263. Задача об учтенных множествах

Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.

У одного математика хранится «Книга множеств». На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1, 2, 3…, n…). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами. Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице «Книги множеств».

Решение. Пусть n — любое целое положительное число. Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.

Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице «Книги множеств». Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.