К разделу 15

85. Продолжим действие группы, порожденной отражениями плоскости в двух составляющих угол ?/q зеркалах, на комплексную плоскость. Докажите, что ногообразие орбит само гомеоморфно комплексной плоскости, а многообразие нерегулярных орбит (орбит точек зеркал) — кривой z² = ?^q на плоскости двух комплексных переменных.

86. Продолжим действие группы, порожденной отражениями в диагональных плоскостях х_i = x_j трехмерного пространства х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 0 на комплексное пространство. Докажите, что многообразие орбит — трехмерное комплексное пространство, а многообразие нерегулярных орбит — комплексный ласточкин хвост.

87. На рис. 81 изображена вещественная часть многообразия нерегулярных орбит действия группы симметрий икосаэдра на комплексном пространстве. Где располагаются вещественные орбиты?

88. Преобразования группы монодромии, заданные функцией х₃ — ?х + у², действуют на торе без точки, Докажите, что любую замкнутую несамопересекающуюся кривую на торе без точки, не стягиваемую на торе, можно перевести в любую другую такую кривую преобразованием из группы монодромии.

89. Сколько ручек имеет комплексная линия неособого уровня функции zⁿ + ?²? Докажите, что их число равно g, если n = 2g + 1 или 2g + 2.