Логика и математика

Традиционно предметом логики были отношения между понятиями и суждениями и процессы, которые позволяли выделить из этих отношений обоснованные следствия.[121] Приведу простой пример: силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – иксы; следовательно, некоторые зеты – игреки» построены таким образом, что автоматически обеспечивают истинность заключения, если верны посылки. Например, «Любой биограф – писатель; некоторые политики – биографы; следовательно, некоторые политики – писатели» приводит к истинному заключению. С другой стороны, силлогизмы общего вида «всякий икс – игрек; некоторые зеты – игреки; следовательно, некоторые зеты – иксы» ложны, поскольку можно привести примеры, когда заключение, несмотря на истинность посылок, окажется ложным. Например, «Любой человек – млекопитающее, некоторые рогатые животные – млекопитающие; следовательно, некоторые рогатые животные – люди».

Если соблюдаются некоторые правила, истинность вывода не зависит от темы утверждений. Рассмотрим следующий силлогизм.

– Убийца миллиардера – либо дворецкий, либо его собственная дочь.

– Дочь не убивала миллиардера.

– Следовательно, убийца – дворецкий.

Он позволяет получить истинный вывод. Обоснованность этого вывода никак не зависит ни от нашего мнения о дворецком, ни от отношений миллионера с дочерью. Обоснованность обеспечена тем, что посылки общего вида «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» приводят к логически истинному утверждению.

Вероятно, вы заметили, что в первых двух примерах иксы, игреки и зеты играли роли, очень похожие на роли переменных в математических уравнениях: они отмечают места, куда можно вставлять выражения, точно так же, как вместо переменных в алгебре можно подставлять их численные значения. Подобным же образом истинность силлогизма «если или p, или q, но при этом не q, следовательно, p» напоминает аксиомы евклидовой геометрии. И все же нужно было провести в размышлениях о логике почти два тысячелетия, прежде чем математики отнеслись к этой аналогии с должной серьезностью.

Первым, кто сделал попытку свести эти две дисциплины – логику и математику – в одну «универсальную математику», был немецкий математик и философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Лейбниц получил юридическое образование и математикой, физикой и философией занимался по большей части в свободное время. При жизни он был известен в основном тем, что независимо и почти одновременно с Ньютоном вывел основы дифференциального и интегрального исчисления (что привело к жарким спорам за право первенства). В статье, которую Лейбниц практически целиком продумал еще в шестнадцать лет, он исследовал универсальный логический язык – так называемую «универсальную характеристику» (characteristica universalis), – по его мнению, идеальный инструмент мышления. План Лейбница состоял в том, чтобы выражать простые идеи и понятия символами, а более сложные – сочетаниями основных символов. Лейбниц рассчитывал, что сможет буквально вычислить истинность любого утверждения и любой научной дисциплины при помощи одних лишь алгебраических операций. Он предсказывал, что при наличии адекватных логических вычислительных методов философские споры будут решаться подсчетом. К сожалению, в полной мере разработать свою алгебру логики Лейбниц так и не сумел. Помимо общего принципа «алфавита мыслей», ему принадлежат две заслуги: он четко сформулировал, когда надо считать, что две вещи равны, и признал очевидный на первый взгляд факт, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Поэтому при всей своей занимательности идеи Лейбница прошли по большей части незамеченными.

К середине XIX века логика снова вошла в моду, и внезапно вспыхнувший интерес к ней привел к созданию значительных научных трудов. Первые работы такого рода опубликовал Огастес де Морган (1806–1871), а затем – Джордж Буль (1815–1864), Готлоб Фреге (1848–1925) и Джузеппе Пеано (1858–1932).

Де Морган был необычайно плодовитым автором, опубликовавшим буквально тысячи статей и книг на самые разные темы, касающиеся математики, истории математики и философии[122]. Были среди них и довольно экзотические работы – альманах полнолуний (за тысячи лет) и сборник занимательных задач по математике. Когда его как-то раз спросили, сколько ему лет, он ответил: «Мне было х лет в х?2 году». Можете сами убедиться, что единственное число, квадрат которого попадает в промежуток от 1806 до 1871 года (годы рождения и смерти де Моргана), – это 43. Однако самые оригинальные достижения де Моргана лежат, пожалуй, в области логики, где он, во-первых, значительно расширил диапазон аристотелевских силлогизмов, а во-вторых, упражнялся в алгебраическом подходе к рассуждениям. Де Морган взирал на логику глазами алгебраиста, а на алгебру – глазами логика. Вот как он описывал свои пророческие воззрения в одной статье: «Именно в алгебре нам следует искать самое привычное применение логических форм… алгебраист обретался в высших сферах силлогизма, постоянного построения соотношений, еще до того, как признали, что подобные сферы существуют».

Одно из важнейших достижений де Моргана в логике – так называемая квантификация предиката. Это несколько помпезное название дано понятию, которое, можно сказать, странным образом ускользало от глаз части логиков классического периода. Последователи Аристотеля вполне справедливо заметили, что из посылок вроде «некоторые зеты – иксы» и «некоторые зеты – игреки» невозможно сделать никаких строгих выводов об отношениях между иксами и игреками. Например, из фраз «некоторые люди любят хлеб» и «некоторые люди любят яблоки» нельзя заключить ничего определенного относительно отношений между любителями яблок и любителями хлеба. До XIX века логики также предполагали, что для того, чтобы из силлогизма следовали какие-то определенные отношения между иксами и игреками, средний термин (зет из вышеприведенного примера) должен быть «универсальным» в одной из посылок. То есть фраза должна включать «все зеты». Де Морган доказал, что это предположение ошибочно. В своей книге «Formal Logic» («Формальная логика»), опубликованной в 1847 году, он указал, что из посылок наподобие «большинство зетов – иксы» и «большинство зетов – игреки» с необходимостью следует, что «некоторые иксы – игреки». Например, фразы «большинство людей любят хлеб» и «большинство людей любят яблоки» заставляют сделать неопровержимый вывод, что «некоторые люди любят и хлеб, и яблоки».

На этом де Морган не остановился и облек свой новый силлогизм в точную количественную форму. Представьте себе, что общее число зетов – z, число зетов, которые одновременно еще и иксы, – х, а число зетов, которые одновременно еще и игреки – у. Пусть в вышеприведенном примере будет всего 100 человек (z = 100), из которых 57 любят хлеб (x = 57) и 69 любят яблоки (y = 69). Тогда, как заметил де Морган, должно быть как минимум (x + y – z) иксов, которые еще и игреки. Как минимум 26 человек (57 + 69 – 100 = 26) любят одновременно и хлеб, и яблоки.

К сожалению, из-за этого хитроумного метода квантификации предиката де Морган оказался вовлечен в неприятный публичный спор. Шотландский философ Уильям Гамильтон (1788–1856) – не путайте с ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном – обвинил де Моргана в плагиате, поскольку Гамильтон за несколько лет до де Моргана обнародовал в чем-то схожие, но гораздо менее проработанные идеи.

В нападках Гамильтона не было ничего удивительного, если учесть, как он относился к математикам и математике. Как-то раз он заявил: «Излишне прилежное изучение математики совершенно лишает мозг интеллектуальной энергии, необходимой для жизни и философии». Лавина едких писем, которые последовали за обвинением Гамильтона, привела к одному положительному результату – хотя этого уж наверняка никто не имел в виду: она подтолкнула к изучению логики алгебраиста Джорджа Буля. Впоследствии в статье «The Mathematical Analysis of Logic» («Математический анализ логики») Буль делился воспоминаниями (Boole 1847).

Весной нынешнего года мое внимание привлек спор, произошедший между сэром У. Гамильтоном и профессором де Морганом, и интерес, который он вызвал, вдохновил меня возобновить уже почти забытые исследования, которые я начал было в прошлом. Мне показалось, что хотя логику можно рассматривать с точки зрения идеи количества, она обладает и другой, более глубокой системой отношений. Если правомерно рассматривать ее извне, в том виде, в каком она посредством числа связана с понятиями пространства и времени, то правомерно и рассматривать ее изнутри, как основанную на фактах иного порядка, которые находят обиталище в устройстве разума.

Эти скромные слова знаменовали зарождение работы, которая совершила переворот в символической логике.