Рождение ноля

В истории культуры открытие ноля всегда будет примером одного из самых замечательных достижений человечества.

Тобиас Данциг. «Числа — язык науки»[2]

Греки понимали математику лучше египтян. Овладев египетским искусством геометрии, они быстро превзошли своих учителей.

Сначала греческая система чисел была очень сходна с египетской. Греки тоже использовали как основу число 10, и в том, как две культуры записывали числа, разница была невелика: вместо рисунков, как египтяне, греки для обозначения чисел использовали буквы. Буква «?» («эта») обозначала hekaton — «сто»; «М» («мю») — myriory — «десять тысяч» («мириада» — самый большой разряд в греческой системе). У греков был также символ для числа 5, что указывало на смешение пятеричной и десятеричной систем, в целом же греческая и египетская системы записи чисел были почти одинаковы — на некоторое время. Потом греки переросли этот примитивный способ записи чисел и создали более изощренную систему.

Рис. 1. Изображение чисел в различных культурах:

Вместо того чтобы использовать две черточки для обозначения цифры 2 или три «H» для обозначения 300, как это делалось бы в «египетском» стиле, новая греческая система, появившаяся около 500 года до н. э., использовала отдельные значки для изображения 2, 3, 300 и многих других чисел (рис. 1). Таким образом, греки избавлялись от повторения цифр. Например, запись числа 87 в египетской системе требовала бы пятнадцать символов: восемь пяток и семь вертикальных черточек. В новой греческой системе требовалось всего два символа: ? для 80 и ? для 7. (Римская система, сменившая греческую, была шагом назад; запись римскими цифрами — LXXXVII — потребовала бы семи символов с несколькими повторениями.)

Хотя греческая система была изощренней египетской, она не обеспечивала самого прогрессивного способа записи чисел в древнем мире. Эта честь принадлежит другому восточному изобретению: вавилонскому способу счета. Благодаря этой системе на Востоке, в Плодородном полумесяце, появился ноль.

На первый взгляд, вавилонская система представляется извращенной. Во-первых, она шестидесятерична — имеет в основе число 60. Такой выбор кажется странным, особенно если учесть, что большинство человеческих обществ выбирали в этом качестве числа 5, 10 или 20. Во-вторых, вавилоняне использовали только два значка для изображения чисел: клинышек, обозначавший единицу, и двойной клинышек, обозначавший десять. Группы этих значков, объединенных в семейства, содержащие 59 или меньше значков, были базовыми символами системы чисел, так же, как греческая система использовала буквы, а египетская — рисунки. Однако действительно странной особенностью вавилонской системы было то, что вместо использования разных символов для каждого числа, как в египетской и греческой системах, каждый символ мог изображать множество разных чисел. Единственный клинышек, например, мог изображать 1, 60, 3600 и сколько угодно других чисел.

Каким бы странным это ни казалось на современный взгляд, для древних людей это было вполне осмысленно: таков был эквивалент компьютерного кода бронзового века. Вавилоняне, как и представители многих других культур, изобрели приспособления, помогавшие им в счете. Наиболее знаменит из них абак. Известный как «соробан» в Японии, «цзе-суан-пан» в Китае, «счеты» в России, «кулба» в Турции, «хореб» в Армении и под множеством других названий в разных культурах, абак использует перемещающиеся камешки для обозначения количества. (Слова «калькулировать», «калькулюс» и «кальций» происходят от латинского слова calculus — камешек.)

Сложение чисел на абаке столь же просто, как перемещение камешков вверх и вниз. Камешки в разных колонках имеют разную цену и, манипулируя ими, умелый пользователь может быстро складывать большие числа. Когда подсчет закончен, все, что нужно сделать пользователю, — это посмотреть на окончательное расположение камешков и перевести увиденное в число — довольно простая операция.

Вавилонская система походила на абак, символически изображенный на глиняной табличке. Каждая группа символов соответствовала определенному числу камешков, двигавшихся на абаке, и как каждая колонка абака, каждая группа имела собственное, отличное от других значение, в зависимости от положения. В этом смысле вавилонская система не отличалась от той, которой мы пользуемся сегодня. Каждая единица в числе 111 имеет особое значение: справа налево — это 1, 10 и 100 соответственно. Подобным же образом символ в трех разных положениях в числе означал «один», «шестьдесят» или «три тысячи шестьсот». Все было, как на абаке, за исключением единственной проблемы. Как вавилонянин записал бы число 60? Цифру 1 написать было легко: ; к несчастью, 60 тоже записывалось как — с тем единственным отличием, что значок должен стоять на втором месте, а не на первом. На абаке легко определить, какое число представлено. Один камешек в первой колонке легко отличить от одного камешка во второй колонке. Этого нельзя сказать о записи чисел. Вавилоняне не имели способа определить, в какой колонке стоит написанный символ; мог представлять и 1, и 60, и 3600. С числами, в которые входило несколько значков, дело обстояло еще хуже: это могло быть 61, 3601, 3660 и больше.

Решением этой проблемы был ноль. Около 300 года до н. э. вавилоняне начали использовать два наклонных клинышка для обозначения пустого места: пустой колонки абака. Символ-заполнитель позволял с легкостью определить, к какому разряду принадлежит значащий символ. До появления ноля значок мог означать 61 или 3601; благодаря использованию ноля он означал 61; 3601 обозначался как (рис. 2). Ноль родился из потребности дать каждой последовательности вавилонских цифр единственное постоянное значение.

Хотя ноль был полезен, это был всего лишь символ-заполнитель. Он обозначал только пустое место в колонке абака — той колонке, где все камешки на дне. Он только обеспечивал, что все цифры стоят на правильном месте; собственной числовой ценности он не имел. В конце концов, 000 002,148 означает в точности то же, что 2,148. Ноль в ряду цифр получает значение, зависящее от какой-то другой цифры слева от него. Сам по себе ноль ничего не значит. Ноль был цифрой, а не числом. Он не имел величины.

Рис. 2. Вавилонские цифры

Величина числа определяется его положением на числовой оси по сравнению с другими числами. Например, число 2 идет до числа 3 и после числа 1; ничто другое значения не имеет. Однако ноль сначала не занимал места на числовой оси, это был просто символ, не имевший места в иерархии чисел. Даже сегодня мы иногда воспринимаем ноль как «нечисло», несмотря на то, что все мы знаем, что он обладает собственной числовой значимостью; мы используем цифру 0 как символ-заполнитель, не связывая его с числом ноль. Ноль следует за цифрой 9, а не перед 1, где следовало бы. Не имеет значения, где находится символ-заполнитель, он может располагаться где угодно на числовой оси. Однако сегодня всем известно, что на самом деле ноль не может находиться где угодно, потому что имеет определенное собственное численное значение. Это число, которое отделяет положительные числа от отрицательных. Он является четным целым числом, предшествующим единице. Ноль должен находиться на своем законном месте — перед плюс единицей и после минус единицы. Никакое другое его положение не имеет смысла. Тем не менее ноль располагается в конце ряда на компьютерной клавиатуре и внизу экрана телефона, потому что мы всегда начинаем считать с единицы.

Единица представляется наиболее подходящей для начала счета, но это заставляет нас помещать ноль на неестественное для него место. Для других культур, как, например, майя, живших в Мексике и в Центральной Америке, начало счета с единицы вовсе не казалось рациональным. На самом деле майя имели систему чисел и календарь более логичные, чем наши. Как и у вавилонян, в их системе величина числа зависела от места, на котором стоит обозначающая его цифра. Единственным существенным отличием служило то, что вместо 60 в качестве основы майя использовали 20, с остатками более ранней десятеричной системы. Как и вавилонянам, им требовался ноль, чтобы определять, что какая цифра значит. Для пущего интереса майя пользовались цифрами двух типов: простой основывался на точках и черточках, более сложный — на глифах, гротескных лицах. Нетрудно воочию убедиться, насколько странно сейчас выглядят цифры майя (рис. 3).

Рис. 3: Цифры майя

Как и египтяне, майя создали превосходный солнечный календарь. Поскольку их система счета основывалась на числе 20, майя, естественно, разделили год на 18 месяцев, по 20 дней каждый, что в сумме давало 360 дней. Особый период из пяти дней в конце года, называвшийся «уайеб», доводил общее количество до 365. В отличие от египтян, впрочем, майя включали в свою систему счета ноль, так что делали очевидную вещь: начинали отсчет дней с ноля. Первый день месяца — Зип, например, обычно именовался «установление» или «посадка» Зип. Следующим днем было 1 Зип, за ним следовало 2 Зип и так далее, пока не доходило до 19 Зип.

Потом наступала «посадка» Зоц — 0 Зоц; дальше следовало 1 Зоц и так далее. Каждый месяц имел 20 дней, имевших номера от 0 до 19, а не от 1 до 20, как мы делаем сегодня. (Майяский календарь был удивительно сложен. Помимо солнечного календаря, существовал ритуальный, состоявший из двадцати недель, по тринадцать дней каждая. В соединении с солнечным годом он давал календарный круг, в котором каждый день 52-летнего цикла имел собственное название.)

Майяская система была более осмысленной, чем западная. Поскольку западный календарь был создан во времена, когда ноля не существовало, мы не имеем ни нулевого дня, ни нулевого года. Это, казалось бы, незначительное упущение привело к огромным трудностям: вызвало разногласия по поводу начала тысячелетия. Майя никогда не стали бы спорить о том, является ли первым годом XXI века 2000 или 2001 год. Однако наш календарь создавали не майя, это были египтяне, а позже римляне. По этой причине мы оказались с неудобным, лишенным ноля календарем.

Отсутствие ноля у египтян повредило и календарю, и будущему западной математики. На самом деле египетская цивилизация повредила математике не в единственном отношении. Будущие трудности оказались связаны не только с отсутствием ноля. У египтян был чрезвычайно громоздкий способ обращаться с дробями. Они не думали о ³/₄ как об отношении трех к четырем, как мы делаем сегодня; они рассматривали ³/₄ как сумму ¹/₂ и ¹/₄. За единственным исключением — ²/₃ — все египетские дроби записывались как суммы чисел, имеющих вид ¹/_n (где n — натуральное число), — так называемые дробные единицы. Длинные цепочки этих дробных единиц делали чрезвычайно трудными манипуляции с дробями в египетской (и греческой) системе счисления.

Наличие ноля делает эту громоздкую систему устаревшей. В вавилонской системе, имевшей ноль, записывать дроби было легко. Как мы можем заменить ¹/₂ выражением 0,5, а ³/₄ — 0,75, вавилоняне использовали выражения 0,30 для ¹/₂ и 0,45 для ³/₄ (на самом деле вавилонская шестидесятеричная система даже лучше подходила для записи дробей, чем наша современная десятеричная).

К несчастью, греки и римляне настолько ненавидели ноль, что держались за запись по египетскому образцу и не переходили на вавилонскую систему, несмотря на то, что пользоваться последней легче. Для сложных вычислений, какие, например, нужны для астрономических таблиц, греческая система была такой громоздкой, что математики преобразовывали дробные единицы в вавилонскую шестидесятеричную систему, выполняли вычисления, а затем переводили ответ обратно на греческий лад. Они могли бы избавить себя от многих трудоемких действий (мы все знаем, как надоедает переводить дроби из одного вида в другой). Однако греки так презирали ноль, что отказывались использовать его в своих записях, несмотря на то, что видели, насколько он полезен. Причина этого крылась в том, что ноль был опасен.