Дроби без знаменателя

Мы привыкли к тому, что без знаменателя пишутся только десятичные дроби. Поэтому с первого взгляда кажется, что написать прямо без знаменателя дробь ²/₇ или ¹/₃ нельзя. Дело представится нам, однако, иначе, если вспомним, что дроби без знаменателя возможны и в других системах счисления. Что, например, означает дробь «0,4» в пятиричной системе? Конечно, ⁴/₅. Дробь «1,2» в семиричной системе означает 1 ²/₇. А что означает в той же семиричной системе дробь «0,33»? Здесь результат сложнее: ³/₇ + ³/₄₉ = ²⁴/₄₉.

Задача № 25

Рассмотрим еще несколько недесятичных дробей без знаменателя. Чему равны

a) «2,121» в троичной системе?

b) «1,011» в двоичной системе?

c) «3,431» в пятиричной системе?

d) «2,(5)» в семиричной системе?

Ответы:

a) 2 + ¹/₃ + ²/₉ + ¹/₂₇ = 2 ¹⁶/₂₇

b) 1 + ¹/₄ + ¹/₈ = 1 ³/₈

c) 3 + ⁴/₅ + ³/₂₅ + ¹/₁₂₅ = 3 ¹¹⁶/₁₂₅

d) 2 + ⁵/₇ + ⁵/₄₉ + ⁵/₃₄₃ = 2 ²⁸⁵/₃₄₃ = 2 ⁵/₆.

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

В заключение рассмотрим еще две задачи особого рода:

Задача № 26

По какой системе счисления выполнено следующее сложение:

Задача № 27

По какой системе счисления выполнено деление:

Ответы:

Задача № 28

Напишите число сто тринадцать во всех системах счисления до девятиричной включительно.

(Решение см. на стр. 231.)

Задача № 29

Чему равно число «123», если считать его написанным во всех системах счисления до девятиричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятиричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на два? Если оно написано по семиричной системе, то делится ли оно без остатка на шесть? Если оно написано по девятиричной системе, то делится ли оно без остатка на четыре?

(Решение см. на стр. 256.)