30. Решение задачи о расчете булочника
Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.
Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.
Вероятность продать ровно r кексов есть e?20·20r/r!, как известно из задачи 28. Заменив 20 на m, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть ?e?m·mr/r! или
Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что
Сумма выражений (A) и (B) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями m войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями — с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок (1 + e?2m)/2. При m = 20 этот результат весьма близок к 0.5, так как число e?40 мало?. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0.568.