Платониды[15] Граница четырехмерного единичного гиперкуба и другие особенности четырехмерного пространства

Школьник рано знакомится с измерением отрезков, площадей и объемов. Измеряя отрезок, школьник находит его длину. Измеряя площадь фигуры, школьник разбивает ее на квадраты или прямоугольники, поскольку ему известно, что площадь прямоугольника равна произведению ширины на высоту. Измеряя объем тела, школьник разбивает его на несколько прямоугольных параллелепипедов или кубов, поскольку ему известно, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины на ширину и на высоту. Отрезок имеет одно измерение (длину), прямоугольник — два взаимно перпендикулярных измерения (длину и ширину), прямоугольный параллелепипед — три измерения, каждое из которых перпендикулярно двум другим (длину, ширину и высоту). Изобразим единицы линейных, квадратных и кубических мер (например, сантиметр, квадратный сантиметр и кубический сантиметр) в виде отрезка AB, квадрата ABCD, сторона которого равна отрезку AB, и куба ABCDEFGH, ребро которого по длине совпадает с отрезком AB, а грань имеет размеры квадрата ABCD (рис. 1). Единичный отрезок AB можно считать состоящим из бесконечно большого числа M точек, распределенных непрерывно от одного конца A отрезка до другого конца B.

Тогда квадрат ABCD содержит M ? M = M? точек, а куб ABCDEFGH содержит M ? M ? M = M? точек[16]. Из любой точки отрезка AB в любую другую точку того же отрезка можно перейти, двигаясь в одном фиксированном направлении, а именно в направлении отрезка AB. Аналогично из любой точки квадрата ABCD в любую другую его точку можно перейти, двигаясь вдоль двух фиксированных направлений, параллельных двум сторонам квадрата, сходящимся в одной вершине, а из любой точки куба ABCDEFGH в любую другую его точку можно попасть, двигаясь вдоль трех фиксированных направлений, параллельных трем ребрам куба, сходящимся в одной вершине (направление вперед и назад при движении вдоль любого направления мы не различаем). Таким образом, если говорить о движении, переводящем одну точку фигуры в другую, то единичный отрезок следует считать одномерным, единичный квадрат — двумерным и единичный куб — трехмерным.

Рис. 1.

В трехмерном пространстве нет такого движения, которое нельзя было бы разложить на движение но трем взаимно перпендикулярным направлениям. На Земле нет такой точки, которой нельзя было бы достичь, двигаясь на север или на юг, на запад или восток и вверх или вниз. В комнате нет ни одной точки, до которой нельзя было бы добраться, двигаясь вдоль длины, ширины и высоты. Зрение позволяет нам воспринимать непосредственно лишь два измерения предмета (ширину и высоту), в то время как третье измерение (расстояние до предмета) мы оцениваем по мышечному усилию, необходимому для того, чтобы сфокусировать глаза на интересующем нас предмете. Мы не обладаем органом чувств, способным воспринимать четвертое измерение, перпендикулярное трем остальным измерениям. Весь человеческий опыт позволяет нам довольствоваться тремя измерениями.

Но оставим опыт и обратимся к рассуждениям по аналогии. Четвертое измерение можно ввести следующим образом. Объем четырехмерного куба равен произведению длины, ширины, высоты и некоторого четвертого измерения. Чтобы вычислить объем четырехмерного прямоугольного параллелепипеда, необходимо произвести четыре линейных измерения, причем каждое в направлении, перпендикулярном трем остальным. Следовательно, четвертое измерение образует прямой угол с каждым из трех направлений, вдоль которых мы измеряем длину, ширину и высоту трехмерного прямоугольного параллелепипеда. Четырехмерный единичный куб должен иметь ребро, совпадающее с отрезком AB, грань совпадающую с квадратом ABCD, и основание, совпадающее с кубом ABCDEFGH. Четырехмерный единичный куб содержит M ? M ? M ? M = M? точек. Перейти из одной его точки в любую другую можно, двигаясь в четырех фиксированных направлениях, параллельных четырем его ребрам, сходящимся в одной вершине.

Квадрат ABCD (рис. 1) мы получим из отрезка AB, передвинув этот отрезок со всеми его M точками на расстояние, равное 1 см в направлении, перпендикулярном единственному измерению отрезка AB. Каждая точка отрезка AB при движении описывает некоторый отрезок, и, таким образом, квадрат ABCD содержит M отрезков, так же как и M? точек. Куб ABCDEFGH мы получим из квадрата ABCD, сдвинув квадрат ABCD на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном двум измерениям квадрата. При движении M отрезков и M? точек квадрата опишут соответственно M квадратов и M? отрезков. Следовательно, куб ABCDEFGH содержит M квадратов, M? отрезков и M? точек. Аналогично четырехмерный единичный куб мы получим из трехмерного куба ABCDEFGH, передвинув этот куб на расстояние, равное 1 см, в направлении, перпендикулярном каждому из трех измерений куба, то есть в направлении четвертого измерения. При движении M квадратов, M? прямых и M? точек трехмерного куба ABCDEFGH опишут соответственно M кубов, M? квадратов и M? отрезков. Следовательно, четырехмерный единичный куб содержит M кубов, M? квадратов, M? отрезков и M? точек. Обратимся теперь к рассмотрению элементов, образующих границы единичных отрезков, квадратов, кубов и четырехмерных кубов. У единичного отрезка AB имеются две граничные точки («вершины»). У единичного квадрата ABCD — четыре вершины, у единичного куба ABCDEFGH — восемь вершин (по четыре от начального и конечного положения производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба — 16 вершин (по восемь вершин от начального и конечного положения производящего куба). Подсчитаем число ребер. У единичного отрезка AB есть лишь одно ребро (сам отрезок AB). У единичного квадрата ABCD — четыре стороны, («ребра»), у единичного куба ABCDEFGH — двенадцать ребер (по четыре ребра от начального и конечного положений производящего квадрата и четыре ребра, описанных четырьмя вершинами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба тридцать два ребра (по двенадцать ребер от начального и конечного положений производящего куба и восемь ребер, описанных восемью вершинами производящего куба). Подсчитаем теперь число граней. У единичного квадрата ABCD есть лишь одна грань (сам квадрат ABCD). У единичного куба ABCDEFGH имеется шесть граней (по одной грани от начального и конечного положения квадрата ABCD и четыре грани, описанные сторонами производящего квадрата), а у четырехмерного единичного куба имеются двадцать четыре грани (по шесть граней от начального и конечного положений производящего куба и двенадцать граней, описанных ребрами производящего куба). Подсчитаем наконец число граничных кубов. У куба ABCDEFGH есть лишь один граничный куб (сам куб ABCDEFGH), а у четырехмерного единичного куба имеется восемь граничных кубов (по одному кубу от начального и конечного положения производящего куба и шесть кубов, описанных гранями производящего куба).

Рис. 2.

Рис. 3.

Предположим, что граница квадрата ABCD сделана из проволоки. Перерезав проволоку в вершине D, мы сможем развернуть границу квадрата и совместить ее с прямой, на которой лежит отрезок AB. При этом у нас получится одномерная фигура (рис. 2) длиной в четыре единицы. По обе стороны исходного единичного отрезка AB располагаются единичные отрезки DA и BC. Кроме того, к отрезку BС примыкает еще один единичный отрезок CD. Предположим теперь, что грани куба ABCDEFGH сделаны из тонкой фольги. Разрезав фольгу вдоль ребер EF, GH, HE, AE, BF, CG и DH, мы сможем развернуть поверхность куба на плоскость и получим двумерную фигуру, составленную из шести квадратов. К квадрату ABCD с каждой стороны примыкают единичные квадраты. Кроме того, к одному из таких квадратов примыкает еще один единичный квадрат FEGH (рис. 3). Аналогично если предположить, что кубы, ограничивающие четырехмерный единичный куб, сделаны из дерева и мы провели распилы вдоль соответствующих граней, то граничные кубы можно будет развернуть в трехмерную фигуру, составленную из восьми единичных кубов. К каждой грани куба ABCDEFGH примыкает по одному кубу. Кроме того, к свободной грани одного из примыкающих кубов «приклеен» еще один куб (рис. 4). Восемь кубов, образующих трехмерную фигуру, изображенную на рис. 4, составляют границу четырехмерного куба.

Рис. 4.

Ниже перечислены элементы, составляющие единичный отрезок, квадрат, куб и четырехмерный куб, а также их границы.

Приведенные выше рассуждения допускают непосредственное обобщение па случай единичного куба и более высоких размерностей.

Если одномерный отрезок неограниченно продолжить вправо за точку B и влево за точку A, так что длина его превзойдет любое сколь угодно большое число, то получится одномерное пространство. Аналогичным образом двумерное, трехмерное и четырехмерное пространства мы получим, неограниченно продолжив в обе стороны единичный квадрат, куб и четырехмерный куб.

Одномерный единичный отрезок отделен от остальной части одномерного пространства, в котором он лежит, двумя точками. Двумерный единичный квадрат отделен от остальной части двумерного пространства, в котором он расположен, четырьмя отрезками (сторонами). Трехмерный единичный куб отделен от остального пространства шестью квадратами. Аналогично четырехмерный единичный куб отделен от остальной части четырехмерного пространства, в котором он лежит, восемью кубами. Предположим, что мы хотим построить замкнутую фигуру любого числа измерений в пространстве того же числа измерений. Тогда в одномерном пространстве нам понадобятся для этого две точки, в двумерном пространстве — по крайней мере три прямые, в трехмерном пространстве — по крайней мере четыре плоскости и в четырехмерном пространстве — по крайней мере пять трехмерных пространств.

Так же как и в единичном отрезке, квадрате, кубе и четырехмерном кубе, из одной точки пространства в другую мы можем попасть, двигаясь вдоль фиксированных взаимно перпендикулярных направлений, число которых совпадает с размерностью пространства.

Рис. 5.

Время можно представить в виде одномерного пространства, ибо оно течет лишь в одном направлении из бесконечно далекого прошлого в бесконечно удаленное будущее (рис. 5). Настоящее время можно изобразить точкой, перемещающейся с постоянной скоростью по шкале времени (или неподвижной точкой, относительно которой равномерно перемещается шкала времени). Любого момента времени можно достичь, пройдя определенное расстояние (годы, месяцы и т. д.) от некоторой выбранной точки (начала новой эры).

Любая часть земной поверхности, если рассматривать ее как плоскость, представляет собой область двумерного пространства. Следуя по меридианам и параллелям, мы всегда можем добраться до любой точки земной поверхности. Примером трехмерного пространства может служить пространство, в котором находится наша Вселенная. Представить себе наглядно четырехмерное пространство невозможно.

Рис. 6.

Если два отрезка AB и B'А', принадлежащие одному и тому же одномерному пространству, симметричны относительно точки O этого пространства (рис. 6), то отрезок AB нельзя передвинуть в этом пространстве так, чтобы соответственные точки симметричных отрезков совпали (точка A с точкой A', точка B с точкой B' и т. д.). Для того чтобы совместить соответственные точки симметричных отрезков, необходимо повернуть отрезок AB в двумерном пространстве вокруг точки O как вокруг центра. Грубо говоря, отрезок AB нужно поднять в двумерное пространство, перевернуть и лишь после этого наложить на отрезок B'А'. Если два треугольника, лежащих в одном и том же двумерном пространстве, симметричны относительно прямой (рис. 7), то наложить их так, чтобы соответственные линии и точки совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один треугольник в трехмерном пространстве вокруг оси симметрии. Если не стремиться к особой строгости, то можно сказать, что один треугольник необходимо поднять над плоскостью в трехмерное пространство, перевернуть и лишь тогда наложить его на другой треугольник. Если два многогранника лежат в одном и том же трехмерном пространстве и симметричны относительно плоскости (рис. 8), то совместить их так, чтобы соответственные точки, ребра и плоскости совпали, можно лишь в том случае, если мы повернем один многогранник в четырехмерном пространстве вокруг плоскости симметрии. Грубо говоря, это означает, что мы поднимаем многогранник в четырехмерное пространство, поворачиваем его там и опускаем снова в исходное трехмерное пространство. Правая рука и ее зеркальное отражение (левая рука) симметричны относительно плоскости зеркала, поэтому, повернув правую руку вокруг плоскости зеркала в четырехмерном пространстве, мы могли бы превратить ее в левую. При таком повороте правая перчатка стала бы левой. Иначе говоря, бросив правую перчатку в направлении четвертого измерения и поймав ее вновь, мы увидим, что она стала левой.

Рис. 7.

Рис. 8.

Мы не можем указать, в каком направлении проходит четвертое измерение, или определить, существует ли четырехмерное пространство, даже если оно находится совсем рядом, так же как двумерные люди, обитающие в двумерном пространстве, не могут указать, в каком направлении проходит третье измерение или обнаружить существование трехмерного пространства, даже если их собственное пространство вложено в это трехмерное пространство и является его частью (подобно тому, как плоскость является частью трехмерного пространства). Предположим, что двумерное пространство, моделью которого может служить страница нашей книги, населено двумерными существами. Эти существа обладают длиной и шириной, способны передвигаться в длину и ширину и, возможно, даже наделены сознанием. Обитатели двумерного мира не имеют толщины, они не могут ни приподняться над страницей, ни опуститься под нее и лишены способности даже мысленно представить себе направление, перпендикулярное плоскости страницы. Двумерные обитатели страницы не знают, что такое «верх» и «низ». Предположим, что они наделены интеллектом, позволяющим им исследовать свой мир в такой же мере, в какой человек исследует свою Вселенную. Предположим, что у обитателей плоского мира имеются дома, амбары и что жизнь на плоскости течет столь полно, сколь это вообще возможно на плоскости. Дома и амбары в плоском мире не будут иметь ни крыш, ни потолков, а лишь одни стены. Для того чтобы отделить любой предмет па плоскости от остальной части пространства, достаточно провести три прямые. Сам обитатель плоского мира сможет увидеть своего соседа лишь в виде отрезка, так как будет смотреть на его многоугольный контур в плоскости многоугольника. До внутренних точек многоугольника (внутренностей обитателя плоского мира) можно добраться, лишь проникнув сквозь его контур, ибо в плоском мире, как уже говорилось, не существует понятий верх и низ. Убедить обитателя плоского мира в том, что третье измерение существует, прикасаясь к внутренним точкам его многоугольника или пытаясь вывести его из плоскости, — задача совершенно безнадежная. Даже если обитатель плоского мира воспримет рассуждения по аналогии относительно свойств третьего измерения, сама идея о том, что кто-то может заглянуть в его внутренности, не может не вызвать у него бурного протеста. Даже под прямым углом к двум известным ему измерениям все должно обстоять так же, как в его родном пространстве. Аналогично если мы хотим обнаружить четвертое измерение, то должны понять, что оно проходит через все точки нашего трехмерного пространства, как внутри, так и снаружи нас.

Даже если бы кто-нибудь объяснил обитателю двумерного мира, что трехмерное существо, двигаясь вдоль третьего измерения, могло бы проникнуть в накрепко запертый амбар и похитить все, что там хранится, не открывая ни одной двери и не взламывая стен, или прикоснуться к сердцу жителя книжной страницы, то и тогда третье измерение не стало бы понятнее обитателю плоского мира. Мы также не можем представить себе, в каком направлении должен двигаться четырехмерный грабитель, для того чтобы похитить сокровища из самого надежного сейфа, или путь, по которому четырехмерный врач сможет прикоснуться к самой сокровенной части человеческого сердца, не прорезая при этом ни кожи, ни даже стенки сердца. И все же маршруты и грабителя, и врача лежат вдоль четвертого измерения. Следуя такому маршруту, четырехмерное существо могло бы извлечь содержимое куриного яйца, не нарушив целостности скорлупы, или опустошить бутылку ликера, даже не потрудившись извлечь из нее пробку. Если бы такие четырехмерные существа обитали в пространстве, содержащем наше трехмерное пространство, то нам бы они казались «искуснейшими из духов». Отсутствие подобных духов свидетельствует о том, что четырехмерный мир, который бы содержал наше пространство и был населен столь причудливыми обитателями, в природе не существует.

Алгебра требует, чтобы геометрия помогла ей найти наглядное выражение для любой изучаемой ею задачи. А поскольку в алгебраической задаче могут встречаться четыре, пять или большее число неизвестных, как, впрочем, и любое меньшее их число, то алгебра настоятельно требует рассмотрения пространств, размерность которых равна четырем, пяти, а также любым другим числам, как большим, так и меньшим. Вероятно, понятие четвертого измерения позволит найти объяснение некоторым физическим явлениям. Вместе с тем следует сознавать, что пространство четырех измерений, так же как и пространство более высокого числа измерений, представляет собой лишь фиктивные геометрические образы, соответствующие тем или иным алгебраическим величинам.