Ожидаемая ценность – вовсе не та ценность, которую вы ожидаете

Ожидаемая ценность – еще одна математическая концепция, имеющая (подобно значимости) название, которое не совсем верно отражает ее значение. Разумеется, мы не «ожидаем», чтобы лотерейный билет стоил 60 центов; напротив, он стоит либо 10 миллионов долларов, либо ничего, и никаких промежуточных значений.

То же самое происходит и в следующей ситуации. Предположим, я делаю ставку 10 долларов на собаку, которая, по моему мнению, с вероятностью 10 % выиграет собачьи бега. Если собака победит, я получу 100 долларов; если собака проиграет, я не получу ничего. В таком случае ожидаемая ценность этого пари составляет:

(10 % ? 100 долларов) + (90 % ? 0 долларов) = 10 долларов.

Но я ожидаю совсем не этого. Выигрыш 10 долларов – по сути, даже не один из возможных результатов моего пари, не говоря уже об ожидаемом. Лучше было бы назвать это «средняя ценность»[165], поскольку на самом деле ожидаемая ценность пари представляет собой количественную оценку того, какого результата я мог бы ожидать, если сделал бы много таких ставок на большое количество собак. Предположим, я заключил тысячу таких пари со ставкой 10 долларов. По всей вероятности, я выиграл бы сотню пари (снова закон больших чисел!) и заработал бы по 100 долларов на каждом из них, то есть всего 10 000 долларов. Следовательно, тысяча ставок принесет мне прибыль в среднем по 10 долларов на одну ставку. В долгосрочной перспективе можно даже остаться при своих.

Ожидаемая ценность – это отличный способ определить справедливую цену объекта (такого как ставка на собачьих бегах), истинная ценность которого неизвестна. Если я заплачу за каждый билет на бега по 12 долларов, в долгосрочной перспективе я с большой вероятностью потеряю деньги; если мне удастся найти такие билеты по 8 долларов, тогда мне следует купить их как можно больше[166]. Сейчас почти никто не делает ставки на собачьих бегах, но механизм ожидаемой ценности один и тот же, что бы вы ни пытались оценить: билеты на бега, фондовые опционы, лотерейные билеты или страхование жизни.