К разделу 16

90. Степени преобразования комплексной плоскости в себя (z, ?) ? (az, a?), a = e^2?i/q, образуют группу — бинарную группу g-угольника. Докажите, что все инвариантные относительно этой группы многочлены выражаются через X = z^q, Y = ?^q, Z = z? и что многообразие орбит совпадает с поверхностью XY = Z^q в трехмерном комплексном пространстве. Докажите, что эта поверхность диффеоморфна нулевому множеству уровня простой функции A_q-1 трех комплексных переменных.

91. Докажите, что многообразие орбит действия бинарной группы тетраэдра (октаэдра, икосаэдра) на комплексной плоскости совпадает с поверхностью нулевого уровня функции Е₆ (Е₇, Е₈) от трех комплексных переменных.

92. Набор проходящих через начало координат гладких подмногообразий называется простым, если все близкие наборы исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат). Найдите все простые наборы на плоскости и в трехмерном пространстве.

93. Критическая точка 0 гладкой функции f (x, у) называется простой краевой особенностью (на плоскости с краем х = 0), если все близкие функции исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат, сохраняющего прямую х = 0). Докажите, что простые критические точки функции двух комплексных переменных исчерпываются списком

В_k = х^k + y₂ (k ? 2); С_k = ху + у^k (k ? 3), F₄ = x² + у³

(уравнение края — х = 0),