Неевклидова геометрия и четвертое измерение

Четвертое измерение — побочная ветвь так называемой неевклидовой геометрии, позволившей пролить свет на основания математики и природу пространства.

Более двух тысяч лет Евклид считался неуязвимым. Его аксиомы принято было рассматривать как незыблемые законы реального пространства, а его теоремы — как безупречные логические следствия из этих аксиом. Оба мнения оказались ошибочными. Аксиомы Евклида в действительности представляют собой абстрагированные из свойств реального пространства допущения, и его теоремы следуют не только из принятых им аксиом[14]. В основе метода Евклида лежит проверка равенства, или конгруэнтности, прямых, углов, плоских фигур и т. д. путем наложения их, и, таким образом, приводимые Евклидом доказательства по существу основаны на интуиции. Аксиому «абсолютной подвижности» (то есть аксиому, предполагающую, что фигуры в пространстве можно свободно перемещать с одного места в другое, не меняя их размеров и формы), которая, например, не выполняется на яйцевидной поверхности, но играет существенную роль при любых геометрических измерениях, Евклид принимает молчаливо, не формулируя ее в явном виде. (Гильберт отверг доказательство путем наложения фигур, ибо само движение основано на некоторых геометрических соображениях и потому не может служить основанием геометрии.) Другое неявное допущение Евклида состоит в том, что прямую можно неограниченно продолжать. Истинность этого утверждения, справедливого в евклидовой геометрии, нарушается в некоторых неевклидовых геометриях (например, в римановой геометрии).

Евклид доказывает, что «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», но доказать вытекающие одно из другого обратное и противоположное утверждения («если внутренние накрест лежащие углы не равны, то прямые пересекаются», «если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны») он не смог бы. Чтобы иметь возможность продвигаться дальше, Евклид принял свой знаменитый пятый постулат, который понадобился ему для доказательства важной теоремы о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Математикам, жившим в более поздние эпохи, этот постулат о параллельных не казался ни самоочевидным, ни не зависимым от остальных аксиом. Его считали ошибочным. На протяжении веков неоднократно предпринимались бесплодные попытки доказать его. И все же Евклид оказался прав. Пятый постулат или какая-нибудь эквивалентная аксиома (например, утверждение о том, что две пересекающиеся прямые не могут быть одновременно параллельными одной и той же прямой) необходим для построения евклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия появилась именно из попыток опровергнуть евклидову теорию параллельных. Если пятый постулат действительно содержится в других аксиомах Евклида, то его отрицание должно приводить к противоречию. Но лишь в тридцатых годах прошлого века русский математик Лобачевский и венгр Бойяи независимо друг от друга показали, что отрицание пятого постулата приводит к системе двумерной геометрии, столь же непротиворечивой, как геометрия Евклида. Новая геометрия основана на допущении о том, что через данную точку можно провести по крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой.

Предложенное Евклидом доказательство утверждения о том, что сумма углов треугольника не больше двух прямых углов, по-прежнему считалось верным до тех пор, пока в 1854 году немецкий математик Риман не показал, Что в нем непременно должна содержаться ошибка. Действительно, евклидово доказательство не содержало ни одной посылки, которая была бы неверна как в сферической, так и в плоской геометрии треугольников, и тем не менее заключение теоремы для сферических треугольников было неверным. Опираясь на этот факт, Риман показал далее, что можно построить еще одну непротиворечивую геометрию двух измерений, основанную на допущении о том, что через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной прямой.

Рис. 1.

Итак, мы имеем три непротиворечивые геометрии двух измерений, как правило, однако, противоречащие друг другу.

Рассмотрим прямую PC (рис. 1), вращающуюся против часовой стрелки вокруг точки P. Логически возможны три различных случая. Когда вращающаяся прямая перестанет пересекаться с горизонтальной прямой справа, то она либо немедленно пересечет ее слева, либо в течение некоторого времени будет поворачиваться вокруг точки P и лишь затем пересечет горизонтальную прямую слева, либо, наконец, в течение некоторого времени будет пересекать горизонтальную прямую и справа, и слева. Первая возможность приводит к евклидовой геометрии, вторая — к геометрии Лобачевского и третья — к римановой геометрии.

То, что в одной геометрии считается прямой, отнюдь не является прямой в другой геометрии, но во всех трех геометриях прямая является кратчайшим расстоянием между двумя точками. Такие кратчайшие линии называются геодезическими. В этой связи уместно упомянуть о том, что вплоть до недавнего времени обычную прямую на плоскости мы могли проводить лишь с помощью линейки. Разумеется, при этом необходимо было еще предположение о том, что проведенная линия является прямой. Метод построения прямой был открыт лишь в 1864 году, когда француз Поселье предложил свой семизвенный шарнирный механизм для точного решения задачи о построении прямой. Инверсор Поселье (рис. 2) состоит из двух стержней равной длины, прикрепленных к неподвижной точке A. Другими концами стержни скреплены с двумя противоположными вершинами ромба, образованного четырьмя меньшими стержнями равной длины. Наконец, седьмой стержень соединяет вершину C ромба с неподвижной точкой B. Расстояние AB равно длине звена BC. Если точка C будет описывать дугу окружности с центром в точке B, то точка P, как легко доказать средствами элементарной геометрии, опишет прямую, перпендикулярную прямой AB.

Рис. 2.

Если пространство определить как «любой неограниченный континуум геометрических объектов», то две неевклидовы геометрии, логически ничем не уступающие евклидовой геометрии, следует считать не согласующимися с реальностью до тех пор, пока не будет открыто пространство, для которого они были бы верны. Однако было обнаружено, что риманова геометрия представляет собой не что иное, как геометрию на сферической поверхности (двумерном пространстве постоянной положительной кривизны), если дуги больших кругов считать геодезическими (кратчайшими линиями). В 1868 году итальянец Бельтрами открыл поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского, — так называемую псевдосферическую поверхность бесконечной протяженности (двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны). В нашем пространстве можно связно представить лишь ограниченные полоски псевдосферы. Псевдосфера представляет собой седловидную поверхность (напоминающую внутреннюю поверхность тора), а выпуклости главных кривизн обращены в противоположные стороны, в силу чего ее кривизна отрицательна. Евклидова геометрия выполняется на плоскости (двумерном пространстве нулевой кривизны). Таким образом, нетрудно видеть, что все три геометрии реализуются в пространствах постоянной кривизны. На псевдосфере прямая имеет на бесконечности две различные точки, на плоскости одну, а на сфере не имеет ни одной.

Аксиома Евклида о том, что между двумя прямыми, или, если рассматривать более общий случай, двумя геодезическими, не заключено пространство, не выполняется в сферической геометрии. Пятый постулат Евклида, утверждающий, что две прямые (то есть две геодезические) пересекаются, если сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых углов, не выполняется в геометрии на псевдосфере. Можно показать, что пятый постулат Евклида не требует и не допускает доказательства, поскольку он по существу является определением того типа пространства, для которого его утверждение верно (то есть определением обычной евклидовой геометрии).

Риман также показал, что существует три логически возможных типа трехмерных пространств, свойства которых аналогичны свойствам перечисленных выше двумерных пространств. Эти пространства отличаются лишь так называемой мерой кривизны пространства (имеется в виду чисто аналитическое выражение, а не кривизна, доступная нашему непосредственному восприятию). Если кривизна пространства равна нулю, то мы имеем дело с евклидовым пространством. Если кривизна положительна, то пространство сферическое, а если кривизна отрицательна, то пространство псевдосферическое. В сферическом пространстве кратчайшие линии замыкаются, и макушка нашей собственной головы может служить великолепной моделью такого пространства. Сферическое пространство не имеет границы, но протяженность его конечна, а сумма углов треугольника превышает два прямых угла на величину, пропорциональную площади треугольника. В псевдосферическом пространстве кратчайшие линии уходят в бесконечность так же, как в евклидовом пространстве, но сумма углов треугольника меньше двух прямых на величину, пропорциональную площади треугольника. И в сферическом, и в псевдосферическом пространстве не существует подобных фигур неодинаковой величины, ибо в каждом случае треугольники различной величины должны иметь различные углы.

Ли доказал, что свободное движение может происходить лишь в трех названных нами пространствах. Существуют другие формы неевклидовых пространств, не допускающих свободное движение. Киллинг назвал их пространствами Клиффорда — Клейна.

Имея три различные непротиворечивые геометрии одного ранга для исследования свойств трехмерных точечных множеств, естественно рассматривать пространство любого типа как некое геометрическое место точек в пространстве более высокого числа измерений, а это приводит к рассмотрению пространства четырех измерений, свойство которого в случае нулевой кривизны мы подробно обсудили в предыдущем очерке.

Евклидово пространство, рассматриваемое как совокупность величин, доступных измерению, не соответствует наиболее общему представлению о трехмерном множестве, поскольку удовлетворяет некоторым специальным условиям. Например, евклидовость пространства можно охарактеризовать тремя условиями: 1) свободной подвижностью твердых тел; 2) существованием единственной геодезической, соединяющей любые две точки пространства; 3) существованием параллельных. Но евклидово пространство можно определить и двумя другими условиями: 1) свободной подвижностью и 2) постулатом подобия. Все эти условия не являются необходимыми атрибутами мышления, и если они выполняются для реального физического пространства, то этот факт необходимо устанавливать опытным путем так же, как это принято в других эмпирических исследованиях, то есть путем наблюдения и эксперимента. Рассуждая чисто логически, мы не можем требовать, чтобы объективный мир непременно соответствовал нашей субъективной интуиции.

Однако мы никогда не сможем доказать, что наше пространство является строго евклидовым, поскольку неизбежные ошибки наблюдения приводят к тому, что результаты измерений колеблются в узком интервале, И хотя в пределах, допускаемых точностью измерений, наше пространство, по-видимому, можно считать евклидовым, наши измерения доказывают лишь, что кривизна пространства мала, но не позволяют утверждать, что она равна нулю. В сферической и псевдосферической геометрии разность между суммой углов треугольника и двумя прямыми углами тем больше, чем больше площадь треугольников. Но даже треугольники, построенные в межзвездном пространстве для изучения параллаксов светил, исчезающе малы по сравнению с размерами самого пространства, и вопрос о том, будет ли сумма углов достаточно больших треугольников всегда равна двум прямым углам, остается открытым. Даже наши несовершенные измерения могут установить, что в реальном пространстве выполняется геометрия Лобачевского (или Римана). Например, так произойдет, если мы сумеем произвести угловые измерения с точностью до одной миллионной секунды и при этом выяснится, что сумма углов некоторого межзвездного треугольника меньше (или больше) двух прямых углов на две миллионных секунды.

Относительно реального физического пространства мы не можем с уверенностью сказать, является ли оно евклидовым или неевклидовым. Геометрия не может пролить свет па природу реального пространства. Исследование реального пространства — эмпирическая наука, в то время как геометрия представляет собой творение чистого мышления, раздел чистой математики. Говоря о чистой математике, мы имеем в виду некую совокупность гипотетических дедуктивных теорий, каждая из которых состоит из определенной системы исходных неопределяемых понятий или символов и исходных недоказываемых, но непротиворечивых допущений (обычно называемых аксиомами) и. логически выводимых из них следствий, полученных строго дедуктивными рассуждениями без обращения к интуиции. В этом смысле чистая математика представляет собой не что иное, как символическую или формальную логику. Чистая математика занимается извлечением следствий, а не приложениями. С другой стороны, естественные науки, носящие эмпирический характер и всецело зависящие от наблюдения и эксперимента, не могут достичь абсолютной точности и поэтому не могут стать строго математическими. Таким образом, достоверность геометрии зиждется лишь на необходимости, с которой ее выводы следуют из непротиворечивых посылок. Чистая математика не занимается вопросом о том, в какой мере полученные выводы применимы к материальному миру. Таким образом, геометрия, если говорить о ее приложении к реальному миру, полезна, хотя к ее выводам следует относиться с известной осторожностью.

Из того факта, что все разделы чистой математики, включая геометрию, носят строго дедуктивный характер и в действительности представляют собой не что иное, как формальную логику, следуют важные философские выводы. Они решительно опровергают Канта, который основывал всю свою философию на предполагаемой возможности образования «синтетических априорных суждений», то есть получение абсолютной истины интуитивным чистым мышлением, совершенно независимо от опыта. Для подтверждения своей точки зрения Кант ссылался на существование геометрии. Такой аргумент мог считаться неопровержимым лишь до открытия неевклидовой геометрии. Другой далеко идущий вывод сводится к следующему. Метафизические аксиомы представляют собой лишь имитацию геометрических аксиом и, подобно последним, будут отброшены. Поэтому нам представляется уместным закончить наш очерк следующими словами знаменитого немецкого математика Гильберта: «Наиболее многообещающим и значительным достижением прошлого века следует считать открытие неевклидовой геометрии».