Приложение С Современное определение производной

В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x₀, обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x + ?) — f(x) / ? при ? ? 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x² + x + 1. Производная этой функции равна

f '(x) = lim (x² + 2?x + ?² + x + ?+ 1 — x² — x — 1) / ? при ? ? 0..

Теперь x² взаимно уничтожается с –x², x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается

f '(x) = lim (2?x + ? + ?²) / ? при при ? ? 0.

Разделив на ?, мы помним, что ? всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем

f '(x) = lim (2x + 1 + ?) при ? ? 0.

Теперь мы находим предел и позволяем ? приблизиться к 0. Получаем

f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1

Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.