К разделу 8

38. Исследовать особенности каустики (огибающей семейства нормалей) трехосного эллипсоида.

39. Исследовать особенности каустики — огибающей семейства геодезических на эллипсоиде, выходящих из одной точки.

40. Доказать, что каустика — огибающая семейства геодезических любой римановой метрики общего положения на сфере, выходящих из одной точки, имеет не менее четырех точек возврата.

41. Доказать, что объединение касательных прямых к кривой {(t², t³, t⁴)} диффеоморфно множеству многочленов х⁴ + ах² + bх + с, имеющих кратные вещественные корни.

42. Доказать, что гладкая функция f (а, b, с), производная которой по а в начале координат отлична от нуля, приводится в окрестности начала координат к виду ± а + const гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост предыдущей задачи.

43. Доказать, что гладкое векторное поле, вектор которого в начале координат имеет ненулевую с-компоненту, приводится в окрестности начала координат к полю ± ?/?с (задающему систему а = 0, b = 0, с = ±1) гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост двух предыдущих задач.

44. Пусть большая каустика в трехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q₁, q₂, q₃), при которых функция х⁴ + q₁х² + сх имеет вырожденные критические точки. Нарисовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q₁ ± q²₃.

45. Доказать, что функция времени общего положения приводится в окрестности каждой точки большой каустики предыдущей задачи, либо к виду t = q₃ + const, либо к виду t = ± q₁ ± q²₃ + const сохраняющим эту большую каустику диффеоморфизмом пространства-времени.

46. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (q₁, q₂, q₄), при которых функция х⁴ + q₁x² + q₂х имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q₁ ± q²₃ ± q²₄.

47. Нарисовать поверхность, образованную теми значениями параметра q, при которых функция х²у ± у³ + q₁y² + q₂y + q₃x имеет вырожденные критические точки.

48. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q, при которых функция х²у + у⁴ + q₁y³ + q₂y² + q₃y + q₄x имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами различных функций времени общего положения.

49. Нарисуйте образ плоскости (u, ?) и ее разбиения на прямые u = const (или на кривые t = const, где ?t/?u ? 0) при отображении (u, ?) ? (u², ?, u?) в трехмерное пространство. Сравните ответ с рис. 46 и с рис. 31.

50. Нарисуйте образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства (u, ?, ?) ? (u, ?, ?²) (предполагая, что касательная плоскость поверхности в точке трансверсального пересечения ребра возврата с плоскостью критических точек ? = 0 не содержит направления оси ?). Сравните ответ с рис. 46.

51. Нарисуйте поверхность у² = z³х² и сравните ответ с рис. 46 и с предыдущей задачей.

52. Нарисуйте объединение касательных к кривой {(t, t², t⁴)} и сравните с предыдущими задачами.

53. Докажите, что объединение касательных к прост ранственной кривой общего положения локально диффеоморфно поверхности у² = z³x² в окрестности каждой точки, где кручение кривой обращается в нуль.