К разделу 2

11. Сколько точек сборки имеет отображение z ? z² + ?z?

12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) ? (х² + ау, у² + bх)?

13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.

14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль — не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого — складки и которое имеет якобианом данную функцию?

15. Докажите, что отображение сферы на плоскость, все критические точки которого — складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.

16. Предположим, что все критические точки гладкого отображения сферы на плоскость — складки и сборки и что число областей на сфере, где якобиан отображения положителен, равно а, а где он отрицателен — b. Докажите, что число сборок не меньше, чем 2 | а — b |.

17. Сопоставим каждому вектору нормали к эллипсу его конец. Докажите, что построенное отображение цилиндра на плоскость имеет четыре точки сборки.

18. Если заменить в задаче 17 эллипс несамопересекающейся кривой общего положения, то число точек сборки соответствующего отображения цилиндра на плоскость не меньше четырех.