Ноль и тайна математического анализа
Чем больше ум анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения… Это не конечные величины, не бесконечно малые величины, но и не ничто. Не назвать ли нам их призраками исчезнувших величин?
Епископ Беркли, «Аналитик»[26]
Проблемы касательной и площади оказываются в запутанном состоянии из-за одних и тех же трудностей с бесконечностью и нолями. Это неудивительно, поскольку проблема касательной и проблема площади на самом деле одно и то же. Они обе — аспекты дифференциального и интегрального исчисления, научного инструмента, много более мощного, чем все, что было известно ранее. Телескоп, например, дал ученым возможность обнаружить луны и звезды, никогда раньше не наблюдавшиеся. Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, — и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.
Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.
Несмотря на тяжелое детство[27] и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.
Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) — потоках — математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x2 + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются — текут — с течением времени. Скорость их изменения — их флюксии — он обозначал как x? и y? соответственно.
Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона y в этот момент менялся на (y + оy?), в то время как x менялся на (x + оx?). (Буква «о» представляла собой количество прошедшего времени; оно было почти нолем, но не совсем, как мы увидим.)
Уравнение тогда принимает вид:
(y + оy?) = (x + оx?)2 + (x + оx?) +1.
Раскрытие выражения (x + оx?)2 дает нам y + оy? = x2 + 2x(оx?) + (оx?)2 + x + оx? + 1. Приведение членов дает y + оy? = (x2 + x + 1) + 2x(оx?) + 1(оx?) + (оx?)2. Поскольку y = x2 + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x2 + x + 1 из правой. Это дает нам оy? = 2x(оx?) + 1(оx?) + (оx?)2. Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx? на самом деле очень, очень мал, оx??2 еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оy? = 2x(оx?) + 1(оx?), а это значит, что оy? / оx? = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).
Рис. 26. Чтобы найти угол наклона в любой точке параболы y = x2 + x + 1, нужно использовать формулу 2x + 1
Бесконечно малый период времени о выпадает из уравнения, оy? / оx? превращается в y? / x?, и об о больше не нужно думать.
Метод давал правильный ответ, но ньютоновское действие исчезновения очень смущало. Если, как настаивал Ньютон, (оx?)2, (оx?)3 и более высокие степени оx были равны нолю, то и само оx? должно быть равно нолю[28]. С другой стороны, если оx? — ноль, то деление на оx?, как мы делали в конце, то же самое, что деление на ноль — как и самый последний шаг избавления от о в верхней и нижней части выражения оy? / оx?. Деление на ноль запрещено математической логикой.
Ньютоновский метод флюксий был очень сомнителен. Он предполагал незаконную математическую операцию, однако обладал одним огромным преимуществом. Он работал. Метод флюксий не только разрешал проблему касательной, он разрешал и проблему площадей. Нахождение площади под кривой (или прямой, которая является одной из разновидностей кривой) — операция, которую мы теперь называем интегрированием, — всего лишь действие, обратное дифференцированию. Как дифференцирование выражения y = x2 + x + 1 дает уравнение для наклона касательной y = 2x + 1, интегрирование уравнения y = 2x + 1 дает формулу для определения площади под кривой. Эта формула — y = x2 + x + 1; площадь под кривой, ограниченной точками x = a и x = b просто равна (b2 + b + 1) — (a2 + a + 1) (рис. 27). (Технически формула имеет вид y = x2 + x + c, где c есть любая константа. Процесс дифференцирования уничтожает часть информации, так что процесс интегрирования не дает вам точно тот ответ, который вы ищете, если только вы не добавите недостающие данные.)
Рис. 27. Чтобы узнать площадь под кривой y = 2x + 1, используйте формулу y = x2 + x + 1
Математический анализ — это комбинация этих двух инструментов, дифференцирования и интегрирования, в одной упаковке. Хотя Ньютон нарушил некоторые очень важные математические правила, заигрывая с нолем и бесконечностью, математический анализ давал настолько мощные методы вычислений, что ни один математик не смог его отвергнуть.
Природа говорит уравнениями. В этом странное совпадение. Правила математики были выстроены на основании подсчета овец и измерения земельных участков, однако те же самые правила управляют Вселенной. Законы природы описываются уравнениями, а уравнения в определенном смысле — всего лишь инструменты, используя которые, вы вводите числа и получаете другое число. Древние знали несколько этих уравнений-законов, вроде закона рычага, но с началом научной революции уравнения-законы стали появляться отовсюду. Третий закон Кеплера описывал время, которое нужно планетам для обращения по орбите: r3 / t2 = k, где t — время, r — расстояние и k — константа. В 1662 году Роберт Бойль показал, что если взять запечатанный сосуд с газом внутри и начать газ сжимать, то давление внутри возрастет: давление, умноженное на объем, есть константа: p? = k, где p — давление, v — объем, k — константа. В 1676 году Роберт Гук вычислил силу действия пружины. Она равна отрицательной константе, умноженной на расстояние: f = –kx, где f — сила, x — расстояние, на которое растянута пружина, и k — константа. Эти ранние уравнения-законы были очень хороши для выражения простых зависимостей, однако уравнения имели ограничения — их постоянство, что не позволяло им быть универсальными.
Например, возьмем знаменитое уравнение, с которым все мы знакомимся в школе: скорость, умноженная на время, дает расстояние. Оно показывает, как далеко (на сколько миль — x) вы продвинетесь, если будете бежать с постоянной скоростью v в час на протяжении t часов: ?t = x. Это уравнение очень полезно, когда вы подсчитываете, сколько времени займет путь от Нью-Йорка до Чикаго на поезде, который едет со скоростью ровно 120 миль в час. Однако сколько предметов на самом деле двигаются с постоянной скоростью, как поезд в этом математическом примере? Уроните мяч, и окажется, что он падает все быстрее и быстрее. В данном случае уравнение x = vt попросту неверно. В случае падающего мяча x = gt2 / 2, где g — ускорение, вызванное гравитацией. С другой стороны, если вы приложите к мячу увеличивающуюся силу, может оказаться, что x = at3 / 3. Равенство расстояния скорости, умноженной на время, — это не универсальный закон, он действует не при всех условиях.
Исчисление позволило Ньютону объединить все эти уравнения в один великий свод законов — законов, приложимых во всех случаях, при всех условиях. Впервые наука смогла увидеть универсальные законы, лежащие в основе всех этих мелких полузаконов. Несмотря на то, что математики знали о глубинном пороке анализа, связанном с математикой ноля и бесконечности, они быстро восприняли новые математические инструменты. Дело в том, что природа говорит не обычными уравнениями. Она говорит дифференциальными уравнениями, и математический анализ — инструмент, который нужен, чтобы их создавать и решать.
Дифференциальные уравнения отличаются от обычных, с которыми все мы знакомы. Обычное уравнение подобно машине: вы скармливаете машине числа, и она выбрасывает ответ. Дифференциальное уравнение тоже похоже на машину, но на этот раз вы вводите в машину уравнения, а получаете новые уравнения. Загрузите уравнение, описывающее условия проблемы (движется ли мяч с постоянной скоростью или на мяч действует сила), и в результате получите уравнение, в котором закодирован ответ, который вы ищете: двигается ли мяч по прямой или по параболе. Одно дифференциальное уравнение управляет всем неисчислимым количеством уравнений-законов. И в отличие от мелких уравнений-законов, которые то выполняются, то нет, дифференциальное уравнение верно всегда. Это универсальный закон, возможность заглянуть в механизм природы. Математический анализ Ньютона — его метод флюксий — сделал именно это: связал вместе такие концепции, как позиция, скорость, ускорение. Когда Ньютон обозначил положение функцией времени x, он понял, что скорость — это просто флюксия (современные математики называют ее производной от положения по времени: x?), а ускорение — всего лишь производная от скорости по времени: x? Переход от положения к скорости и к ускорению и обратно так же прост, как дифференцирование или интегрирование.
Имея в руках такой инструмент, Ньютон смог создать простое дифференциальное уравнение, описывающее движение всех тел во Вселенной: F = mx?, где F — сила, действующая на тело, а m — его масса. (На самом деле это не вполне универсальный закон, поскольку уравнение верно, только когда масса объекта постоянна. Более общая версия закона Ньютона[29] выглядит так: F = p?, где p — количество движения, или импульс тела. Конечно, уравнения Ньютона были со временем усовершенствованы множеством ученых, в том числе Эйнштейном.)
Если у вас имеется уравнение, которое говорит вам о силе, приложенной к телу, дифференциальное уравнение точно сообщит вам, как тело движется. Например, мяч в свободном падении движется по параболе, в то время как пружина без трения вечно раскачивается туда и сюда, а под действием трения медленно останавливается (рис. 28). Какими бы разными ни казались эти исходы, все они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением.
Рис. 28. Различные движения, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением
Точно так же, если вам известно, как движется тело — будь это мячик или гигантская планета, — дифференциальное уравнение скажет вам, какого рода сила к нему приложена. (Триумф Ньютона заключался в выведении уравнения, описывавшего силу притяжения и форму орбит планет. Раньше предполагалось, что сила была пропорциональна 1 / r2, и когда из дифференциальных уравнений Ньютона были получены эллиптические орбиты, люди стали верить в правоту Ньютона.) Несмотря на возможности анализа, ключевая проблема сохранялась. Работы Ньютона основывались на очень шатком фундаменте — делении ноля на самого себя. Труды его соперника имели тот же недостаток.
В 1673 году почтенный немецкий юрист и философ посетил Лондон. Его имя было Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они с Ньютоном едва не разорвали пополам научный мир, хотя ни один из них не мог разрешить проблему ноля, которой был пронизан математический анализ.
Никто не знает, не ознакомился ли во время визита в Англию тридцатитрехлетний Лейбниц с неопубликованной работой Ньютона. Однако между 1673 и 1676 годами, когда Лейбниц в следующий раз посетил Лондон, он тоже создал анализ, хотя и в несколько иной форме.
Глядя назад, можно заключить, что Лейбниц сформулировал свою версию независимо от Ньютона, хотя споры по этому поводу не прекращаются. Двое ученых в 1670-е годы вели переписку, так что очень трудно определить, как они влияли друг на друга. Впрочем, хотя две теории дают одинаковые ответы, условные обозначения — и философия — очень разнятся.
Ньютон не любил бесконечно малые величины, маленькие о в его флюксиях иногда вели себя как ноль, а иногда — как отличные от ноля числа. В определенном смысле эти бесконечно малые были бесконечно малы, меньше любого положительного числа, но все же каким-то образом больше ноля. Для математиков того времени это была смешная концепция.
Ньютона смущали бесконечно малые в его уравнениях, и он заметал их под ковер. Маленькие о в его уравнениях были всего лишь посредниками, костылями, которые чудесным образом исчезали к концу выкладок. С другой стороны, Лейбниц наслаждался бесконечно малыми. Там, где Ньютон писал о x?, Лейбниц писал dx — бесконечно малый кусочек x. Бесконечно малые выжили без изменений во всех расчетах Лейбница; действительно, производная от y по x было не свободным от бесконечно малых отношением флюксий y? / x?, а отношением бесконечно малых dy / dx.
В исчислении Лейбница с этими dy и dx можно было обращаться как с обычными числами, поэтому современные математики и физики обычно используют обозначения Лейбница, а не Ньютона. Дифференциальное исчисление Лейбница обладало той же силой, что и метод Ньютона, а благодаря обозначениям даже несколько большей. Тем не менее под всеми математическими ухищрениями дифференциалы Лейбница имели ту же запретную природу 0 / 0, которая вредила флюксиям Ньютона. До тех пор, пока сохранялся этот недостаток, исчисление продолжало основываться скорее на вере, чем на логике. (На самом деле вера очень сильно влияла на Лейбница, когда он создавал новые математические методы, например двоичную систему счисления. Любое число могло быть записано как ряд нолей и единиц. Для Лейбница это было созданием ex nihilo, созданием Вселенной из ничего, большего, чем Бог / 1 и пустоты / 0. Лейбниц даже пытался убедить иезуитов использовать это знание для обращения китайцев в христианство.)
Должно было пройти много лет, прежде чем математики начали освобождать математический анализ от его мистических обоснований, потому что математический мир был занят спорами по поводу того, кто его изобрел.
Едва ли можно сомневаться в том, что первым — в 1660-х годах — идею высказал Ньютон, однако он не публиковал свою работу в течение двадцати лет. Ньютон был магом, теологом, алхимиком, а не только ученым (например, он использовал библейские тексты для заключения о том, что второе пришествие Христа случится примерно в 2060 году), и многие его взгляды носили еретический характер. В результате он был склонен к хранению секретов и неохотно публиковал свои работы. Тем временем, пока Ньютон держал свое открытие в тайне, Лейбниц разработал собственную теорию. Двое ученых тут же обвинили друг друга в плагиате, и английское математическое сообщество, поддерживавшее Ньютона, отвернулось от континентальных математиков, поддерживавших Лейбница. В результате англичане держались за ньютоновские флюксии и не принимали более удобного обозначения дифференциалов Лейбница — назло себе. Когда дело дошло до развития математического анализа, английские математики сильно отстали от континентальных.
Именно француз, а не англичанин был первым, кто запустил зубы в таинственные ноли и бесконечность, пронизывавшие математический анализ; теперь математики узнают о правиле Лопиталя, начиная изучать дифференциальное исчисление. Как ни странно, не Лопиталь создал правило, которое теперь носит его имя.
Родившийся в 1661 году Гийом-Франсуа-Антуан де Лопиталь был маркизом и очень богатым человеком. Он рано начал интересоваться математикой, и хотя некоторое время прослужил в армии, сделавшись капитаном кавалерии, снова вернулся к своей первой любви — математике.
Лопиталь нанял себе лучшего учителя, какого только можно было нанять за деньги, — Иоганна Бернулли, швейцарского математика, одного из первых, кто освоил лейбницевское исчисление бесконечно малых. В 1692 году Бернулли обучил Лопиталя анализу. Лопиталь так увлекся новым математическим методом, что побудил Бернулли за деньги сообщить ему обо всех новых математических открытиях, чтобы маркиз мог делать с ними, что пожелает. В результате был создан учебник. В 1696 году Лопиталь издал «Анализ бесконечно малых». Эта книга стала первым учебником математического анализа и познакомила с лейбницевской версией дифференциального исчисления большую часть Европы. Лопиталь не только изложил основы анализа, но и добавил некоторые важные новые результаты. Самое знаменитое новшество стало известно как правило Лопиталя.
Правило Лопиталя нанесло первый удар по тревожащим математиков выражениям 0 / 0, постоянно встречавшимся в математическом анализе. Правило дало способ определять истинную величину математических функций, стремящихся к 0 / 0 в данной точке. Правило Лопиталя гласит, что значение отношения функций равно производной верхнего выражения, деленному на производную нижнего выражения. Например, рассмотрим выражение x / (sin x), когда x = 0. При x = 0 sin x = 0, так что выражение принимает вид 0 / 0. Используя правило Лопиталя, мы увидим, что выражение стремится к 1 / (cos x), поскольку производная x — это 1, а производная sin x — это cos x. При x = 0 cos x равен 1, так что все выражение равно 1 / 1 = 1. Ловкие манипуляции могли также позволить с использованием правила Лопиталя разрешать и другие странные вопросы: ? / ?, 0 / 0, 0 / ?, ?0.
Все эти выражения, но особенно 0 / 0, могли бы принимать любые значения, какие только пожелаете, в зависимости от того, какие функции вы поставите в числитель и в знаменатель. Поэтому-то 0 / 0 и назвали неопределенностью. Это теперь не было полной тайной, математики могли получить некоторую информацию о 0 / 0, если подходили к делу очень осторожно. Ноль больше не был врагом, которого следовало избегать, это была подлежащая изучению загадка.
Вскоре после смерти Лопиталя в 1704 году Бернулли начал утверждать, что тот украл его работу. В то время математическое сообщество отвергло претензии Бернулли: не только Лопиталь проявил себя как умелый математик; Иоганн Бернулли имел запятнанную репутацию. Он уже раньше пытался приписать себе заслугу другого математического доказательства (другим математиком был его брат, Якоб Бернулли). В данном случае, однако, претензии Иоган на Бернулли были обоснованны: это подтверждалось его перепиской с Лопиталем. К огорчению Бернулли, название «правило Лопиталя» прижилось.
Это правило было чрезвычайно важным для разрешения трудностей с 0 / 0, однако лежащая в их основе проблема оставалась. Новая математика Ньютона и Лейбница зависит от деления на ноль и от чисел, которые чудесным образом исчезают при возведении в квадрат. С помощью правила Лопиталя 0 / 0 исследуется инструментами, изначально опирающимися на 0 / 0. Эти аргументы — замкнутый круг. Физики и математики по всему миру начали использовать математический анализ для изучения природы, а концепцию абсолютного пространства — для объяснения движения — под крики протеста со стороны Церкви.
В 1734 году, через 7 лет после смерти Ньютона, ирландский епископ Джордж Беркли написал книгу под названием «Аналитик, или рассуждение, адресованное неверующему математику». (Под неверующим математиком, вероятнее всего, подразумевался Эдмунд Галлей, всегда поддерживавший Ньютона.) В «Аналитике» Беркли обрушился на грязные трюки с нолем Ньютона и Лейбница.
Называя бесконечно малые «призраками исчезнувших величин», Беркли показал, что безнаказанное исчезновение этих бесконечно малых ведет к противоречию. Он заключал: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке?»
Хотя математики того времени язвили по поводу логики Беркли, славный епископ был совершенно прав. В те дни исчисление было очень отлично от других областей математики. Каждая теорема в геометрии строго доказывалась. Позаимствовав несколько правил у Евклида и тщательно, шаг за шагом продвигаясь вперед, математик мог доказать, что углы треугольника в сумме равны 180 градусам, или любой другой геометрический факт. С другой стороны, анализ основывался на вере.
Никто не мог объяснить, как при возведении в квадрат исчезают бесконечно малые. Этот факт просто принимался потому, что, заставив их исчезнуть в нужный момент, математики получали правильный результат. Никого не беспокоило деление на ноль, раз удобное игнорирование правил математики объясняло все — от падения яблока до орбит планет на небе. Хотя анализ давал правильные результаты, его использование было таким же актом веры, как вера в Бога.