46. Решение задачи о вероятностях совпадений

Эта задача родственна задаче 28, в которой мы впервые встретились с законом Пуассона. Однако в задаче о фальшивомонетчике в силу независимости испытаний появление фальшивой монеты было равновероятно на каждом шагу, в настоящей же задаче совпадения для каждой пары не являются независимыми. Например, если n ? 1 пар совпали, то необходимо совпадет и n-я пара, так что эти события действительно зависимы. Тем не менее при больших значениях n степень зависимости невелика, так что, казалось бы, вероятность r совпадений в этой задаче должна быть близка к вероятности обнаружения фальшивых монет, задаваемой распределением Пуассона. В конце мы сравним решение такой задачи с ответом, получаемым из закона Пуассона со средним 1.

При решении таких задач оказывается полезным рассмотрение частных случаев, отвечающих небольшим значениям n. При n = 1 совпадение неизбежно. При n = 2 вероятность отсутствия совпадения равна 1/2, вероятность двух совпадений также равняется 1/2. При n = 3 занумеруем карты цифрами 1, 2 и 3 и запишем в таблицу 6 возможных перестановок для верхней колоды при фиксированном порядке (1, 2 ,3) нижней.

Перестановки и совпадения, n = 3

Отсюда получаем

Распределение числа совпадений, n = 3

Приведем также соответствующую таблицу для n = 4. Легко заметить, что вероятность того, что произойдет n совпадений, равна 1/n!, поскольку только одной из n! перестановок отвечает n совпадений.

Отметим, что математическое ожидание каждого распределения равно 1, как указано в предыдущей задаче.

Пусть P(r/n) обозначает вероятность ровно r совпадений при распределении n объектов. Эти r совпадений могут быть получены за счет совпадения r фиксированных объектов и несовпадения остальных. Так, например, вероятность того, что совпадают именно r первых объектов, равна

Число различных выборов r объектов из n равно

При r = n, как мы знаем, P(n/n) = 1/n!, и мы можем положить P(0/0) = 1.

Проверим справедливость соотношения (1) при n = 4, г = 2. Согласно (1)

а из нашей таблицы видно, что

P(2/4) = 6/24,

P(0/2) = 1/2

и 6/24 = 1/4, что подтверждает (1) в этом частном случае.

Мы знаем также, что сумма вероятностей по всем возможным числам совпадений при заданном значении n равна 1, т. е.

P(0/n) + P(1/n) + ... + P(n ? 1/n) + P(n/n) = 1.

Используя (1), запишем это соотношение как

Так как P(n/n) = 1/n!, то отсюда можно последовательно находить значения P(0/n).

Итак, мы можем найти в принципе значение P(0/n) при любом n, но не располагаем общей формулой для вычисления P(0/n). Как и в некоторых других задачах, здесь помогает вычисление последовательных разностей. Подсчитаем P(0/n) ? P(0/n ? 1) для различных значений n. Имеем

P(0/1) ? P(0/0) = 0 ? 1 = ?1 = ?1/1!,

P(0/2) ? P(0/1) = 1/2 ? 0 = 1/2 = 1/2!,

P(0/3) ? P(0/2) = 2/6 ? 1/2 = ?1/6 = ?1/3!,

P(0/4) ? P(0/3) = 9/24 ? 2/6 = 1/24 = 1/4!.

Эти выкладки наводят на мысль о том, что искомые разности имеют вид (-l)^r/r!, т. е.

Суммируя эти разности, получаем

Записывая P(0/0) в виде 1/0!, получаем

Осталось проверить теперь справедливость нашей догадки. Нам надо вычислить

Не следует терять хладнокровия. при виде этого зловещего выражения. Ведь сумма в (4) образована слагаемыми вида

где индекс j отвечает множителю, стоящему перед знаком суммы, а индекс i соответствует отдельным членам этой суммы. Переставим местами слагаемые так, чтобы сумма i + j была постоянной. Так, для i + j = 3 получим

Умножая на 3!, получаем более знакомое выражение

которое с помощью биномиальных коэффициентов может быть записано в виде

Но эта сумма есть разложение (x + y)? при х = ?1, y = 1 и, значит, равна нулю, так как (-1 + 1)? = 0? = 0. Этот факт имеет место при каждом значении i + j = r, r = 1, 2, ...., n, так что соответствующие суммы равны нулю. Лишь при r = 0 получаем единственный член (-1)⁰/(0!·0!) = 1. Следовательно, решение (3) удовлетворяет уравнению (2).

Ясно, что других решений у (2) нет. Это может быть доказано методом индукции, так как P(0/n) выражается через P(0/1), P(0/2), ..., P(0/n ? 1).

Из (1) и (3), наконец, выводим

Если n ? r велико, то выражение в скобках близко к e^?1 и

если только n ? r достаточно велико. Итак, действительно, вероятности r совпадений в нашей задаче близки к пуассоновским со средним 1. Однако для этой близости необходимо, чтобы разность n ? r была велика, а не только само n, как казалось в начале.

Вероятность того, что нет ни одного совпадения, при больших n стремится к e^?1 ? 0.368.