Разгадка тайн математики с помощью алгебры
Алгебра бывает крайне полезна при решении задач и головоломок. Вот вам кое-что для начала.
Земельная афера
Бэтчап Билдингз решил приобрести надел земли у фермера Шарпа. Обе стороны сошлись на том, что это должен быть квадратный участок 20 м ? 20 м, то есть площадью 400 квадратных метров, или м?. Однако приехав осмотреть землю, Бэтчап увидел, что участок имеет прямоугольную, а не квадратную форму!
Честно ли поступает фермер?
Хотя мы не знаем, на сколько метров стороны участка длиннее или короче, нам известно, что это одна и та же величина, давайте назовем ее x. Нарисуем схему участка.
Серым цветом показано, как бы выглядел участок, будь это квадрат 20 м ? 20 м. Размеры же прямоугольника: (20 ? x) в северном направлении и (20 + x) в восточном. Чтобы узнать его площадь, перемножим эти значения и получим (20 ? x) ? (20 + x); знак умножения обычно не пишется: (20 ? x)(20 + x).
Для этого раскрываем первые скобки и умножаем каждый элемент в них на вторые скобки. Получаем:
(20 ? x)(20 + x) = 20(20 + x) ? x(20 + x) =
= 400 + 20x ? 20x ? x? =
= 400 ? x?
Как видите, раскрывая ?x(20 + x), мы первым делом умножаем ?x ? 20 = ?20x. Обратите внимание, знак «минус» никуда не исчезает. И наконец, умножаем ?x ? x, что дает ?x?. В следующей строке +20x и ?20x взаимоуничтожаются, и мы получаем любопытный результат: 400 ? x?. О чем это говорит?
Будь участок квадратным, Бэтчап приобрел бы обещанные 400 квадратных метров земли. Однако после изменения формы участка его площадь уменьшилась на x?. И чем больше значение x, тем больше земли теряет Бэтчап. (Помните, буква x обозначает, насколько стороны длиннее/короче одна другой.)
Если участок на 5 метров длиннее в одном направлении и на 5 метров короче в другом, тогда x = 5. Мы можем вычислить площадь такого участка двумя способами. Во-первых, взяв полученный ранее ответ 400 ? x? и подставив вместо x число 5. Площадь составит 400 ? 52, то есть 400 ? 25 = 375. Во-вторых, просто перемножив длины сторон прямоугольника. В северном направлении это 20 ? 5 = 15, а в восточном – 20 + 5 = 25. Тогда площадь равна 15 ? 25 = 375. Оба ответа совпадают, стало быть, алгебра работает как надо!
Разность квадратов
Допустим, у вас есть квадратный блок почтовых марок размером 6 ? 6. Кто-то оторвал от него несколько марок, оставив вам квадрат 4 ? 4. Сколько марок забрали?
Нам нужно вычислить 62 ? 42. Вычитание квадрата одного числа из квадрата другого называется разностью квадратов. В данном случае все просто, поскольку числа небольшие. Получаем 36 ? 16 = 20. Однако есть более быстрый способ подсчета, который подходит для квадратов любых чисел.
Звучит довольно странно, однако вот что это означает: чтобы вычислить 62 ? 42, сначала нужно узнать сумму двух чисел: 6 + 4 = 10. Кроме того, понадобится их разность: 6 ? 4 = 2. Теперь умножаем сумму на разность: 10 ? 2 = 20. Такой же ответ мы получили раньше.
Вместо того чтобы рассуждать об этом на словах, проще записать правило разности квадратов в виде алгебраического уравнения. Обозначим буквой a первое число и буквой b второе, тогда наше правило будет иметь следующий вид:
a? – b? = (a + b)(a – b)
Мы уже наблюдали, как это работает для a = 6 и b = 4, однако данное уравнение подходит для любых a и b. Если вы думаете, что разность квадратов вам никогда не пригодится в жизни, представьте, что a = 20 и b = x, и посмотрите на уравнения из задачки о земельной афере. Там у нас (20 ? x)(20 + x) = 400 ? x?, тот же самый результат!
Объяснение загадки с тремя числами
Помните подраздел «Фокус с тремя числами», размещенный в начале книги? Там я объяснял, что какими бы ни были три последовательно идущих числа, если умножить большее из них на меньшее, результат всегда будет на единицу меньше второго числа, возведенного в квадрат. Например, возьмем 12, 13 и 14. Результат умножения 12 ? 14 = 168, что на единицу меньше, чем 132 = 169.
Опять воспользуемся уравнением для разности квадратов, подставив вместо b единицу. Вот что получится:
a? ? 12 = (a + 1)(a – 1)
Вспоминаем, что 12 = 1 ? 1 = 1, поэтому выходит
a? ? 1 = (a + 1)(a – 1)
Теперь предположим, что a – второе из трех последовательно идущих чисел. Тогда (a + 1) будет наибольшим числом, а (a ? 1) – наименьшим. Уравнение говорит нам, что если взять квадрат второго числа и вычесть из него единицу, то результат будет равен наибольшему числу, умноженному на наименьшее.
В случае с числами 12, 13 и 14 a = 13, но, разумеется, вместо 13 можно выбрать любое другое значение. Вот почему этот фокус применим к любым трем последовательно идущим числам.
Как разрушить Вселенную
Помните, выше я предупреждал вас о такой вероятности? Если вы дочитали до этого места, значит, усердно трудились и многое узнали, поэтому будет совершенно справедливо вознаградить вас за старания неограниченными космическими суперспособностями…
Начнем с двух чисел, a и b, которые волей случая оказались равны:
a = b
Будем обращаться с обеими частями этого уравнения совершенно одинаковым образом. Смотрите внимательно…
Умножаем обе части на a: a? = ab
Вычитаем из обеих частей b?: a? – b? = ab – b?
С левой стороны уравнения получается разность квадратов, поэтому, как мы знаем, a? ? b? = (a + b)(a – b). С правой стороны выходит ab ? b?, где оба элемента делятся на b, стало быть, это выражение можно записать как b(a ? b). Все эти действия допустимы и абсолютно корректны.
Таким образом, получаем (a + b)(a – b) = b(a – b)
Теперь разделим обе части на (a – b) и получим (a + b) = b
Перед скобками множителя нет, а значит, их можно просто убрать
a + b = b
Переносим +b в другую часть уравнения, меняя знак:
a = b – b
И вот итог: a = 0
Теперь вспоминаем, что a и b могут быть любыми числами, следовательно, мы только что доказали, что любое число равно нулю. То есть получается, что любые измерения времени, пространства или веса несущественны: прощай, Вселенная!
Наша ошибка состояла в том, что мы разделили обе части уравнения на (a ? b). Но в случае, когда a = b, (a ? b) = 0. Единственное, чего нельзя делать одновременно с обеими частями уравнения, – это делить на ноль! Если, конечно, вы не собираетесь потратить денек-другой на попытки разрушить Вселенную…