III

Но продолжим наше знакомство с четырехмерной геометрией.

Если две плоскости абсолютно перпендикулярны в точке O, то любую точку одной из них можно полностью обвести вокруг точки O и другой плоскости, оставаясь при этом все время на одном и том же расстоянии от точки O и другой плоскости. Следовательно, в пространстве четырех измерений мы можем совершить оборот вокруг плоскости так же, как в трехмерном пространстве мы совершаем оборот вокруг прямой. Двумерное существо не может обойти вокруг прямой в своей плоскости, поскольку прямая полностью разделяет плоскость. В трехмерном пространстве мы не можем обойти вокруг плоскости, ибо плоскость полностью разделяет наше пространство. Но в пространстве четырех измерений плоскости, хотя она и обладает двумя измерениями, недостает двух измерений, и поэтому мы можем обойти вокруг плоскости, оставаясь все время на заданном расстоянии от любой выбранной на ней точки. Если мы отбросим одно из двух измерений плоскости, превратив ее тем самым из плоскости в прямую, и перейдем в 3-пространство, содержащее абсолютно перпендикулярную плоскость, то мы сможем наблюдать за вращением одной плоскости вокруг другой: нам будет казаться, что исходная плоскость поворачивается вокруг некоторой прямой.

Плоскость может вращаться по самой себе вокруг одной из своих точек. Если две плоскости абсолютно перпендикулярны в точке O, то любая из них, вращаясь по самой себе вокруг точки O, остается абсолютно перпендикулярной другой плоскости. В этом случае можно сказать, что подвижная плоскость вращается вокруг фиксированной плоскости как вокруг оси, а саму фиксированную плоскость назвать осевой плоскостью. В каждой точке фиксированной плоскости можно построить абсолютно перпендикулярную плоскость. Все абсолютно перпендикулярные плоскости могут вращаться вокруг одной и той же исходной фиксированной плоскости. То же происходит и в нашем трехмерном пространстве, если мы выберем фиксированную прямую и в каждой ее точке построим перпендикулярную ей плоскость. Мы можем считать, что тела в нашем пространстве или в части пространства вращаются вокруг фиксированной оси. Аналогично можно считать, что тела в четырехмерном пространстве или в части этого пространства вращаются вокруг фиксированной плоскости как вокруг осевой плоскости. При таком вращении части тела не претерпевают деформации. Они сохраняют свою форму неизменной, и поэтому отпадает необходимость предполагать, что они упруги.

Если небольшие деформации считать допустимыми, то в качестве оси вращения можно выбрать кривую поверхность. Назовем материальной поверхностью тело, которое имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в двух других измерениях. Пользуясь трехмерной аналогией, мы можем сказать, что кусок ткани имеет значительную протяженность в двух измерениях и очень малые размеры в третьем. Нить имеет существенные размеры лишь в одном измерении, а ее размеры в двух других измерениях очень малы. Если материальная поверхность обладает гибкостью, то ее можно перекрутить так, чтобы две противоположные стороны материальной поверхности поменялись местами. Материальная поверхность, подобно куску ткани, имеющему небольшую толщину в направлении четвертого измерения, ограничена поверхностями со всех сторон.

Можно сказать, что поворот гибкой материальной поверхности на 180° переводит две стороны, первоначально находившиеся в нашем пространстве, снова в наше пространство, но при этом меняет их местами: каждая сторона после поворота занимает то место, которое первоначально занимала другая. Различные части материальной поверхности при таком повороте не взаимодействуют между собой, поэтому поворачивать можно любую материальную поверхность, независимо от того, является ли она открытой частью некоторой большей материальной поверхности или замкнута, наподобие полого резинового шара. В нашем пространстве резиновую ленту, изгибая, можно вывернуть наизнанку. Это в точности соответствует выворачиванию сферы в пространстве четырех измерений.

Симметричные фигуры в четырехмерном пространстве лучше всего рассматривать, изучая в отдельности симметрию относительно точки, прямой или плоскости.

Фигуры на плоскости, симметричные относительно Точки, равны, ибо каждую из них поворотом вокруг точки — центра симметрии — можно совместить с другой фигурой. Однако фигуры на плоскости, симметричные Относительно прямой, нельзя совместить, не выводя из плоскости, не поворачивая в пространстве. Двумерные существа могли бы рассматривать такие фигуры как истинно симметричные, ибо их соответственные части равны, но расположены в обратном порядке, что мешает их полному совпадению.

Рассмотрим симметрию в трехмерном пространстве. Фигуры, симметричные относительно прямой, можно привести в совпадение, поворачивая одну из них вокруг Оси симметрии. С другой стороны, фигуры, симметричные относительно точки и плоскости, если только они не Являются плоскими фигурами, следует считать истинно симметричными, ибо никаким движением в пространстве совместить их невозможно. Фигуры, симметричные относительно плоскости, можно превратить в фигуры, симметричные относительно точки, а фигуры, симметричные относительно точки, — в фигуры, симметричные относительно плоскости. Предположим, например, что две фигуры симметричны относительно плоскости. Соединим их жестким стержнем, перпендикулярным плоскости симметрии, а нары соответствующих точек свяжем прямыми, например упругими нитями. Если мы повернем одну из фигур на пол-оборота вокруг стержня как вокруг оси, то упругие нити скрестятся в точке, где ось вращения — стержень пересекает исходную плоскость симметрии; относительно этой точки фигуры станут симметричными.

В четырехмерном пространстве фигуры могут быть симметричными относительно точки, прямой, плоскости или 3-пространства. Фигуры, симметричные относительно точки, можно превратить в фигуры, симметричные относительно плоскости, и наоборот, а фигуры, симметричные относительно прямой, — в фигуры, симметричные относительно 3-пространства, и наоборот. Фигуры, симметричные относительно 3-пространства, являются истинно симметричными, и их нельзя совместить никаким движением в четырехмерном пространстве. Можно сказать, что части истинно симметричных фигур расположены в обратном порядке. Но фигуры, симметричные относительно плоскости, можно совместить, повернув одну из них вокруг плоскости, как вокруг плоскости симметрии, на 180°, независимо от того, являются ли рассматриваемые фигуры четырехмерными или трехмерными. Таким образом, для четырехмерных существ то, что мы называем симметричными фигурами, отличается, лишь положением в пространстве.

Это весьма удивительный факт. Правая перчатка, повернутая в пространстве четырех измерений, становится левой перчаткой, а правый ботинок превращается в левый. Человек, привыкший работать правой рукой, после того, как его повернут в четырехмерном пространстве, превратится в левшу. Все операции он будет по-прежнему производить той же рукой, что и до поворота в четырехмерном пространстве, но всем окружающим будет казаться, что он работает левой рукой. При повороте точка зрения человека «изменилась на противоположную», поэтому ему кажется, что изменилось все окружающее. Обычные буквы представляются ему зеркальными, как шрифт наборщику, стрелки часов идут в противоположном направлении, а весь мир превращается в свое зеркальное отражение.

Между поворотом предмета в четырехмерном пространстве и выворачиванием его наизнанку существует различие, которое не всегда понимают. Правая перчатка, вывернутая наизнанку в трехмерном пространстве, превращается в левую перчатку. Правая перчатка, повернутая в пространстве четырех измерений, также становится левой перчаткой, но, когда перчатку поворачивают в четырехмерном пространстве, она не выворачивается наизнанку. С другой стороны, правую перчатку можно вывернуть наизнанку в четырехмерном пространстве так же, как и замкнутую резиновую оболочку — мяч. Как происходит такое выворачивание, мы рассказали в предыдущем разделе. При выворачивании в четырехмерном пространстве пальцы перчатки не нужно продевать сквозь отверстие, через которое мы всовываем в перчатку руку, каждая часть перчатки-поворачивается на своем месте. При таком выворачивании в четырехмерном пространстве перчатка, быть может, слегка натянется, а отдельные ее части чуть изменят свое положение. Однако при выворачивании в четырехмерном пространстве правая перчатка не станет левой, а по-прежнему останется правой перчаткой. Аналогию с выворачиванием в четырехмерном пространстве можно усмотреть на плоскости, если взять почти замкнутую фигуру. Распрямив ее в отрезок прямой, мы можем превратить фигуру в симметричную ей: для этого лишь требуется изогнуть ее в другую сторону, то есть вывернуть наизнанку. Весь процесс выворачивания происходит при этом в плоскости и доступен двумерному существу. Однако ту же фигуру можно превратить в симметричную ей и путем поворота в трехмерном пространстве, но при этом она не выворачивается наизнанку. С другой стороны, если наша плоская фигура обладает достаточной гибкостью, то ее можно вывернуть наизнанку, перекрутив каждую часть на 180°, при этом она не перейдет в симметричную фигуру.

Гипертело, то есть часть четырехмерного пространства, можно разделить на две части 3-пространством. Таким образом, сечение, разрезающее гипертело на две части, окажется трехмерным. Плоскостью невозможно разделить гипертело на две части, так же как прямой нельзя разделить на две части тело в трехмерном пространстве. Прямая может проходить через тело в трехмерном пространстве, прорезая в нем дырочку. Прямая может проходить и сквозь гипертело, также прорезая в нем мельчайшее отверстие. Стержень, или материальная прямая, имеющий значительную протяженность вдоль одного главного измерения и очень маленькие размеры по трем остальным измерениям, пронзит гипертело, образовав в нем отверстие. Но гипертело можно пронзить и плоской пластинкой, имеющей сравнительно большую протяженность по двум измерениям и очень маленькую протяженность по двум другим. Пластина, прорезающая гипертело, могла бы иметь бесконечную протяженность по двум главным направлениям, но гипертело при этом не распалось бы на части. Таким образом, отверстия в пространстве четырех измерений бывают двух типов: одномерные и двумерные.

Одномерное отверстие может проходить сквозь четырехмерное тело в направлении, перпендикулярном нашему трехмерному пространству, и тогда четырехмерное тело покажется нам полностью замкнутым, но полым, наподобие полой сферической оболочки. Сквозь такое отверстие может проходить стержень или нить, которые будут удерживаться в нем жестко, но стержень или нить, проходящие сквозь, двумерное отверстие, будут сразу же выскальзывать, если мы потянем их за конец. Стержень, изогнутый так, что концы его можно соединить и приварить один к другому, превращается в кольцо. Отверстие этого кольца двумерно. Сцепить два кольца невозможно, но в четырехмерном пространстве мы легко можем сцепить кольцо и полую сферу. Более того, чередуя кольца и полые сферы, можно построить целую цепочку. В обычном узле один из концов веревки проходит сквозь кольцо, образованное самой веревкой, и тотчас же скрывается в четвертом измерении[10].

Колесо из четырехмерной материи в двух измерениях имеет форму окружности, а его размеры в двух остальных измерениях очень малы. Осью такого колеса служит не стержень, а плоская пластина. Во всех направлениях, лежащих в ее плоскости[11], осевая пластина может простираться до бесконечности, не мешая колесу свободно вращаться. Колесо можно снять с осевой пластины, если только оно не закреплено на ней, так же, как трехмерное колесо свободно снимается со своей оси. Находясь в 3-пространстве, мы увидим осевую пластину и два противоположных радиуса (две спицы) четырехмерного колеса, причем спицы будут казаться нам не связанными между собой. Так мы можем увидеть двумерное отверстие, а также все колесо с отверстием и осевым стержнем, высекаемым из осевой пластины нашим 3-пространством.

Мы можем жестко скрепить колесо с осевой пластиной так, что она будет поворачиваться вместе с колесом, при этом четырехмерное колесо будет вращаться в своей плоскости, а осевая пластина поворачиваться по самой себе. На одну осевую пластину можно насадить несколько колес, расположив различные колеса в различных точках пластины. Если эти колеса жестко скреплены с осевой пластиной, то, повернув одно из них, мы можем повернуть все остальные. Так мы получаем возможность строить различные механизмы в пространстве четырех измерений.

Ничто не мешает нам выбрать в качестве осевой пластины колесо. Оба колеса — основное и ось — можно скрепить в их центрах так, чтобы они были абсолютно перпендикулярны. Такая фигура может вращаться двумя способами: плоскость каждого из четырехмерных колес служит осевой плоскостью вращения другого, а плоскость другого колеса — плоскостью вращения.

Четырехмерное колесо может быть дважды круговым. В этом случае плоскость, абсолютно перпендикулярная колесу, пересекает его по малой окружности, а плоскость, совпадающая с плоскостью самого колеса, пересекает колесо по большой окружности. Дважды круговое колесо может вращаться двумя различными способами и в каждом из двух случаев совершать полные обороты, не проходя через новые части четырехмерного пространства.

Рассмотрим сферическое четырехмерное колесо. Это тело, имеющее вид сферы в трех измерениях и очень небольшой размер в четвертом измерении. Такое колесо с одномерным отверстием, сквозь которое можно пропустить осевой стержень, будет вращаться, но его движение не ограничивается определенным направлением вращения, как это происходит с плоским колесом, вращающимся в одной плоскости. Для механизма, требующего определенное направление вращения, мы будем пользоваться плоскими колесами с осевыми пластинками[12]. Сферическое колесо можно использовать для четырехмерных экипажей. Если четырехмерные существа живут на четырехмерной Земле, то есть на ее трехмерной границе, то экипаж с четырьмя колесами любого рода или с большим числом колес оказался бы незаменимым при путешествиях. Экипаж с плоскими колесами мог бы передвигаться лишь по прямой без трения между колесом и поверхностью земли. Экипаж со сферическими колесами мог бы передвигаться по плоскости в любом направлении без трения, которое возникало бы лишь при переходе из одной плоскости в другую.

Для устойчивости экипаж должен был бы обладать по крайней мере четырьмя колесами, а последние должны были бы иметь по крайней мере две оси. Даже если экипаж имел бы плоские колеса и осевые пластины, нам понадобились бы по крайней мере две такие пластины. Для того чтобы находиться в равновесии, необходимо иметь четыре точки опоры, причем все они не должны быть расположены в одной плоскости.

Трудно представить себе, каким образом границы гипертел, то есть конечных частей четырехмерного пространства, могут быть трехмерными. Ясно, что этого требует аналогия, но понять, каким образом каждая точка, лежащая внутри трехмерного тела, может разделять две части, на которые рассекает четырехмерное пространство это трехмерное тело, довольно трудно. Находясь в любой точке внутри трехмерной границы гипертела, мы можем выйти из нее по трем взаимно перпендикулярным направлениям, оставаясь при этом внутри границы. Столько же взаимно перпендикулярных направлений мы насчитываем в нашем трехмерном пространстве. Нам придется идти по кривой траектории, если граница гипертела искривлена, но в начале пути мы можем выйти из точки по трем взаимно перпендикулярным направлениям точно так же, как в нашем трехмерном пространстве.

Гипертело, ограниченное многогранниками, можно вскрыть и разложить многогранники в одном 3-пространстве. Обращая этот процесс, мы можем образовать границу гипертела, составляя ее из надлежащим образом подобранных трехмерных тел в 3-пространстве и поворачивая их затем вокруг общих граней так, чтобы в конце концов они образовали границу гипертела. Трехмерные тела при этом не деформируются и не распадаются. Так, если мы возьмем куб, разместим на его гранях шесть других равных ему кубов и поместим еще один куб поверх одного из шести кубов, то такую конструкцию можно повернуть так, чтобы она образовала гиперкуб, или тессеракт, который упоминается в некоторых из приводимых ниже очерков. Такое построение гипертел аналогично построению многогранников из плоских разверток. Аналогия очень ясная, настолько, что мы можем не сомневаться в итоге нашего построения, хотя оно и приводит к удивительным результатам.

Упомянем здесь некоторые из наиболее простых фигур четырехмерной геометрии, аналогичные фигурам, изучаемым нашей стереометрией.

Первые фигуры, о которых следовало бы упомянуть, — это гиперпризма и гиперцилиндр с параллельными линейными элементами, а также гиперпирамида и гиперконус с линейными элементами, пересекающимися в вершине. Основаниями всех этих гипертел служат многогранники или некие другие трехмерные тела, а их линейные элементы исходят из трехмерного пространства, в котором лежит основание. Гиперкуб является частным случаем гиперпризмы.

Простейший случай гиперпирамиды — фигура, называемая пентагедроидом. В основании ее лежит тетраэдр, или треугольная пирамида. Таким образом, пентагедроид имеет всего пять вершин. Любые пять точек, не лежащие в одном 3-пространстве, можно считать вершинами некоторого пентагедроида. Если из этих пяти точек мы будем всеми возможными способами выбирать но четыре, то получим пять тетраэдров. Следовательно, пентагедроид можно получить как гиперпирамиду пятью различными способами. Тетраэдры расположены так, что имеют попарно общие грани, каждый тетраэдр имеет одну общую грань с каждым из остальных. Эти тетраэдры можно разрезать так, чтобы они образовали трехмерную развертку пентагедроида, то есть чтобы их можно было развернуть в одном 3-пространстве. Трехмерная развертка пентагедроида имеет вид тетраэдра, на каждой из граней которого построено еще по одному тетраэдру. Пентагедроид образуется, когда эти тетраэдры Определенным образом поворачиваются. При таком повороте ни один из тетраэдров не искажается и не отделяется от другого. Сложенные вместе, пять тетраэдров образуют одну замкнутую фигуру, заключающую внутри себя конечную часть гиперпространства. Процесс получения гипертела из его трехмерной развертки аналогичен процессу получения трехмерного тетраэдра из его плоской развертки.

В общем случае граница гиперпирамиды состоит из многогранника, лежащего в основании, и боковых пирамид, покоящихся на гранях основания. Боковые пирамиды примыкают друг к другу общими гранями так же, как грани многогранника, лежащего в основании, примыкают друг к другу общими ребрами.

Гиперпирамиду, в основании которой лежит пирамида, можно рассматривать как гиперпирамиду двумя способами. В каждом из двух случаев вершиной гиперпирамиды служит одна из вершин трехмерной пирамиды, лежащей в основании гиперпирамиды при ином способе рассмотрения. Трехмерные пирамиды, служащие основаниями, имеют общее основание — многоугольник. Таким образом, гиперпирамида определяется многоугольником и двумя точками, не лежащими в одном 3-пространстве с этим многоугольником. Прямую, проходящую через две указанные точки, можно было бы назвать вершинной прямой. Граница гиперсферы состоит из двух пирамид и части, порождаемой треугольником, размеры и форма которого могут изменяться, но одна сторона остается неизменной, а противоположная ей вершина пробегает все точки некоторого многоугольника, не лежащего в одном 3-пространстве с фиксированной стороной. Производящий треугольник иногда называют треугольным элементом.

Аналогично гиперконус, основанием которого служит конус, можно рассматривать двумя различными способами. Его границей служат два конуса и некоторая часть, порожденная треугольником с одной фиксированной стороной. Вершина треугольника, противоположная фиксированной стороне, пробегает плоскую кривую, но лежащую в одном 3-пространстве с фиксированной стороной.

Граница гиперпризмы состоит из двух многогранников, служащих основаниями, и боковых призм. Основаниями боковых призм служат грани многогранников, лежащих в основании гиперпризмы. Боковые призмы примыкают друг к другу вдоль общих боковых граней.

Если основаниями гиперпризмы служат призмы, то ее боковая граница состоит из двух призм и набора параллелепипедов. Такую фигуру можно рассматривать как гиперпризму двумя способами. Две призмы, которые в одном случае являются боковыми, в другом служат основаниями. Все четыре призмы последовательно соединены друг с другом основаниями. Каждый из параллелепипедов двумя противоположными гранями примыкает к двум соседним параллелепипедам, а остальные его четыре грани примыкают к боковым граням; каждой из четырех призм. Если четыре призмы отсечь от параллелепипедов и провести разрез вдоль одного из общих оснований, то их можно развернуть в одном 3-пространстве. Если к тому же призмы были прямыми, то мы получим одну прямую призму. Параллелепипеды можно разъединить, проводя разрез вдоль одной из общих граней и так же развернуть их в одном 3-пространстве, при этом, если параллелепипеды были прямоугольными, мы получим одну прямую призму (параллелепипед). Взяв одну из больших призм, мы сможем приставить ее под углом к другой большой призме так, чтобы их общие грани совместились. Затем одну из призм можно будет обкатывать по другой призме, при этом все соответственные грани будут совмещаться. В исходной фигуре обе призмы были свернуты вокруг друг друга так, что каждая точка боковой поверхности одной из призм приходилась на соответствующую точку, принадлежащую боковой поверхности другой призмы, и обе призмы вместе замыкали внутри себя конечную часть четырехмерного пространства.

Если мы выберем из четырех призм четыре элемента, образующие параллелограмм, то все параллелепипеды мы получим, двигая этот параллелограмм параллельно самому себе. При этом вершины его будут описывать основания призм. Набор из четырех призм можно также получить, передвигая параллельно самим себе многоугольные основания. При этом вершины оснований будут описывать параллелограммы, вдоль которых параллелепипеды примыкают друг к другу. Таким образом, параллелограмм и многоугольник играют роль производящих элементов, причем каждый служит для другого направляющей при получении соответствующей части гиперпризмы.

Аналогичным образом можно построить гиперцилиндр с двумя цилиндрическими основаниями. Часть боковой поверхности гиперцилиндра состоит из двух цилиндров, соединяющих концы цилиндрических оснований, поэтому всю фигуру можно рассматривать как гиперцилиндр двумя способами. Из четырех цилиндров можно выбрать четыре элемента, образующие параллелограмм, а остальную часть боковой границы можно построить, двигая этот параллелограмм параллельно самому себе. При этом его вершины будут описывать основания цилиндров. Поскольку цилиндры можно получить аналогичным способом, двигая плоскую кривую параллельно самой себе вокруг любого из параллелограммов, то параллелограмм и замкнутая плоская кривая позволяют получить весь гиперцилиндр. При построении одной его части параллелограмм служит производящим элементом, а замкнутая плоская кривая — направляющей, при получении другой части роли элементов меняются.

Таким образом, гиперпризму, основаниями которой служат призмы, и гиперцилиндр с цилиндрическими основаниями можно рассматривать как частные случаи некоторого класса гипертел, допускающего следующие описания. Расположим два многоугольника, две замкнутые плоские кривые или многоугольник и плоскую кривую так, чтобы они пересекались, но не лежали в одном 3-пространстве. Их плоскости будут пересекаться лишь в той точке, где пересекаются сами кривые. Один многоугольник или одну кривую начнем двигать параллельно себе вокруг другой. При этом мы получим трехмерную фигуру в форме кольца (причем не только наружную поверхность, но и все внутренние точки фигуры). Двигая другой многоугольник или кривую вокруг первого, мы точно таким же образом получим вторую фигуру в форме кольца. Эти две кольцеобразные фигуры плотно примыкают друг к другу и образуют границу гипертела, внутри которой заключена конечная часть четырехмерного пространства. Такое гипертело можно назвать двойной призмой, призмоцилиндром или двойным цилиндром в зависимости от того, что мы выбрали вначале: два многоугольника, многоугольник и кривую или две кривые. Если плоскости двух производящих многоугольников абсолютно перпендикулярны, то мы получим прямую двойную призму. Аналогично можно получить и прямые фигуры остальных двух типов.

Если любую часть границы отделить от остальной и провести разрез вдоль одного из производящих элементов, то оставшаяся часть границы развернется в одном 3-пространстве, аналогичном нашему трехмерному пространству. Если плоскости двух производящих элементов абсолютно перпендикулярны, то каждая часть границы при развертывании в 3-пространстве превращается в прямую призму или в прямой цилиндр. В этом случае исходные фигуры можно описать иначе. Например, для того чтобы построить прямую двойную призму, достаточно взять две прямые призмы, выбрав их так, чтобы высота каждой из них совпадала с периметром другой призмы. Перегнув их относительно друг друга, мы можем совместить все соответствующие грани и получить трехмерное тело, внутри которого будет заключена конечная часть четырехмерного пространства. Аналогично можно построить прямой призмоцилиндр или прямой двойной цилиндр, взяв в одном случае призму и цилиндр, а в другом два цилиндра.

Если при построении двойного цилиндра мы возьмем два круговых цилиндра, то получившееся гипертело можно назвать цилиндром двойного вращения. Такой цилиндр будет вращаться двумя независимыми способами вокруг двух абсолютно перпендикулярных плоскостей. Плоскости вращения образованы осями двух цилиндров. Каждое из вращений происходит следующим образом. Одна из осей вращается по самой себе, а другая, совпадающая с осевой плоскостью, остается неподвижной.

Если один из цилиндров имеет очень маленький радиус по сравнению с радиусом другого цилиндра, в силу чего у второго цилиндра очень маленькая высота (один цилиндр напоминает веревку, а другой — колесо[13]), то получающееся при этом гипертело можно назвать дважды круговым колесом.

Изучая четырехмерное пространство, мы непременно встретимся с еще одной фигурой, а именно с гиперсферой, геометрическим местом точек, равноудаленных от некоторой данной точки. Иногда гиперсферой называют гипертело, то есть конечную часть гиперпространства, заключенную внутри этого геометрического места, а само геометрическое место называют границей, или гиперповерхностью, гиперсферы. При таком понимании гиперсфера (то есть граница) трехмерна, и на ней реализуется трехмерная эллиптическая неевклидова геометрий. Впрочем, это не удивительно, поскольку обычную сферическую геометрию можно рассматривать как двумерную эллиптическую неевклидову геометрию.

Сформулируем некоторые правила, позволяющие вычислять размеры гипертел в геометрии четырех измерений. Известны правила, позволяющие вычислять объем границы гипертел или части этой границы, а также гиперобъем, то есть величину части 4-пространства, заключенной внутри границы. В большинстве случаев эти правила выводятся так же, как соответствующие правила для площади и объема в обычной геометрии, или могут быть получены методами математического анализа. Все приводимые ниже правила применимы к правильным фигурам, и большинство из них допускает обобщение на некоторые другие классы фигур, но мы не будем здесь останавливаться на этом.

Гиперпризма и гиперцилиндр.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на высоту.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на высоту.

Гиперпирамида и гиперконус.

Боковой объем = площадь поверхности основания, умноженная на ? высоты.

Гиперобъем = объем основания, умноженный на ? высоты.

Двойная призма, призмоцилиндр и двойной цилиндр.

Объем одной части границы = площадь, заключенная внутри производящего многоугольника или кривой, умноженная на периметр направляющей.

Полный объем границы равен сумме двух таких произведений. Можно сказать, что полный объем равен сумме двух произведений, каждое из которых образовано при умножении площади, заключенной внутри производящего многоугольника или кривой, на периметр другого многоугольника или кривой.

Гиперобъем = произведение площадей, заключенных внутри производящих, многоугольников или кривых.

Для цилиндра двойного вращения с радиусами R и R' справедливы следующие формулы:

Объем = 2??RR'(R + R').

Гиперобъем = ?R?R'?.

Гиперсфера.

Объем (границы) = 2??R?.

Гиперобъем (заключенный внутри границы) = ???R?.

Если радиусы цилиндра двойного вращения равны радиусу гиперсферы, то его можно описать вокруг этой гиперсферы. При этом объем цилиндра двойного вращения будет равен удвоенному объему гиперсферы, а гиперобъем — удвоенному объему гиперсферы.