13. Решение дилеммы узника

Из всех задач, о которых пишут автору, настоящая доставила наибольшее количество писем.

Ошибка в рассуждении А состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. Выражаясь математически, узник неправильно построил пространство элементарных событий. Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар AB, AC, BC с равными вероятностями. С точки зрения заключенного — это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент A включает еще один момент — ответ охранника. Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:

1) A и B освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/3.

2) A и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/3.

3) B и C освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/6.

4) B и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/6.

Если на вопрос A охранник отвечает B, то апостериорная вероятность освобождения А равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3. Таким образом, вероятность освобождения A равна (1/3)/(1/3 + 1/6) = 2/3, так что математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу.