Удивительные лики π
В том, что число ? появляется в площадях и длинах всех кругообразных объектов, рассмотренных нами, ничего удивительного нет. Но только этим сфера его влияния не ограничивается – оно обнаруживается даже там, где, казалось бы, ему делать совершенно нечего.
Возьмем для примера множество n! подробно рассмотренное нами в главе 4. Казалось бы, причем тут окружности, эллипсы и прочие подобные фигуры и объекты – ведь оно нужно исключительно для того, чтобы подсчитывать дискретные величины. Мы знаем, что значение его вырастает стремительно, причем настолько, что до сих пор нет ни одного более или менее удобного и легкого способа его просчитать. Например, чтобы вычислить значение 100 000! нам потребуется несколько тысяч операций умножения. И все-таки один способ есть – столь же хитрый, сколь и полезный. Основан он на формуле Стирлинга, которая выглядит как
и в которой e = 2,71828… (e – это еще одно важное иррациональное число, которое ждет вашего внимания в главе 10). Компьютер может подсчитать это до четырех значащих цифр – например, 64! = 1,269 ? 1089. А согласно формуле Стирлинга, 64! ? (64/e)64?(128?) = 1,267 ? 1089. (Есть ли легкий способ возвести число в 64-ю степень? Да, есть! Поскольку 64 = 26, нам нужно взять 64/e и возвести его в квадрат шесть раз.)
Знаменитая колоколообразная (или гауссова) кривая, активно использующаяся в статистических исследованиях и некоторых экспериментальных науках, имеет высоту 1/?(2?) (подробнее о ней – в главе 10).
Встречается число ? и в бесконечных суммах: как впервые наглядно показал Леонард Эйлер, сложение квадратов обратных величин положительных целых значений дает нам
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 +… = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… = ??/6
А если мы повторно возведем в квадрат каждое из значений выше, сумма обратных величин четвертой степени окажется равной
1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 +… = ?4/90
Формулу эту можно обобщить, распространив на любой ряд обратных величин всех четных степеней основания числа 2k. В ответе будет фигурировать ?2k, умноженное на рациональное число.
А что насчет нечетных обратных величин? В главе 12 мы увидим, что сумма обратных величин положительных значений бесконечна. При любой нечетной степени больше 1 получим что-то наподобие этого:
1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 +… =???
(это пример для кубов). Сумма здесь будет, по идее, конечной, вот только простой формулы для ее точного вычисления пока никто не нашел.
Невероятно, но факт: ? всплывает даже в задачах, связанных с вероятностью. Например, если вы выберете два случайных больших числа, вероятность того, что у них не будет ни одного общего простого множителя, составит чуть больше 60 %. Это приблизительно. А если точно, то 6/?? = 0,6079…. И то, что этот результат является обратной величиной для одной из посчитанных нами чуть выше бесконечных сумм – вовсе не совпадение.