Триумф ноля

…Глубокая и важная идея, представляющаяся нам теперь столь простой, что мы не обращаем внимания на ее истинные достоинства. Но сама ее простота и великая легкость, с которой она применяется во всех вычислениях, ставит нашу арифметику в первый ряд полезных изобретений.

Пьер-Симон Лаплас

Христианство изначально отвергало ноль, но торговля вскоре потребовала его использования. Человеком, вновь представившим ноль Западу, был Леонардо Пизанский.

Сын итальянского купца, он совершал путешествия в Северную Африку. Там молодой человек — более известный как Фибоначчи — обучался математике у мусульман и сам скоро стал умелым математиком.

Фибоначчи лучше всего запомнился занятной маленькой проблемой, которую он приводит в своей «Книге абака» (Liber Abaci) опубликованной в 1202 году.

Представьте себе, что у крестьянина есть пара крольчат. Им требуется два месяца для достижения зрелости, и с этого момента кролики будут производить потомство — другую пару кроликов — в начале каждого месяца. Потом эта пара достигнет зрелости и произведет новую пару, новая пара достигнет зрелости и произведет потомство и так далее. Сколько пар кроликов будет у крестьянина в каждом данном месяце?

Ну, в первый месяц имелась одна пара, и поскольку она еще не достигла зрелости, размножаться кролики не могли. Во второй месяц крестьянин все еще имел одну пару.

Однако в начале третьего месяца первая пара дала потомство. Теперь стало две пары.

В начале четвертого месяца первая пара снова дала потомство, но вторая пара еще не достигла зрелости. Результат — три пары. В следующем месяце дали потомство первая и вторая пары, поскольку вторая пара достигла зрелости, но третья пара еще слишком молода. Результат — пять пар.

Численность кроликов по месяцам выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Число кроликов, имеющихся в данный месяц, есть сумма численности за каждый из двух предшествующих месяцев. Математики сразу поняли, какую важность имеет полученная последовательность. Если взять любой ее член и разделить на предыдущий, получится следующее: 8 / 5 = 1,6; 13 / 8 = 1,625; 21 / 13 = 1,61538… Эти отношения приближаются к особенно интересному числу — золотому сечению, которое равно 1,61803…

Пифагор отмечал, что природа, по-видимому, управляется золотым сечением. Фибоначчи открыл последовательность, которая за это отвечает. Размер камер раковины наутилуса и отношение числа идущих по часовой стрелке углублений на ананасе к числу идущих против часовой стрелки соответствуют этой последовательности.

Хотя основой славы Фибоначчи послужила именно эта последовательность, Liber Abaci имела гораздо более важную цель, чем рассмотрение разведения кроликов. Фибоначчи научился математике у мусульман, так что он знал об арабских цифрах, включая ноль. Эту новую систему Фибоначчи описал в своей книге, наконец-то представив ноль Европе. Книга показывала, как полезны арабские цифры при выполнении сложных вычислений, и итальянские купцы и банкиры быстро ухватились за новую систему, включая ноль.

До появления арабских цифр при денежных расчетах приходилось пользоваться абаком или счетной доской. Немцы называли счетную доску рехенбанк, поэтому мы называем финансовые учреждения банками. В те времена банковские методы были примитивными — использовались не только счетные доски, но и счетные палочки для учета долгов: денежная сумма записывалась по концам палочки, а потом палочка разламывалась пополам (рис. 16). Заимодавец сохранял более длинную часть — основной капитал; в конце концов, он был его владельцем[16].

Рис. 16. Счетная палочка

Итальянские купцы обожали арабские цифры. Они позволяли банкирам избавиться от счетных досок. Впрочем, если деловые люди видели пользу арабских цифр, то местные правительства их ненавидели. В 1299 году во Флоренции арабские цифры были запрещены. Предлогом было то, что эти цифры легко менять и подделывать. (Например, ноль можно было обратить в шестерку простым росчерком пера.) Однако от преимуществ ноля и других арабских цифр было не так легко отделаться; итальянские купцы продолжали использовать их и даже пользовались для передачи закодированных сообщений. Так от слова «цифра» произошло слово «шифр» — секретный код.

В конце концов правительствам пришлось уступить под давлением коммерции. Арабская система была разрешена в Италии и скоро распространилась по всей Европе. Появился ноль, как и пустота. Аристотелевские стены рушились благодаря влиянию мусульман и индийцев, и к 1400 году даже самые непреклонные сторонники философии Аристотеля начали испытывать сомнения. Впрочем, битва против Аристотеля была далека от завершения. Томас Брадвардин, которому предстояло стать архиепископом Кентерберийским, попытался опровергнуть атомизм, древнюю Немезиду Аристотеля, используя геометрию, в которой бесконечно делимые прямые атомизм опровергали автоматически. Если Аристотелю предстояло пасть, доказательство существования Бога — оплот церковной доктрины — больше не было несокрушимо. Требовалось новое доказательство.

Более того, если Вселенная была бесконечна, она не могла иметь центра. Как же тогда могла быть центром Вселенной Земля? Ответ был найден в ноле.