К разделу 1

(здесь и далее переменная z — комплексная, х и у вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z ? z², z ? z² + ?z.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) ? (х² + ау, у² + bх)

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х = -х³ + х + а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = ?z — z²z + Az³, где A — фиксированное комплексное число, а комплексное число ? обходит вокруг нуля,

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х⁵ + ... с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через а_n число типов многочленов хⁿ⁺¹ +... с n различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а⁴) и составим функцию р (t) = ?a_ntⁿ/n!. Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что a_n выражаются через числа Бернулли при нечетных n и через числа Эйлера — при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов х⁵ + ... область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду u = х² + у².

9. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции n переменных в критической точке — невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной u и n независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = х²₁ + . . . + х²_k — у²₁ — . . . — y²₁, k + l = n.

10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,