27. Решение задачи об осторожном фальшивомонетчике
(а)
(б). Пусть имеется n ящиков, каждый из которых содержит n монет. Тогда вероятность того, что извлеченная наудачу монета доброкачественна, равна 1 ? 1/n, и так как всего имеется n ящиков, то
Вычислим эту вероятность для некоторых значений n.
n 1 2 3 4 5 10 20 100 1000 ? P(не обнаружить фальшивых монет) 0 0.250 0.296 0.316 0.328 0.349 0.358 0.366 0.3677 0.367879...=1/eБросаются в глаза следующие два обстоятельства. Во-первых, выписанные в таблице числа с ростом n возрастают. Во-вторых, они стремятся к некоторому значению, которое известно математикам и равно e?1 или 1/e, где e = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.
Воспользовавшись формулой бинома Ньютона для
или
Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к ?1/3!, так как
При n, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к
Таким образом, с ростом r выражение
который является одним из способов вычисления e?1.
Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная