взгляд в бесконечность. В сердцевине линий звезды лежит пятиугольник. Соединение углов пятиугольника прямыми создает маленькую повернутую вверх ногами пятилучевую звезду, в своих пропорциях точно такую же, как исходная. Эта звезда в свою очередь содержит еще меньший пятиугольник, а тот — еще меньшую звезду с ее крохотным пятиугольником и так далее (рис. 6). Как это ни любопытно, для пифагорейцев самой важной особенностью пентаграммы было не это самоповторение, но нечто скрытое среди прямых, составляющих звезду: золотое сечение, суть пифагорейского взгляда на Вселенную.

Рис. 6. Пентаграмма

Важность золотого сечения связана с открытием Пифагора, о котором теперь редко вспоминают.

В современной школе дети узнают о Пифагоре по его знаменитой теореме: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Однако на самом деле это было давно известно. Такое открытие было сделано более чем за тысячу лет до Пифагора. В Древней Греции Пифагор был знаменит другим открытием: музыкальной гаммой.

Рис. 7. Мистический монохорд

Однажды, говорит легенда, Пифагор играл с монохордом — коробкой с натянутой на ней струной (рис. 7). Передвигая туда-сюда подвижную подставку, Пифагор менял звуки, которые издавал инструмент. Он быстро обнаружил, что струна ведет себя странно, но предсказуемо. Когда вы дергаете струну без подставки, вы получаете чистую ноту, тон, известный как основной. Перемещение подставки, на которую опирается струна, меняет высоту издаваемого звука. Когда вы помещаете подставку точно в середине монохорда, так, что она касается струны в центре, каждая половина струны издает одну и ту же ноту: тон, ровно на октаву выше основного. Незначительное перемещение подставки может разделить струну так, что на одну часть придется три пятых длины струны, а на другую — две пятых; в этом случае, как заметил Пифагор, отрезки струны издают две ноты, образующие вверх и вниз от основного тона чистую квинту, которая, как считалось, выражает самое мощное и запоминающееся музыкальное переживание. Другие соотношения дают другие тона, которые могут успокаивать или беспокоить. (Диссонирующий интервал тритон, состоящий из трех целых тонов, например, был прозван «дьяволом в музыке» и отвергался средневековыми музыкантами.) Странным было то, что когда Пифагор помещал подставку так, что струна разделялась не в простой пропорции, извлекаемые ноты плохо сочетались. Звуки обычно оказывались диссонирующими, а иногда и хуже. Часто тон шатался, как пьяный, по гамме.

Для Пифагора исполнение музыки было математическим действием. Как квадраты и треугольники, струна являлась для него «число-формой», так что деление струны на части оказывалось тем же, что и нахождение отношения двух чисел. Гармония монохорда была гармонией математики — и гармонией Вселенной.

Пифагор пришел к заключению, что пропорция управляет не только музыкой, но и всеми другими видами красоты. Для пифагорейцев отношения и пропорции контролировали музыкальную красоту, физическую красоту, красоту математическую. Понять природу было так же просто, как понять математические законы пропорций. Такая философия — взаимозависимость музыки, математики и природы — вела к созданию самой ранней пифагорейской модели расположения планет. Пифагор утверждал, что Земля находится в центре Вселенной, а Солнце, Луна, планеты и звезды вращаются вокруг Земли, находясь внутри сфер (рис. 8). Пропорции сфер были прекрасны и упорядочены, и когда сферы двигались, они издавали музыку. Самые дальние планеты, Юпитер и Сатурн, двигались быстрее всего и производили самые высокие звуки. Самые ближние, такие как Луна, издавали более низкие ноты.

Рис. 8. Пифагорейская Вселенная

Все вместе движущиеся небесные тела создавали «музыку сфер»; небеса представляли собой прекрасный математический оркестр. Именно это Пифагор и имел в виду, говоря: «Все есть число».

Поскольку пропорции были ключом к пониманию природы, пифагорейцы и более поздние греческие математики тратили много сил на изучение их свойств. В конце концов они разделили пропорции на десять различных классов, назвав их гармоническим средним. Одно из этих средних давало самое «красивое» число на свете: золотое сечение.

Достижение этого восхитительного среднего было делом особого деления струны: нужно было разделить ее на две части так, чтобы отношение меньшей части к большей было таким же, как отношение большей части к целому (см. Приложение B). Выраженное словесно, такое отношение не кажется чем-то особенным, однако числа, связанные с золотым сечением, представлялись самыми красивыми объектами. Даже сегодня художники и архитекторы интуитивно ощущают, что такое соотношение длины и ширины наиболее эстетически привлекательно, а потому золотое сечение определяет пропорции многих произведений искусства. Некоторые историки и математики утверждают, что Парфенон, величественный афинский храм, был построен так, что золотое сечение осуществлено во всех его частях и деталях. Даже природа, кажется, учитывает золотое сечение в своих созданиях. Сравните соотношение размеров любых двух соседних камер раковины наутилуса или отношение направленных по часовой стрелке и против нее углублений на ананасе, и вы увидите, что эти пропорции близки к золотому сечению (рис. 9).

Рис. 9. Парфенон, раковина наутилуса и золотое сечение

Пентаграмма стала священным символом для братства пифагорейцев, потому что элементы звезды разделяются именно так: пентаграмма полна примеров золотого сечения, а для пифагорейцев золотое сечение было царем чисел. Тот факт, что золотое сечение было излюбленным соотношением и художников, и природы, считался доказательством правильности утверждения пифагорейцев о том, что музыка, красота, архитектура, природа и само строение космоса связаны между собой и нераздельны. На взгляд пифагорейцев, пропорции правили миром, а то, что было истиной для пифагорейцев, скоро стало истиной для всего Запада. Сверхъестественная связь между эстетикой, пропорциями и вселенной надолго сделалась центральным принципом западной цивилизации. Еще во времена Шекспира ученые говорили о революции разных пропорций сфер и обсуждали небесную музыку, звучащую по всему космосу.

В системе Пифагора нолю не было места. Эквивалентность чисел и фигур делала древних греков повелителями геометрии, однако она была связана с серьезным недостатком. Она мешала тому, чтобы рассматривать ноль как число. Какая фигура, в конце концов, могла быть нолем?

Легко визуально представить себе квадрат шириной и высотой в две единицы, но что за квадрат с нулевой шириной и высотой? Трудно представить себе квадрат, не имеющий ни ширины, ни высоты, не имеющий никакой материальности. Это означало, что умножение на ноль бессмысленно. Умножение двух чисел эквивалентно нахождению площади прямоугольника, но какой может быть площадь прямоугольника с нулевой высотой или шириной?

Сегодня великие нерешенные проблемы математики формулируются в теоретических формулах, которые математики не в силах доказать. В древней Греции, однако, «число-формы» побуждали мыслить иначе. Знаменитые нерешенные вопросы имели геометрическую форму: имея только линейку и циркуль, можно ли было построить квадрат, площадью равный заданному кругу? Можно ли было с помощью этих инструментов разделить угол на три части?[6] Геометрические построения и фигуры были одним и тем же. Ноль был числом, которое не имело никакого геометрического смысла, так что, чтобы включить его в свою математику, грекам пришлось бы полностью изменить способ вычислений. Они предпочли этого не делать.

Даже если бы ноль был числом в греческом смысле, составление пропорции с участием ноля противоречило бы законам природы. Пропорция больше не выражала бы отношение между двумя объектами. Частное от деления ноля на что угодно — на любое число — всегда равно нолю; другое число полностью поглощается нолем. А частное от деления чего угодно на ноль — числа на ноль — может разрушить логику. Ноль пробил бы дыру в аккуратном пифагорейском порядке Вселенной; по этой причине его нельзя было терпеть.

Пифагорейцы попытались дать отпор другой тревожащей математической концепции — понятию иррационального. Это был первый вызов их взглядам, и братство попыталось держать все в тайне. Когда секрет просочился наружу, последователи культа прибегли к насилию.

Понятие иррациональности таилось внутри греческой математики, как бомба с часовым механизмом. Благодаря двойственности «число-формы» греческое исчисление было равносильно измерению прямой. Таким образом, отношение двух чисел было не более чем сравнением двух отрезков разной длины. Однако для любого измерения требуется стандарт, общая мера для сравнения с величиной отрезков. Например, представьте себе отрезок прямой длиной ровно в фут. Сделайте отметку, скажем, на расстоянии пяти с половиной дюймов от одного конца, которая разделит фут на две неравные части. Греки вычислили бы пропорцию с помощью деления отрезка на маленькие кусочки, используя, например, стандартную мерку в полдюйма. Одна часть отрезка содержала бы одиннадцать таких мер, а другая — тринадцать. Отношение двух отрезков, таким образом, было бы 11:13.

Для того чтобы все вещи во Вселенной управлялись пропорциями, как надеялись пифагорейцы, любое имеющее смысл явление должно было быть связано с безупречной, точной пропорцией. Она в буквальном смысле слова должна была быть рациональной. Точнее, пропорции должны были иметь вид a / b, где a и b были бы безупречными, точными натуральными числами, такими как 1, 2 или 47. (Математики предупреждают, что b не должно быть нолем, потому что это было бы равнозначно делению на ноль, что, как мы знаем, катастрофично.)

Нет необходимости говорить: Вселенная вовсе не так упорядочена. Некоторые числа не могут быть выражены в виде простого отношения a / b. Эти иррациональные числа были неизбежным следствием греческой математики.

Квадрат — одна из простейших геометрических фигур, и пифагорейцы должным образом ценили его. (Квадрат имеет четыре стороны, что соответствует четырем элементам; он символизирует совершенство чисел.) Однако в простоте квадрата прячется иррациональность. Она появляется, если вы проведете диагональ — из одного угла в противоположный. В качестве конкретного примера представьте себе квадрат со стороной в один фут. Проведите диагональ. Одержимые рациональностью люди, такие как греки, смотрели на сторону и диагональ квадрата и спрашивали себя: каково отношение этих двух отрезков?

Первым шагом было бы создать общую мерку, может быть, маленькую линейку в полдюйма длиной. Следующим шагом было бы использование этой мерки, чтобы разделить оба отрезка на одинаковые части. Пользуясь полудюймовой меркой, мы можем разделить сторону квадрата длиной в один фут на двадцать четыре части, каждая длиной в полдюйма. Но что получится, когда мы измерим диагональ? Используя ту же мерку, мы обнаружим… что диагональ состоит из почти тридцати четырех таких частей, но совсем точно не делится. Тридцать четвертый кусочек чуть-чуть не умещается, линеечка торчит из угла квадрата. Мы можем усовершенствовать процесс, взять линеечку длиной в одну шестую дюйма и разделить отрезки на бо?льшее число частей. Тогда сторона квадрата окажется состоящей из семидесяти двух частей, но диагональ будет содержать больше сто одной, но меньше сто двух частей. Измерение снова окажется несовершенным. Что случится, если мы разобьем отрезки на действительно маленькие части — в миллионную долю дюйма каждая? На сторону квадрата придется двенадцать миллионов кусочков, но диагональ будет содержать их чуть меньше, чем 16 970 563. Снова наша линеечка не уляжется на оба отрезка в точности. Какую бы мерку мы ни выбрали, измерение так и не получится точным.

На самом деле сколь бы маленькую мерку мы ни использовали, невозможно найти такую, которая измерила бы сторону и диагональ квадрата в совершенстве: диагональ несоизмерима со стороной квадрата. Тем не менее без общей меры невозможно выразить длины двух отрезков так, чтобы они образовали пропорцию. Это значит, что для квадрата со стороной в единицу длины нельзя найти такие натуральные числа a и b, чтобы диагональ квадрата могла быть выражена как a / b. Другими словами, диагональ квадрата выражается числом иррациональным; сегодня мы понимаем, что это число — корень квадратный из двух.

Для пифагорейской доктрины это было бедой. Как природа могла управляться отношениями и пропорциями, когда нечто столь простое, как квадрат, было способно опровергнуть их язык? В такую идею пифагорейцам было трудно поверить, но она была неопровержима, будучи следствием математических законов, которые были им так дороги. Одно из первых математических доказательств в истории касалось несоизмеримости — иррациональности диагонали квадрата.

Иррациональность представляла опасность для Пифагора, поскольку угрожала основам его вселенной пропорций. Дело еще ухудшалось тем, что пифагорейцы скоро обнаружили: золотое сечение, величайший для них символ красоты и рациональности, также является иррациональным числом. Чтобы не дать этим ужасным числам разрушить доктрину Пифагора, иррациональные числа было решено засекретить. Все члены братства хранили молчание, никому не позволялось делать записи, и несоизмеримость квадратного корня из двух сделалась глубочайшим, ужаснейшим секретом ордена пифагорейцев.

Однако иррациональные числа, в отличие от ноля, не могли игнорироваться греками. Иррациональные числа снова и снова возникали при всевозможных геометрических построениях. Было трудно хранить иррациональность в секрете от людей, настолько одержимых геометрией и пропорциями. Нельзя было избежать того, что в один прекрасный день кто-то не выдал бы секрет. Этим кем-то оказался Гиппас из Метапонта, математик и член пифагорейского братства. Тайна иррациональных чисел оказалась для него несчастьем.

Легенды весьма неопределенны и сообщают противоречивые сведения о предательстве Гиппаса и наказании за него. Математики по сей день рассказывают о несчастном, который раскрыл миру существование иррациональных чисел. Некоторые утверждают, что Гиппаса выбросили за борт в качестве заслуженного наказания за то, что он своими грубыми фактами разрушил прекрасную теорию. Одни древние авторы сообщают о его гибели в море за нечестивость, другие считают, что пифагорейцы изгнали Гиппаса из братства и соорудили его гробницу, исключив тем самым из мира живых. Однако какова бы ни была истинная судьба Гиппаса, не приходится сомневаться, что он был отвергнут своими братьями. Раскрытый секрет потряс самые основы пифагорейской доктрины, однако, объявив иррациональность аномалией, пифагорейцы смогли предотвратить искажение их взгляда на Вселенную. В конце концов греки неохотно включили иррациональные числа в область чисел. Пифагора убила не иррациональность, а бобы.

Легенды о кончине Пифагора являются столь же туманными, как и легенда об убийстве Гиппаса. Тем не менее все они утверждают, что смерть Пифагора была странной; некоторые источники говорят, что он уморил себя голодом, но самая распространенная версия — что причиной его смерти были бобы. Однажды его дом загорелся — его подожгли враги, рассвирепев, что их сочли недостойными видеть Пифагора. Члены братства разбежались, спасая свои жизни. Пифагорейцев убивали одного за другим, братство перестало существовать. Сам Пифагор бежал и мог спастись, если бы не оказался рядом с бобовым полем. Там он остановился, заявив, что скорее позволит себя убить, чем пересечет это поле. Его преследователи только обрадовались этому. Они перерезали Пифагору горло.

Хотя братство рассеялось, а его вождь погиб, пифагорейское учение продолжало жить. Оно скоро стало основой самой влиятельной философии в истории Запада — учения Аристотеля, владевшего умами на протяжении двух тысячелетий. Ноль противоречил этой доктрине и, в отличие от иррациональных чисел, его можно было игнорировать. Качества греческих «число-форм» делали это легкой задачей; в конце концов, ноль не был фигурой, а потому не мог быть числом.

Однако не вычислительная система греков и не недостаток знаний препятствовали принятию ноля. Греки узнали о нем благодаря своему интересу к ночному небу: как и большинство древних народов, они наблюдали за звездами. Первыми мастерами астрономии были вавилоняне; они узнали, как предсказывать затмения. Фалес, первый греческий астроном, научился этому у вавилонян или, возможно, у египтян. О нем говорили, что в 585 году до н. э. он предсказал солнечное затмение.

Вместе с вавилонской астрономией пришли и вавилонские числа. Для целей астрономии греки использовали шестидесятеричную систему и даже стали делить час на шестьдесят минут, а минуту — на шестьдесят секунд. Около 500 года до н. э. ноль — символ-заполнитель — начал появляться в вавилонских записях; его использование, естественно, распространилось и среди греческих астрономов. Во времена расцвета древней астрономии в греческих астрономических таблицах регулярно использовался ноль; его символом был строчной омикрон «?», который выглядит очень похоже на наш современный ноль, хотя это, возможно, совпадение. (Использование омикрона могло быть следствием того, что это первая буква греческого слова «ничто» — ouden). Греки не любили ноль и использовали его как можно реже. Выполнив вычисления по вавилонской системе, греческие астрономы обычно переводили числа обратно в громоздкую греческую форму — без ноля. Ноль никогда не использовался в числе древних цифр на Западе, так что маловероятно, что омикрон — прародитель нашего ноля. Греки видели пользу ноля для вычислений, но все равно отвергали его.

Это вызывалось не невежеством и не ограничениями греческой системы «число-форм», а философией. Ноль вступал в противоречие с фундаментальными философскими воззрениями Запада, поскольку ноль содержит две идеи, отравляющие западную доктрину. Действительно, эти концепции со временем разрушили аристотелевскую философию после ее долгого царствования. Опасные идеи были представлениями о пустоте и о бесконечности.