265. Гёделевы острова в общем и целом

Рассмотрим теперь любой остров, населенный рыцарями и лжецами, на котором имеются клубы. Предполагается, что, кроме рыцарей и лжецов, на острове нет других обитателей. Назовем остров гёделевым, если выполняется условие G, то есть если для любого клуба C найдется по крайней мере один островитянин, утверждающий, что состоит членом этого клуба.

Как-то раз инспектор Крэг посетил такой остров, населенный рыцарями и лжецами, состоящими членами клубов. Крэгу (человеку с необычайно широким кругом интересов, теоретические познания которого не уступают его практической сметке) захотелось узнать, находится ли он на гёделевом острове. Ему удалось собрать следующие сведения. Каждый клуб носит имя одного из островитян, и у каждого островитянина есть клуб, названный его именем. Островитянин не обязательно состоит членом клуба, носящего его имя. Островитянина, который состоит членом клуба, названного в его честь, называют номинабельным. Островитянина, который не состоит членом клуба, названного его именем, называют неноминабельным. Об островитянине X говорят, что он друг островитянина Y, если X подтверждает номинабельность островитянина Y.

Крэг не знал, находится ли он на гёделевом острове до тех пор, пока не обнаружил, что культурная жизнь на острове удовлетворяет некоторому условию, которое мы назовем условием H.

H: Для любого клуба C существует другой клуб D, такой, что у каждого члена клуба D по крайней мере один друг состоит членом клуба C, а у каждого не члена клуба D по крайней мере один друг не состоит членом клуба C.

Из условия H Крэг вывел заключение относительно того, гёделев ли тот остров, на котором он находился. К какому заключению пришел инспектор Крэг?

Решение. Остров гёделев. Выберем любой клуб C. Пусть D — клуб, заданный условием H. Клуб D носит имя какого-нибудь островитянина, например островитянина по имени Джон. Сам Джон либо состоит, либо не состоит членом клуба D. Предположим, что Джон состоит членом клуба D. Тогда у него есть друг (назовем его Джек) в клубе C, который подтверждает, что Джон номинабелен. Поскольку Джон состоит членом клуба D, то Джон действительно номинабелен. Значит, Джек рыцарь. Следовательно, Джек рыцарь и состоит членом клуба C, поэтому Джек утверждает, что состоит членом клуба C.

Предположим, что Джон не состоит членом клуба D. Тогда у Джона есть друг (назовем его Джим), не состоящий членом клуба C и подтверждающий, что Джон номинабелен. Поскольку Джон не состоит членом клуба D, то Джон в действительности неноминабелен. Значит, Джим лжец. Итак, Джим лжец и не состоит членом клуба C, поэтому Джим солгал бы и утверждал бы, что состоит членом клуба C.

Следовательно, независимо от того, состоит или не состоит Джон членом клуба D, существует островитянин, утверждающий, что он состоит членом клуба C.

Примечание. Объединяя решения задач 264 и 265, можно утверждать, что на любом острове, удовлетворяющем условиям E1, E2, C и H, заведомо найдется непризнанный рыцарь и неотъявленный лжец. Этот результат в действительности представляет собой «замаскированную» форму знаменитой теоремы Гёделя о неполноте, к которой мы еще вернемся в разделе В этой главы.

Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям E1, E2, C и H, (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?