Миниатюрная геометрия

В основе геометрии проективной плоскости лежат две аксиомы.

Каждая пара точек лежит ровно на одной общей прямой.

Каждая пара прямых линий содержит ровно одну общую точку.

Когда математики обнаружили одну разновидность геометрии, удовлетворявшую этим двум идеально согласованным аксиомам, вполне естественно было задать вопрос, существуют ли другие типы геометрии. Оказывается, есть много таких геометрий, одни большие, а другие маленькие. Самая крохотная из них называется «плоскость Фано», по имени ее создателя Джино Фано, который был одним из первых математиков конца XIX столетия, всерьез воспринявших идею конечных геометрий. Вот как выглядит плоскость Фано.

Действительно совсем небольшая геометрическая система, состоящая всего из семи точек! В качестве «прямых» в ней выступают линии, показанные на рисунке; линии также маленькие, поскольку на каждой из них всего по три точки. Существует семь таких линий, шесть из которых выглядят как прямые, а седьмая похожа на окружность. И все-таки эта так называемая геометрия, и без того экзотическая, удовлетворяет и первой и второй аксиомам точно так же, как плоскость Брунеллески.

Фано придерживался современного подхода, достойного восхищения: у него была, говоря словами Харди, «привычка определения», поскольку он избегал вопроса, не имеющего ответа, а именно: «Что такое геометрия?» Вместо этого он спрашивал: «Какой феномен ведет себя подобно геометрии?» Вот свидетельство самого Фано:

A base del nostro studio noi mettiamo una variet? qualsiasi di enti di qualunque natura; enti che chiameremo, per brevit?, punti indipendentemente per?, ben inteso, dalla loro stessa natura{189}.

А это перевод:

В качестве основы нашего исследования мы исходим из предположения, что существует произвольная совокупность объектов произвольной природы – объектов, которые мы для краткости называем точками, но это не имеет отношения к их природе{190}.

Для Фано и его интеллектуальных преемников не имеет значения, «как выглядит» прямая – похожа ли она на линию, на окружность, на крякву или на что угодно. Важно лишь то, что прямые линии подчиняются законам прямых линий – законам, установленным Евклидом и его преемниками. Если это ходит как геометрия и крякает как геометрия, значит, будем называть это геометрией[219]. Существует точка зрения, согласно которой такой шаг создает разрыв между математикой и реальностью, чему необходимо противостоять. Мнение чрезмерно консервативное. Смелая идея, что мы можем размышлять в геометрических категориях о системах, не похожих на евклидово пространство[220], и называть эти системы геометриями – причем говорить об этом с высоко поднятой головой, – сыграла решающую роль в осмыслении релятивизма геометрии пространственно-временного континуума, в котором мы живем. В настоящее время мы используем обобщенные геометрические идеи для построения карты интернет-пространства, которое представляет собой нечто весьма далекое от того, что мог представить Евклид. Это один из аспектов красоты математики: мы разрабатываем совокупность идей, и если они верны, то они верны, даже если их применение выходит далеко за рамки контекста, в котором они изначально были задуманы.

Возьмем в качестве иллюстрации такой пример. На рисунке снова изображена плоскость Фано, но точки на ней обозначены числами от 1 до 7.

Выглядит знакомо? Если составить список этих семи линий, обозначив их совокупностью трех точек, которые расположены на каждой из них, получится следующее:

124

135

167

257

347

236

456

Это не что иное, как совокупность семи лотерейных билетов, о которых мы говорили выше, – совокупность, в которой каждая пара чисел выпадает только один раз, гарантируя минимальный выигрыш. В тот момент такое свойство казалось впечатляющим и загадочным. Как может кто бы то ни было сформировать столь идеально упорядоченное множество лотерейных билетов?

Ну вот, только что с моей помощью ларчик открылся и продемонстрировал суть фокуса: все дело в геометрии. Каждая пара чисел появляется ровно в одном билете, поскольку каждая пара точек лежит ровно на одной прямой. Это всего лишь Евклид, правда, говорим мы теперь о точках и линиях, и вряд ли Евклид их узнал бы.