Приложение D Кантор пересчитывает рациональные числа

Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.

Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b — целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.

Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x — координата точки по оси X, а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).

Рис. 58. Нумерация рациональных чисел

Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):

1 . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . ¹/₂

4 . . . . . . . . . . 2

5 . . . . . . . . . . 3

6 . . . . . . . . . . 1

7 . . . . . . . . . . ¹/₃

8 . . . . . . . . . . ¹/₄

9 . . . . . . . . . . ²/₃

И так далее, и так далее.

Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.

Следующий шаг — удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:

Место — рациональное число

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¹/₂

5 . . . . . . . . . . . . . . . — ¹/₂

6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

7 . . . . . . . . . . . . . . . . .–2

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9 . . . . . . . . . . . . . . . . .–3

И так далее, и так далее.

Теперь все рациональные числа — положительные, отрицательные и ноль — имеют места. Поскольку никто не остался стоять и все места заняты, рациональных чисел столько же, сколько счетных.