II

Математики начали интересоваться понятиями n-мерных геометрий примерно в середине прошлого века. Кэли, Грассман, Риман, Клиффорд и некоторые другие математики стали использовать эти понятия в своих исследованиях. Время от времени другие математики также обращали внимание на различные любопытные факты из многомерной геометрии. Так, первый том American Journal of Mathematics открывается статьей профессора Ньюкома, в которой доказано, что сферу, не не разрывая, можно вывернуть наизнанку в четырехмерном пространстве, а в третьем томе того же журнала профессор Стрингхэм приводит полный список правильных тел в пространстве четырех измерений, соответствующих правильным многогранникам нашего трехмерного пространства. Появились и другие работы, в которых рассматривалась теория вращения четырехмерных тел, их пересечения и проекции в трехмерное пространство. Великий итальянский геометр Веронезе опубликовал обширный труд по геометрии п измерений с теоремами и подробными доказательствами, совсем как в тех учебниках, по которым изучают геометрию в наших школах. Четвертое измерение является первым из высших измерений, и лишь его мы будем рассматривать далее.

Геометрия четырех измерений важна не только математику, она привлекает и представителей других наук. Так, четырехмерная геометрия затрагивает проблемы пространства, которые относятся к компетенции философа. Попытки представить себе наглядно четвертое измерение заставляют нас напрягать наше пространственное воображение, и тем самым четырехмерная геометрия привлекает к себе внимание психологов. Попытки использовать теории гиперпространства для объяснения физических и других явлений делают четырехмерную геометрию предметом изучения физиков и других естествоиспытателей. Кроме того, широкий интерес вызывают многие любопытные формы и отношения, возникающие при изучении четырехмерной геометрии. Например, трехмерные симметричные тела, отличающиеся лишь расположением в пространстве, можно перевести друг в друга, повернув их в четырехмерном пространстве. Не меньший интерес вызывает плоскость, которая служит осью вращения, а также то обстоятельство, что в четырехмерном пространстве две полные плоскости иногда могут иметь лишь одну общую точку. Гибкую сферу в четырехмерном пространстве можно вывернуть наизнанку, не разрывая ее при этом. Для того чтобы извлечь любой предмет из закрытой коробки или запертого помещения, в четырехмерном пространстве вовсе не требуется взламывать стенки или проникать сквозь потолок и пол. Узел на веревке в четырехмерном пространстве можно развязать, не прикасаясь к концам веревки, а цепь разъять на отдельные звенья, не распиливая их на части!

Эти любопытные особенности пространства четырех измерений, хотя они и представляют несомненный интерес, чрезвычайно затрудняют изучение четырехмерной геометрии. Мы не только не в силах представить себе, как может происходить нечто подобное, но и сами факты здесь лежат за пределами нашего разумения. Изучая планиметрию и стереометрию, мы рисуем чертежи и строим модели. Мы постоянно видим сами изучаемые предметы, и поэтому, даже если они сложны, нам нетрудно мысленно представить их себе. Иначе обстоит дело с четырехмерной геометрией: она, как правило, занимается изучением таких предметов, которые никогда не встречались нам на опыте и которые мы даже с трудом сможем представить себе. Каждое утверждение четырехмерной геометрии кажется нам лишенным смысла. Особенно часто такое ощущение охватывает тех, кто впервые приступает к изучению четырехмерной геометрии. Легкость в восприятии ее утверждений, если она вообще достигается, приобретается лишь медленно и ценой постоянных упражнений. Однако в четырехмерной геометрии мы, как правило, сталкиваемся с такими вещами, которые ранее нам никогда не приходилось встречать, и поэтому представить их себе нам необычайно трудно. Пытаясь постичь некий предмет, мы, естественно, стремимся сначала представить его себе в общих чертах, ощутить его. Приступая к изучению четырехмерной геометрии, мы можем лишь запомнить различные отношения и ознакомиться с ними. Возможно, что со временем они, по крайней мере отчасти, смогут сравниться по живости восприятия с понятиями трехмерной геометрии. Не следует, однако, возлагать на это слишком большие надежды, чтобы потом нас не постигло разочарование. Наоборот, если мы с самого начала отдадим себе ясный отчет в том, сколь малого следует здесь ожидать, то такой «реалистический» подход к предмету позволит нам достичь больших успехов и в лучшей степени овладеть им.

Отсюда следует, что понять четырехмерную геометрию отнюдь не легко. Изучать ее можно лишь небольшими порциями, возвращаясь к прочитанному и тщательно обдумывая его. Столь трудный предмет полезно рассматривать с различных точек зрения и изучать в различных изложениях. Поэтому приводимые ниже краткие очерки, принадлежащие перу различных авторов, обладают несколькими преимуществами: они содержат известные повторы, написаны с различных точек зрения, невелики по объему, и их можно выбирать и изучать независимо друг от друга.

Все эти очерки либо не математические, либо написаны в популярной форме. Это обстоятельство не следует упускать из виду. Из сравнения геометрии в пространстве низших размерностей мы извлекаем аналогии для геометрии четырех измерений, и эти аналогии настолько полны, что четырехмерную геометрию можно необычайно подробно изложить, не прибегая к строгой манере рассуждений, принятых в математике. Указанные аналогии служат путеводной нитью даже для математиков, но сама четырехмерная геометрия не зависит от этих аналогий. Как система теорем и доказательств, она возникает из положенных в ее основу аксиом в результате процесса логического рассуждения так же, как возникают геометрии пространств низших размерностей. Если мы хотим убедиться в непротиворечивости четырехмерной геометрии, в ее истинности как математической системы, нам необходимо изучить ее математически. Нематематическое изложение следует воспринимать лишь как описание четырехмерной геометрии, и читатель должен ясно сознавать, что подобное описание предназначено отнюдь не для того, чтобы убедить его хотя бы в возможности построения четырехмерной геометрии. Оно преследует иную цель: показать читателю, что такое четырехмерная геометрия.

Существует другой способ, также позволяющий использовать принцип аналогии. Вообразив себе двумерные существа, обитающие на плоскости и неспособные воспринимать третье измерение, а тем более геометрию трехмерного пространства, мы получим яркое представление о том, как мы сами относимся к четырехмерному пространству и тем или иным понятиям многомерной геометрии. Подобный подход становится еще более интересным, если изложение ведется в форме художественного произведения, повествующего о жизни в двумерном мире. Такое произведение не обязательно должно входить во все детали двумерного существования. Слишком подробное описание жизни в двумерном мире перегрузило бы повествование излишними подробностями, которые отвлекли бы нас от главной цели. Но подобное произведение, написанное так, чтобы искусно ввести нас в некоторые из этих отношений, способно оказать нам огромную помощь в понимании того, как мы сами должны относиться к многомерной геометрии [8].

Геометрия четырех измерений, построенная на основе соответствующей системы аксиом и применяемая обычным способом к точкам, прямым и т. д., представляет собой вполне определенную систему. Однако при попытке облечь наши идеи в физическую форму и представить себе мир либо двух, либо четырех измерений, заполненный двумерной или четырехмерной материей, мы сталкиваемся с явным произволом. Даже для физика материя представляет собой загадку, и мы можем развивать различные теории материи подобно тому, как мы выводим геометрии из различных систем аксиом. Мы не можем утверждать, что до конца постигли все свойства реально существующей материи, поэтому наделение материи в воображаемом пространстве необычными свойствами нельзя считать полностью лишенным смысла. Так, чтобы выяснить, как следует относиться к воображаемому пространству четырех измерений, вполне допустимо предположить, что существует двумерный мир с его обитателями, даже если существование такого мира заведомо исключено. Аналогично мы могли бы предположить, что Луна населена разумными существами, и получить весьма живую картину Лунной поверхности с точки зрения ее обитателей.

Итак, предположим, что двумерный мир существует. Следующая, не менее интересная задача состоит в том, чтобы понять, как далеко мы можем продвинуться в его описании. Например, можно предположить, что двумерная материя в действительности трехмерна и что двумерные существа также трехмерны. Для этого обитателям плоского мира мы можем приписать небольшую» толщину в третьем измерении или по крайней мере снабдить их некой толщиной, которую они сами воспринимать не могут. Но точно так же можно предположить, что обитатели плоского мира двумерны, и проследить, к чему приводит подобное допущение. Любую материальную частицу мы условимся рассматривать как точку, в которой сходятся или от которой исходят притягивающие или отталкивающие силы. Нетрудно предположить, что все эти силы расположены в одной плоскости. Двумерное существо, встретив на своем пути любой объект, сможет распознать, твердый он (точнее, его контур) или мягкий. Световые волны, распространяясь по плоскости, могут отражаться от различных предметов, точнее, от их края, и создавать на сетчатой оболочке глаза двумерных существ изображение. Двумерные волны могут возбуждать особую звукочувствительную струну в слуховой полости двумерных существ. Предметы могут удерживаться вместе и прикрепляться друг к другу либо путем прилипания, либо при помощи неких зажимов. Механические устройства и тела живых существ в плоском мире должны были бы иметь сравнительно простую структуру, если там, так же как в нашем мире, изолированные друг от друга предметы практически не взаимодействуют друг с другом. Ни в одном двумерном предмете не могло бы быть сквозных отверстий. Трубы не могли бы существовать в двумерном мире, Если бы в двумерном доме одновременно открылись две двери или распахнулось несколько окон, то такой дом развалился бы на отдельные части. По-видимому, существование в двумерном мире лишь весьма несложных форм и структур отразилось бы на сравнительно низком уровне умственного развития его обитателей, но в приведенной выше воображаемой структуре двумерного мира нет ничего невозможного.

Обратившись к одновременному рассмотрению двумерного и трехмерного пространств, то есть двумерного пространства, вложенного в трехмерное пространство, мы без труда обнаружим, что сами пространства можно выбирать в значительной мере произвольно. Если при том или ином выборе нам встретятся какие-нибудь трудности, то ими можно пренебречь ради наглядности аналогии. Однако вопрос о существовании двумерного мира в трехмерном пространстве интересен и сам по себе, поэтому мы попытаемся рассмотреть его несколько подробнее. Предположим, что двумерная материальная плоскость, населенная нашими двумерными существами, обладает способностью отражать часть света, падающего на нее извне, в силу чего двумерный мир виден трехмерным существам. Рассматривая обитателей плоского мира, трехмерные существа могут без труда заглядывать не только внутрь домов и в закрытые помещения, но и во внутренности двумерных существ. Если трехмерные существа к тому же обладают способностью извлекать предметы из плоскости и возвращать их обратно, то они смогут «похитить» любой предмет из закрытого помещения, сколь бы надежными ни были его замки.

Весьма интересно было бы изучение законов четырехмерной материй, четырехмерной физики, однако мы ограничимся лишь общим описанием различных возникающих здесь форм и возможных видов движения, не вдаваясь в более строгую теорию и не прибегая к точным научным терминам. Наша цель состоит лишь в том, чтобы дать читателю лишь общее представление о четырехмерном пространстве, нарисовать по возможности более точную картину, и мы при описании четырехмерных существ будем накладывать или снимать ограничения, руководствуясь лишь удобством изложения.

Мы различаем формы и положения предметов главным образом с помощью зрения. Органы зрения существа, вынужденного жить в пространстве некоторой вполне определенной размерности, по-видимому, приспособлены к размерности его пространства. Так, картина, образующаяся на сетчатой оболочке нашего глаза двумерна, поскольку сетчатая оболочка нашего глаза представляет собой двумерную поверхность. У двумерного существа, лишенного способности воспринимать что-либо вне его плоскости, сетчатая оболочка была бы одномерной или по крайней мере образ предмета из его мира представлялся бы ему в виде линии, причем различные предметы отличались бы по длине, цвету и степени освещенности этих линий. Сетчатая оболочка четырехмерного существа должна была бы быть трехмерной, если предположить, что четырехмерное существо должно различать все лучи света, расположенные внутри данного угла зрения. Действительно, четырехмерное существо может видеть лишь наружную поверхность четырехмерного предмета, а поверхность четырехмерного предмета трехмерна.

Представить себе наглядно, как выглядит четырехмерное тело с его трехмерной границей, нам, разумеется, трудно, поэтому мы можем попытаться получить косвенное представление о форме четырехмерного тела, предположив, что некоторое трехмерное существо — личность, аналогичная нам, обладает способностью проходить сквозь ряд параллельных 3-пространств (трехмерных пространств) и в каждом 3-пространстве рассматривать ту часть четырехмерного тела, которая в нем лежит, то есть сечение четырехмерного тела этим 3-пространством. Аналогичным образом мы могли бы предположить, что некое двумерное существо способно проходить сквозь ряд параллельных плоскостей и в каждой такой плоскости рассматривать сечение интересующего его трехмерного тела. Сечение четырехмерного тела, которое мы могли бы увидеть, имело бы вид трехмерного тела, а его поверхность составляла бы лишь часть трехмерной поверхности четырехмерного тела.

Существует другой, хотя и тесно связанный с только что изложенным способ изучения четырехмерных тел, которым мы также можем воспользоваться. Представим себе, что мы можем переходить из одного 3-пространства в другое, перпендикулярное 3-пространство. Переход этот осуществляется следующим образом. Отбросив одно из трех взаимно перпендикулярных направлений в нашем пространстве, мы присоединим к двум оставшимся четвертое направление, перпендикулярное нашему трехмерному пространству, и получим новое 3-пространство. Сечение четырехмерного тела любым из 3-пространств мы опишем по тому, что мы увидим своими глазами, оказавшись в этом 3-пространстве. Именно это мы и сделаем применительно к различным сечениям четырехмерного тела, получающимся при рассмотрении различных взаимно перпендикулярных 3-пространств во всех точках нашего трехмерного пространства.

Рассмотрим несколько примеров. Первое, с чем нам придется столкнуться при изучении четырехмерной геометрии, — это прямая, перпендикулярная 3-пространству. Так называется прямая, выходящая из произвольной точки нашего пространства в некотором новом, четвертом, направлении, перпендикулярном всем прямым исходного пространства, проходящим через данную точку[9]. Если мы станем двигаться вдоль одного из измерений нашего пространства, наблюдая при этом лишь за той его частью, которая лежит в некоторой плоскости, и новым, четвертым, измерением, то мы увидим плоскость и выходящую из нее прямую, перпендикулярную всем прямым, лежащим в данной плоскости, то есть хорошо знакомую нам картину.

В качестве другого примера рассмотрим две абсолютно перпендикулярные плоскости. Если мы выберем плоскость, проходящую через любую точку O, и прямую, перпендикулярную выбранной плоскости и проходящую через точку O, причем и прямая, и плоскость лежат в нашем исходном пространстве, а затем рассмотрим прямую, проходящую через точку в четвертом направлении, перпендикулярном всем прямым нашего пространства, проходящим через точку O, то получим плоскость, проходящую через точку O, и две прямые, каждая из которых перпендикулярна этой плоскости и другой прямой. Эти две прямые в свою очередь определяют плоскость, в которой каждая прямая, проходящая через точку O, перпендикулярна первой плоскости. Эти две плоскости называются абсолютно перпендикулярными. Рассматривая абсолютно перпендикулярные плоскости из любого 3-пространства, мы могли бы лишь увидеть одну из плоскостей и какую-то одну из прямых, лежащих в другой плоскости, а именно прямую, проходящую через точку O перпендикулярно видимой нами плоскости. Другая плоскость пересекает наше пространство вдоль этой прямой. Обе абсолютно перпендикулярные плоскости пересекаются лишь в точке O. Действительно, две плоскости, не лежащие полностью в одном 3-пространстве, не могут иметь более одной общей точки, а когда две плоскости имеют ровно одну общую точку, то самое большее, что мы могли бы увидеть из любого 3-пространства, это одну из плоскостей и одну из прямых, лежащих в другой плоскости.

Если две плоскости абсолютно перпендикулярны третьей в двух точках O и O', то они лежат в одном и том же 3-пространстве. В этом 3-пространстве мы могли бы наблюдать обе плоскости полностью и лишь одну-единственную прямую, лежащую в третьей плоскости. Эта прямая проходит через точки O и O', и нам бы казалось, что эта прямая перпендикулярна двум первым плоскостям. С другой стороны, в 3-пространстве, содержащем третью плоскость, мы могли бы рассмотреть ее целиком, но каждая из двух абсолютно перпендикулярных ей плоскостей выродилась бы в прямую.