Истина в неполноте

В то время как Фреге был весьма озабочен значением аксиом, главный сторонник формализма, великий немецкий математик Давид Гильберт (рис. 52), ратовал за то, чтобы полностью избегать любого толкования математических формул. Гилберт не интересовался вопросами вроде того, можно ли вывести математику из логических понятий. Нет, для него математика и должна была состоять просто из набора бессмысленных формул – структурированных закономерностей, составленных из произвольных символов[136]. Задачу гарантировать основы математики Гильберт переложил на новую дисциплину – он называл ее «метаматематика». Метаматематика должна была заниматься применением собственно методов математического анализа для доказательства, что весь процесс, который обеспечивала формальная система, – процесс вывода теорем из аксиом по строгим правилам умозаключений – непротиворечив. Иначе говоря, Гильберт считал, что может математически доказать, как устроена математика. Вот как он сам говорил об этом[137].

Рис. 52

Мои исследования в области новых оснований математики ставят целью не менее чем исключить раз и навсегда общие сомнения в надежности математических выводов… Все, что до сих пор составляло математику, следует строго формализовать, чтобы собственно математика, математика в строгом смысле слова, стала набором формул… В дополнение к этой формализованной собственно математике у нас есть математика, в некоторой степени новая, метаматематика, которая необходима, чтобы обеспечивать математику, и в которой, в противоположность чисто формальным модусам умозаключений в собственно математике, применяют контекстуальные выводы, но лишь для доказательства непротиворечивости аксиом… таким образом, развитие математической науки в целом происходит по двум путям, которые постоянно чередуются: с одной стороны, мы выводим доказуемые формулы из аксиом посредством формальных выводов, с другой – мы присоединяем к ним новые аксиомы и доказываем их непротиворечивость при помощи контекстуальных выводов.

Программа Гильберта жертвовала смыслом ради того, чтобы обеспечить надежные основы. Поэтому для его последователей-формалистов математика и в самом деле была лишь игрой, однако их целью было строго доказать, что эта игра полностью логически последовательна[138]. При всех достижениях аксиоматизации казалось, что эта формалистическая «доказательно-теоретическая» мечта сбудется буквально со дня на день.

Однако не все были убеждены, что Гильберт избрал верный путь. Людвиг Витгенштейн (1889–1951), которого многие называют величайшим философом ХХ века, считал, что Гильберт напрасно тратит время на метаматематику[139]. «Нельзя устанавливать правило для применения другого правила», – настаивал он. Иными словами, Витгенштейн не считал, что понимание одной «игры» может зависеть от создания другой: «Если у меня возникла неясность относительно природы математики, мне не поможет никакое доказательство» (Waismann 1979).

Рис. 53

И все же никто не мог предугадать, какой вот-вот грянет гром. Двадцатичетырехлетний Курт Гёдель одним ударом вбил кол в самое сердце формализма.

Курт Гёдель (рис. 53) родился 28 апреля 1906 года в моравском городе, который сейчас известен под чешским названием Брно[140]. В то время город назывался Брюнн, находился в Австро-Венгерской империи, и Гёдель рос в семье, где говорили по-немецки. Его отец Рудольф Гёдель управлял текстильной фабрикой, а мать Марианна Гёдель следила, чтобы юный Курт получил должное широкое образование – изучал математику, историю, языки и теологию. Подростком Гёдель почувствовал особый интерес к математике и философии и в восемнадцать лет поступил в Венский университет, где его внимание привлекала в основном математическая логика. Особенно его восхищали «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда и программа Гильберта, поэтому темой диссертации он выбрал задачу о полноте. Целью этого исследования было, вообще говоря, определить, достаточно ли формального подхода, за который ратовал Гильберт, чтобы вывести все истинные утверждения математики. В 1930 году Гёдель получил докторскую степень, а всего через год опубликовал свои теоремы о неполноте, от которых по философскому и математическому миру прокатилось настоящее цунами[141].

На чисто математическом языке эти теоремы звучали непонятно для непосвященных и не особенно интересно.

1. Любая непротиворечивая формальная система S, в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, может считаться неполной по отношению к утверждениям элементарной арифметики: существуют утверждения, которые в рамках S невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

2. Для любой непротиворечивой формальной системы S, в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, невозможно доказать непротиворечивость S в рамках самой S.

Казалось бы, в этих словах нет ничего особенно грозного, однако их значение для программы формалистов оказалось весьма существенным.

Говоря несколько упрощенно, теоремы неполноты доказали, что формалистская программа Гильберта, в сущности, была нежизнеспособна с самого начала. Гёдель показал, что всякая формальная система, достаточно масштабная, чтобы вызывать хоть какой-то интерес к себе, по сути своей либо неполна, либо противоречива. То есть в лучшем случае всегда будут какие-то утверждения, которые эта формальная система не сможет ни доказать, ни опровергнуть. В худшем же эта система приведет к противоречиям. Поскольку для любого утверждения T всегда должно быть верно либо T, либо не-T, то, что конечная формальная система не может ни доказать, ни опровергнуть некоторые утверждения, означает, что в рамках этой системы всегда существуют истинные суждения, которые невозможно доказать. Иначе говоря, Гёдель показал, что никакая формальная система, состоящая из конечного множества аксиом и правил, по которым делаются выводы, никогда не сможет охватить всю совокупность математических истин. Остается лишь уповать на то, что общепринятые системы аксиом всего лишь неполны, но не противоречивы.

Сам Гёдель полагал, что независимое платоновское представление о математической истине все же существует. В статье, опубликованной в 1947 году, он писал следующее (G?del 1947).

Однако у нас все же есть нечто вроде восприятия объектов теории множеств, несмотря на то, как далеки они от чувственного опыта, что и видно из того обстоятельства, что аксиомы навязывают себя нам как истину. Не вижу причин, почему мы должны доверять такого рода восприятию, то есть математической интуиции, меньше, чем чувственному восприятию.

Судьба распорядилась так, что в тот самый момент, когда формалисты уже были готовы устраивать парад победы, пришел Курт Гёдель, ревностный платоник, и испортил им все веселье, обрушив ливень на парад формалистской программы.

Знаменитый математик Джон фон Нейман (1903–1957), читавший в то время курс лекций о работах Гильберта, отменил оставшиеся лекции и посвятил освободившиеся учебные часы изложению открытий Гёделя.

Сложность личности Гёделя ничем не уступает его теоремам[142]. В 1940 году они с женой Аделью бежали из захваченной фашистами Австрии, и Гёдель получил должность в Институте передовых исследований в Принстоне. Там он близко подружился с Эйнштейном, и они часто подолгу гуляли вместе. Когда в 1948 году Гёдель подал прошение на получение гражданства США, именно Эйнштейн вместе с математиком и экономистом из Принстонского университета Оскаром Моргенштерном (1902–1977) сопровождали его на собеседование в Службу иммиграции и натурализации. В целом обстоятельства этого собеседования довольно известны, однако они так красноречиво свидетельствуют об особенностях характера Гёделя, что я приведу их здесь полностью, в точности в том виде, в каком их описал по памяти Оскар Моргенштерн 13 сентября 1971 года. Я глубоко признателен миссис Дороти Моргенштерн Томас, вдове Моргенштерна, и Институту передовых исследований за предоставленную копию этого документа (Morgenstern 1971).

Гёдель должен был получить американское гражданство в 1948 году. Он попросил меня быть свидетелем, а в качестве другого свидетеля пригласил Альберта Эйнштейна, который с радостью согласился. Мы с Эйнштейном иногда встречались и были полны предчувствий по поводу того, что же будет в оставшийся до натурализации промежуток времени и особенно во время самой процедуры.

Гёдель, с которым я, разумеется, довольно часто виделся в месяцы, предшествовавшие этому событию, начал основательно и дотошно к нему готовиться. Поскольку он был человек весьма дотошный, то приступил к знакомству с историей США еще со времен заселения Северной Америки человеческими существами. Это постепенно привело его к изучению истории американских индейцев, различных их племен и т. д. Гёдель много раз звонил мне и просил посоветовать литературу, которую затем прилежно штудировал. По ходу дела возникало множество вопросов и, разумеется, высказывались сомнения, так ли уж точны и правдивы эти истории со всеми изложенными в них подробностями. Затем Гёдель постепенно, через несколько недель, перешел к изучению собственно американской истории, особенно сосредоточившись на вопросах конституционного законодательства. Это также натолкнуло его на изучение истории Принстона, и он пожелал узнать от меня, в частности, где проходила граница между городом и округом. Я, разумеется, пытался объяснить ему, что во всем этом нет совершенно никакой необходимости, но напрасно. Гёдель упорно желал выяснить все факты, которые хотел изучить к экзамену, и я снабжал его соответствующими сведениями, в том числе и о Принстоне. Затем он пожелал узнать, как избирался Городской совет, а как – Совет округа, и кто был мэром, и как функционировал Городской совет. Он считал, что его могут о таком спросить. А если он покажет, что не знает город, в котором живет, это произведет дурное впечатление.

Я пытался убедить его, что таких вопросов никогда не задают, что большинство вопросов и правда чистая формальность и что он с легкостью на них ответит, что самое сложное, что могут спросить, – это какое в нашей стране правительство и как называется высшая судебная инстанция и тому подобное. Так или иначе, он продолжал штудировать Конституцию.

Тут произошел интересный поворот. Гёдель не без волнения сообщил мне, что при изучении Конституции нашел в ней, к своему огорчению, внутренние противоречия и теперь способен доказать, что можно на совершенно законных основаниях стать диктатором и установить фашистский режим, хотя это не входило в намерения тех, кто составлял Конституцию. Я сказал ему, что подобное развитие событий крайне маловероятно, даже если предположить, что он прав, в чем я, конечно, сомневался. Однако он не отступал, поэтому у нас на эту тему было много разговоров. Я пытался уговорить его не поднимать подобные вопросы на экзамене в трентонском суде и рассказал об этом и Эйнштейну – тот ужаснулся, что в голову Гёделю пришла подобная мысль, и тоже сказал ему, что такие вещи не должны его тревожить и их не стоит обсуждать.

Шли месяцы, и вот наконец прислали извещение о дате экзамена в Трентоне. В тот самый день я заехал за Гёделем на машине. Он сел на заднее сиденье, и мы поехали забрать Эйнштейна к нему домой на Мерсер-стрит, а потом покатили в Трентон. По дороге Эйнштейн приобернулся и спросил.

– Ну что, Гёдель, вы как следует подготовились к экзамену?

Разумеется, от этого замечания Гёдель страшно разволновался – Эйнштейн именно этого и добивался и теперь с большим интересом наблюдал за тревогой у Гёделя на лице. Когда мы прибыли в Трентон, нас проводили в большой зал, и хотя обычно свидетелей опрашивают отдельно от кандидата, на сей раз из-за присутствия Эйнштейна было сделано исключение, и нас пригласили сесть вместе – Гёдель посередине. Экзаменатор спросил, считаем ли мы, что из Гёделя получится достойный гражданин, сначала у Эйнштейна, затем у меня. Мы заверили его, что так, безусловно, и есть, что Гёдель человек выдающийся и так далее. Тогда он повернулся к Гёделю и спросил.

– Итак, мистер Гёдель, откуда вы?

Гёдель: Откуда я? Из Австрии.

Экзаменатор: Какое правительство было у вас в Австрии?

Гёдель: Республика, но конституция ее была такова, что в конце концов она превратилась в диктатуру.

Экзаменатор: О! Какой кошмар! В нашей стране такого быть не может.

Гёдель: Нет, может, и я вам это докажу.

То есть изо всех возможных вопросов экзаменатор задал именно тот, который задавать не стоило. Мы с Эйнштейном от этого диалога пришли в ужас, однако у экзаменатора хватило ума быстро успокоить Гёделя словами: «Боже мой, давайте не будем в это углубляться», – и на этом экзамен закончился к величайшему нашему облегчению. Наконец мы вышли и, когда мы направлялись к лифту, к нам подбежал человек с листом бумаги и ручкой, подскочил к Эйнштейну и попросил у него автограф. Эйнштейн покорно расписался. Когда мы спускались в лифте, я повернулся к Эйнштейну и сказал.

– Наверное, очень тяжело, когда вам постоянно так досаждают.

Эйнштейн ответил.

– Между прочим, это просто пережитки каннибализма.

Я растерялся и спросил.

– Как так?

Он сказал.

– Просто раньше требовали твоей крови, а теперь – твоих чернил.

Потом мы вышли, поехали обратно в Принстон, и, когда мы оказались на углу Мерсер-стрит, я спросил Эйнштейна, куда он хочет – в Институт или домой. Он ответил.

– Отвезите меня домой, все равно теперь уже не поработаешь.

А потом процитировал американскую политическую песню (к сожалению, слов я не помню, но, возможно, они сохранились у меня где-то в заметках, и я, конечно, узнаю их, если кто-нибудь подскажет). Тогда мы покатили обратно к дому Эйнштейна, и тогда он снова повернулся к Гёделю и сказал.

– Ну, Гёдель, это был ваш предпоследний экзамен.

Гёдель: Господи, неужели будет еще один?

Он тут же снова перепугался.

И тогда Эйнштейн сказал.

– Гёдель, последний экзамен ждет вас, когда вы сойдете в могилу!

Гёдель: Но в могилу же сами не сходят, Эйнштейн!

На что Эйнштейн ответил.

– Гёдель, это была просто шутка! – и с этими словами ушел.

Я отвез Гёделя домой. Все были очень рады, что это страшное испытание наконец позади, а голова у Гёделя снова стала свободной для занятий проблемами логики и философии.

В дальнейшем у Гёделя постоянно случались периоды серьезного душевного расстройства, и в конце концов он отказался принимать пищу. Умер Гёдель 14 января 1978 года от слабости и истощения.

Вопреки распространенному заблуждению, теоремы о неполноте Гёделя не предполагают, что некоторые истины так и останутся навеки непознанными. Кроме того, из этих теорем не следует, что человеческие способности к познанию так или иначе ограниченны. Нет, теоремы всего лишь показывают слабости и недостатки формальных систем. Поэтому, вероятно, для вас будет неожиданностью узнать, что несмотря на широчайшее влияние теорем на философию математики, их воздействие на эффективность математики как механизма построения теорий свелось к минимуму. Более того, именно в десятилетия непосредственно до и после публикации доказательства Гёделя математика добилась самых выдающихся успехов в создании физических теорий Вселенной. Ее вовсе не отмели за ненадежность – напротив, математика и ее логические выводы оказывалась все более необходимой для понимания устройства мироздания.

Однако это означало, что загадка «необъяснимой эффективности» математики стала еще заковыристее. Задумайтесь об этом. Представьте себе, что было бы, если бы логицисты одержали полную победу. Это означало бы, что математика целиком выросла из логики, буквально из законов мышления. Но как такая дедуктивная наука могла бы столь чудесно объяснять природные явления? Какова связь формальной логики (вероятно, стоит даже сказать «человеческой формальной логики») и космоса? После Гильберта и Гёделя ответ на этот вопрос яснее не стал. Осталась лишь неполная формальная «игра», описанная языком математики[143]. Каким образом модели, построенные на такой «ненадежной» системе, порождают глубочайшие открытия, касающиеся Вселенной и ее механизмов? Прежде чем подступиться к этим вопросам, мне придется их немного заострить, изучив несколько частных случаев, показывающих, сколь тонкая это материя – эффективность математики.