Узлы

Об узлах даже слагают легенды. Наверняка вы помните древнегреческую легенду о Гордиевом узле. Оракул предсказал жителям Фригии, что их следующим царем будет первый, кто въедет в столицу на повозке, запряженной быками. Так царем стал Гордий – землепашец, который, ни о чем не подозревая, въехал в город именно в тот день. Преисполнившись благодарности, Гордий посвятил богам свою повозку и привязал ее к шесту сложнейшим узлом, который никому не удавалось развязать. Затем было получено пророчество, что тот, кто развяжет узел, станет властелином всей Азии. Судьба распорядилась так, что развязал узел (дело было в 333 году до н. э.) не кто иной, как Александр Македонский, и он и в самом деле впоследствии захватил всю Азию. Однако его решение мы не назвали бы ни изящным, ни даже честным: рассказывают, что он просто разрубил узел мечом!

Однако, чтобы познакомиться с узлами, нам не нужно углубляться в историю Древней Греции. Ребенок, завязывающий шнурки, девушка, заплетающая косу, бабушка, вяжущая свитер, моряк, швартующий судно, – все они прибегают к помощи тех или иных узлов. Узлам дают всякие неожиданные названия – «рыбацкий штык», «кошачья лапа», «мартышкина цепочка», «канадская восьмерка», «тещин узел» и «эшафотный узел»[144]. А в истории морские узлы сыграли такую важную роль, что в XVII веке в Англии им посвятили огромное множество книг. Одну из них, кстати, написал тот самый английский моряк и искатель приключений Джон Смит (1580–1631), который прославился романтическими отношениями с индейской принцессой Покахонтас.

Математическая теория узлов родилась в 1771 году, когда была опубликована статья французского математика Александра Теофила Вандермонда (1735–1796)[145]. Вандермонд первым понял, что узлы можно изучать в рамках геометрии расположения, иначе называемой топологией, которая изучает исключительно соотношения, зависящие от взаимного расположения, не обращая внимания на размеры и вычисления. Следующим математиком, внесшим вклад в формирование теории узлов, был «Князь математики» немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс. В заметках Гаусса содержатся рисунки и детальные описания узлов, а также аналитические исследования их качеств. Однако при всей значимости работ Вандермонда, Гаусса и нескольких других ученых XIX века главный толчок в развитии современной математической теории узлов был сделан с неожиданной стороны – при попытке объяснить структуру вещества. Эта идея зародилась в голове прославленного английского физика Уильяма Томсона, который в наши дни известен как лорд Кельвин (1824–1907). Томсон сосредоточил свои усилия на формулировке теории атомов, основного строительного материала вещества[146]. Он предложил весьма оригинальную гипотезу: атомы – это узлы, завязанные из трубочек эфира, загадочной субстанции, которая, как тогда полагали, пронизывает все пространство. Согласно этой модели, разнообразие химических элементов как раз и объясняется богатейшим разнообразием узлов.

Рис. 54

Если умозаключения Томсона в наши дни и кажутся чистым чудачеством, то лишь потому, что у нас было целое столетие, чтобы принять и экспериментально проверить верную модель атома, в которой электроны вращаются по орбитам вокруг ядер. Однако дело было в Англии в 60-е годы XIX века, и Томсон очень заинтересовался стабильностью сложных колец дыма и их способностью вибрировать – в то время считалось, что эти два качества необходимо учитывать в моделях атомов. Чтобы разработать эквивалент таблицы Менделеева из узлов, Томсон должен был классифицировать узлы, разобраться, какие возможны их виды, и именно необходимость создания такой таблицы и пробудила серьезный интерес к математике узлов.

Как я уже объяснил в главе 1, математический узел выглядит совсем как знакомый каждому узел на шнуре, только концы шнура намертво сращены. Иначе говоря, математический узел изображается замкнутой кривой без свободных концов. Несколько примеров приведено на рис. 54, где трехмерные узлы изображены в виде проекций (теней) на плоскости. Чтобы обозначить положение любых двух участков шнура в пространстве, при пересечении двух участков шнура нижний участок изображается прерванной линией.

Самый простой узел, так называемый тривиальный, или незаузленный узел, – это просто замкнутая кривая без узлов (рис 54, а). Трилистник (рис. 54, b) имеет три пересечения, а восьмерка (рис. 54, с) – четыре. По теории Томсона эти три узла могли, в принципе, служить моделями трех атомов возрастающей сложности – например, атомов водорода, углерода и кислорода соответственно. К тому времени назрела насущнейшая необходимость в создании полной классификации узлов, и за нее взялся друг Томсона, шотландский физик и математик Питер Гатри Тэт (1831–1901).

Когда математики изучают узлы, то задаются примерно теми же вопросами, что и простые смертные, когда смотрят на обычную завязанную веревку или запутанный моток шерсти. Это и правда узел? Эквивалентны ли эти узлы друг другу? Последний вопрос можно переформулировать понятнее: можно ли преобразовать один узел в другой, не разрывая шнуры и не проталкивая один участок шнура сквозь другой, словно сцепленные кольца в руках фокусника? То, насколько это важный вопрос, видно на рис. 55, где показано, как при помощи определенных манипуляций можно получить два совсем разных облика одного узла. В конечном итоге теория узлов ищет способы строго доказать, что те или иные узлы, например трилистник или восьмерка (рис. 54, b и 54, c), и в самом деле разные, игнорируя чисто внешние различия других узлов, например тех двух, которые изображены на рис. 55.

Рис. 55

Свою работу над классификацией Тэт начал отнюдь не с поиска легких путей[147]. Поскольку Тэт не располагал никакими строгими математическими принципами и руководствоваться было нечем, он составлял списки кривых с одним пересечением, двумя пересечениями, тремя и так далее. В сотрудничестве с достопочтенным Томасом Пенингтоном Киркманом (1806–1895), также математиком-любителем, он начал разбирать кривые, чтобы исключить повторы эквивалентных узлов. Задача была отнюдь не тривиальная. Надо понимать, что у каждого пересечения есть два варианта того, какой из участков шнура лежит сверху. Это означает, что если кривая содержит, скажем, семь пересечений, нужно рассмотреть 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 128 узлов. То есть человеческой жизни заведомо не хватит, чтобы подобным интуитивно очевидным образом расклассифицировать узлы более чем с десятью пересечениями. Тем не менее труды Тейлора не остались незамеченными. Великий Джеймс Клерк Максвелл, сформулировавший классическую теорию электричества и магнетизма, отнесся к теории атома Томсона с большим почтением и сказал, что она «удовлетворяет большему числу требований, чем все остальные модели атома, представленные по сей день». Он прекрасно знал, какой вклад сделал в это начинание Тэт, и даже сочинил по этому поводу эпиграмму (Knott 1911).

Clear your coil of kinkings

Into perfect plaiting,

Locking loops and linkings

Interpenetrating.

(Расправь свою перепутаницу в идеальное плетение, зафиксировав взаимопроникающие петли и связи.)

К 1877 году Тэт расклассифицировал альтернирующие узлы вплоть до семи пересечений. Альтернирующие узлы – это такие, где пересечения идут по очереди то сверху, то снизу, как нить в полотне. Тэт сделал и более прагматичное открытие – он сформулировал основные принципы, которые впоследствии получили название гипотез Тэта. Кстати, эти гипотезы оказались столь фундаментальными, что до конца 80-х годов XX века противостояли любым попыткам строго их доказать. В 1885 году Тэт опубликовал таблицы узлов вплоть до десяти пересечений и решил на этом остановиться. Независимо от него профессор из Университета штата Небраска Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) также опубликовал в 1899 году таблицы неальтернирующих узлов до десяти пересечений включительно (Little 1899).

Лорд Кельвин всегда относился к Тэту с теплотой и благодарностью. На церемонии в Питерхаус-колледже в Кембридже, где выставляли портрет Тэта, лорд Кельвин сказал так.

Помнится, Тэт как-то заметил, что наука – единственное, ради чего стоит жить. Сказано было искренне, но сам Тэт доказал, что это не так. Он был великий чтец. Он мог наизусть читать Шекспира, Диккенса, Теккерея. Память у него была чудесная. Все, что он хотя бы раз прочитал с симпатией, он запоминал навсегда.

Увы, к тому времени, как Тэт и Литтл завершили свой подвижнический труд над таблицами узлов, гипотетическая модель атома, предложенная Томсоном, уже оказалась окончательно списана со счетов. Однако интерес к узлам не угасал – с той лишь разницей, как выразился математик Майкл Атья, что «изучение узлов стало эзотерической областью чистой математики».

Область математики, где качества вроде размера, гладкости и – в некотором смысле – даже формы не играют никакой роли, называется топологией. Топология, геометрия резинового листа, изучает те качества, которые остаются неизменными при любом растяжении и деформировании пространства (нельзя только протыкать дыры и отрывать куски)[148]. Узлы по своей природе принадлежат именно к топологии. Кстати, математики различают узлы – отдельные петли с узлами – линки – наборы петель с узлами, перепутанные между собой, – и косы – наборы вертикальных струн, привязанных к горизонтальной планке сверху и снизу.

Если сложность классификации узлов не произвела на вас должного впечатления, задумайтесь вот о каком весьма красноречивом факте. Таблица Чарльза Литтла, опубликованная после шести лет работы в 1899 году, содержала сорок три неальтернирующих узла с десятью пересечениями. Эту таблицу семьдесят пять лет изучали самые разные математики – и все считали, что она совершенно верна. А потом, в 1974 году, юрист и математик из Нью-Йорка Кеннет Перко экспериментировал с веревками на полу собственной гостиной (Perko 1974). И, к своему изумлению, обнаружил, что два узла из таблицы Литтла – на самом деле один и тот же. Теперь мы считаем, что разных неальтернирующих узлов с десятью пересечениями всего сорок два.

В ХХ веке топология достигла блестящих успехов, однако в области теории узлов прогресс шел относительно медленно. В числе главных целей математиков, изучавших узлы, было выявить качества, которые на самом деле отличают узлы друг от друга. Такие качества называются инвариантами узлов – и это величины, которые для любых двух разных проекций одного и того же узла имеют в точности одно и то же значение. Иначе говоря, идеальный инвариант – это буквально «отпечаток пальца» узла, характерное качество узла, которое не меняется ни при каких деформациях. Пожалуй, самый простой инвариант, который сразу приходит в голову, – это минимальное число пересечений при изображении узла. Например, сколько ни пытайся развязать узел-трилистник (рис. 54, b), число пересечений никогда не станет меньше трех. К сожалению, минимальное число пересечений не может служить самым удобным инвариантом по целому ряду причин. Во-первых, как показывает рис. 55, не всегда просто определить, изображен ли узел с минимальным числом пересечений. Во-вторых, и это главное, у двух разных узлов может оказаться одинаковое минимальное число пересечений. Например, на рис. 54 есть целых три разных узла с шестью пересечениями и не менее семи разных узлов с семью пересечениями. Таким образом, минимальное количество пересечений не отличает большинство узлов друг от друга. Наконец, минимальное количество пересечений именно в силу своей чрезвычайной простоты не дает представления о свойствах узлов в целом.

Прорыв в теории узлов произошел в 1928 году, когда американский математик Джеймс Уэдделл Александер (1888–1971) открыл важный инвариант, который стали называть многочленом Александера (Alexander 1928). Вообще говоря, многочлен Александера – это алгебраическое выражение, в котором для маркировки узла используется взаимное расположение пересечений. Если у двух узлов разные многочлены Александера, то узлы тоже совершенно точно разные, и это прекрасно. Плохо другое – два узла с одинаковыми многочленами Александера все равно могут оказаться разными узлами. То есть многочлен Александера – инструмент необычайно полезный, но для различения узлов все же несовершенный.

Последующие сорок лет математики провели в исследованиях системы понятий для многочлена Александера и тщательном изучении свойств узлов. Почему же они так углубились в эту область? Очевидно, не ради какой-то практической пользы. Модель атома Томсона была уже давно позабыта, а другой задачи, которая требовала бы решения на основе теории узлов, в поле зрения не наблюдалось – ни в естественных науках, ни в экономике, ни в архитектуре, ни в других дисциплинах. Математики тратили бесконечные часы на изучение узлов из чистого любопытства! Для них идея узлов и принципы, которые ими управляют, обладали изысканной красотой. Внезапное озарение, полученное благодаря многочлену Александера, было для математиков таким же непреодолимым искушением, как и задача покорить гору Эверест для Джорджа Мэллори, который, как известно, на вопрос, почему ему так хочется взобраться на эту гору, ответил: «Да потому что она есть!».

В конце 1960-х годов плодовитый англо-американский математик Джон Хортон Конвэй описал процедуру постепенного «развязывания» узлов и тем самым вскрыл глубинные отношения между узлами и их многочленами Александера (Conway 1970). В частности, Конвей предложил две простые «хирургические» операции, которые могли послужить основой для определения инварианта узла. Операции Конвея, получившие названия флип и сглаживание, схематически изображены на рис. 56. При флипе (рис. 56, а) для трансформации пересечения верхний участок струны пропускают под нижним (на рисунке также видно, как проделать эту трансформацию с настоящим узлом на веревке). Обратите внимание, что флип, очевидно, меняет самую природу узла. Например, легко убедиться, что узел-трилистник с рис. 54, b в результате флипа станет незаузленным узлом (рис. 54, а). Операция сглаживания по Конвею вовсе убирает пересечение (рис. 56, b) – для этого нужно «разрезать» струну и «склеить» не те концы.

Рис. 56

Благодаря трудам Конвея математики стали по-новому понимать устройство узлов, но все же еще лет двадцать были уверены, что других инвариантов узлов (наподобие многочлена Александера) уже не найдется. Однако в 1984 году положение дел резко изменилось.

Новозеландско-американский математик Вон Джонс вообще не изучал узлы. Он исследовал мир еще более абстрактный – так называемые алгебры фон Неймана. И неожиданно для себя обнаружил, что в алгебрах фон Неймана есть некое соотношение, подозрительно похожее на одно соотношение из теории узлов. Тогда Джонс встретился с Джоан Бирман, специалистом по теории узлов из Колумбийского университета, чтобы обсудить, что с этим можно сделать. Изучение этого соотношения в результате выявило совершенно новый инвариант узлов – так называемый многочлен Джонса (Jones 1985). Математики сразу признали, что многочлен Джонса – куда более тонкий инвариант, чем многочлен Александера. В частности, он позволяет отличать узел от его зеркального отражения (то есть «левый» трилистник на рис. 57 от «правого»), а многочлены Александера для таких узлов тождественны. Однако главное даже не это, а то, что открытие Джонса вызвало у специалистов по теории узлов небывалый прилив энтузиазма. Когда было объявлено об открытии нового инварианта, в мире узлов внезапно вспыхнула бешеная активность, прямо как на фондовой бирже в день, когда Федеральная резервная система ни с того ни с сего понижает процентные ставки.

Рис. 57

Однако, невзирая на то, что за прошедшие три десятилетия были обнаружены и другие инварианты, пока не удается составить полную классификацию узлов. Вопрос о том, какой именно узел можно превратить в другой узел, если вертеть его и крутить, не прибегая к помощи ножниц, остается без ответа. Пока что самый удачный инвариант – это творение русско-французского математика Максима Концевича, который получил за него Филдсовскую медаль в 1998 году и Премию Крафорда в 2008 году. Кстати, в 1998 году Джим Хосте из Колледжа Питцера в Клермонте в штате Калифорния и Джеффри Уикс из Кантона в штате Нью-Йорк составили таблицу всех узлов до шестнадцати пересечений включительно. Точно такую же таблицу независимо от них составил Морвен Тистлетвейт из Университета штата Теннесси в Ноксвилле. В каждой из этих таблиц содержится ровно 1 701 936 разных узлов!

Но главная неожиданность таилась не столько в прогрессе теории узлов как таковой, а в том, какой мощный и внезапный толчок она дала самым разным не связанным с ней наукам[149].