43. Решение задачи о сломанном стержне

Можно считать, что стержень имеет единичную длину. Пусть x и y — точки перелома, причем x лежит слева от y (рис. 17).

Рис. 17. Промежуток с точками перелома x и y.

Согласно принципу симметрии каждый из трех кусков (левый, средний и правый) имеют среднюю длину 1/3, но нам надо найти, скажем, среднюю длину наименьшего куска. Если точки выбираются наугад, то обозначим через X положение первой, а через Y — положение второй точки. Тогда пара (X, Y) равномерно распределена на единичном квадрате (рис. 18), и вероятности событий вычисляются как площади соответствующих подмножеств квадрата. Так, например, вероятность того, что X < 0.2 и Y < 0.3, равна заштрихованной площади на рис. 18, что составляет 0.2·0.3 = 0.06.

Рис. 18. Единичный квадрат с равномерно распределенной величиной (X, Y).

Рис. 19. Незаштрихованная область отвечает случаю Y > X.

Предположим для удобства, что X лежит левее Y, т. е. X < Y. Тогда распределение сосредоточено на заштрихованном треугольнике на рис. 19. Вероятности по-прежнему пропорциональны площадям, но чтобы распределение было вероятностным, вся площадь треугольника должна быть умножена на 2. Мы хотим найти среднюю длину самого короткого куска. Для этого заметим, что минимальная длина равна либо X, либо Y ? X, либо 1 ? Y. Если X — наименьшее число из указанных, то

X < Y ? X, или 2X < Y

и

X < 1 ? Y, или X + Y < 1.

На рис. 20 изображена область, отвечающая этим неравенствам. Видно, что X изменяется от 0 до 1/3. Из планиметрии известно, что центр тяжести треугольника отстоит от основания на расстоянии, равном 1/3 проведенной к нему высоты. Этим основанием в нашем случае является отрезок оси Y. Так как X-я координата вершины равна 1/3, то среднее величины X, или короткого отрезка, равно 1/3·1/3 = 1/9.

Рис. 20. Треугольник, обведенный жирной линией, соответствует случаю, когда левый кусок наименьший.

Рис. 21. Область, где X отвечает наибольший кусок.

Рассмотрим теперь случай, когда X — наибольший кусок. Тогда

X > Y ? X, или 2X > Y

и

X > 1 ? Y, или X + Y > 1.

На рис. 21 изображен соответствующий четырехугольник. Для того чтобы найти координату X его центра тяжести, разобьем его на два треугольника по пунктирной линии. Затем вычислим среднее этих координат для каждого треугольника и сложим их с весами, равными площадям треугольников.

Среднее значение X для правого треугольника равно 1/2 + 1/3·1/2, для левого треугольника 1/2 ? 1/3·1/6. Площади треугольников пропорциональны 1/2 и 1/6 так как у них одно и то же основание. Таким образом, среднее для величины X есть

Так как среднее значение длины самого маленького куска равно 1/9 или 2/18, а самого длинного 11/18, то для среднего куска оно оказывается равным 1 ? 11/18 ? 2/18 = 5/18. Этот факт нетрудно получить и непосредственным подсчетом, рассмотрев область, соответствующую неравенствам 1 ? Y > X > Y ? X.

Итак, средние длины короткого, среднего и длинного кусков относятся как 2 : 5 : 11.

Если ломать стержень на две части, то средние дайны короткого и длинного кусков относятся как

1/4 : 3/4  или  1/2 · 1/2 : 1/2 · (1/2 + 1).

Для трех кусков мы получили пропорцию

1/9 : 5/18 : 11/18,

что можно записать в виде

1/3 · 1/3 : 1/3 · (1/3 + 1/2) : 1/3 · (1/3 + 1/2 + 1).

В общем случае разламывания стержня на n кусков средние длины равны:

наименьший кусок     

второй по длине кусок     

третий по длине кусок     

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

наибольший кусок     

Автор, к сожалению, не располагает простым доказательством этого факта.