Геометрия комплексных чисел

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости. Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат (x, y), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось, на которой расположены числа 0, ±i, ±2i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

(3 – 2i) + (–1 + i) = 2 + 3i

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2i, 2 + 3i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w, расположенную симметрично напротив w. А теперь просто сложим z и – w, как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как |z|) есть расстояние от 0 до точки z. Если z = a + bi, тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен

|z| = ?(a? + b?)

На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2i имеет модуль ?(3? + 2?) = ?13. Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла ? tan ? = 2/3. Следовательно, ? = tan^–12/3 ? 33,7° или примерно 0,588 рад.

Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол ?? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos ?, sin ?) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos ? + i sin ?. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле

z = R(cos ? + i sin ?)

что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Re^i?.

А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.

Теорема: Для комплексных величин z₁ и z₂ |z₁z₂| = |z₁| |z₂|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей.

Например,

|(3 + 2i)(1 – 3i)| = |9 – 7i| = ?(9? + (–7)?)?130 = ?13?10 = |3 + 2i| |1 – 3i|

А что насчет угла, привязанного к произведению? Для обозначения угла, образованного комплексным z и «положительной» половиной оси x, обычно используется представление arg z. Так, arg (3 + 2i) = 0,588 рад. Аналогично arg (1 – 3i) = tan^–1 (–3) = –71,56° = –1,249 рад, потому что значение 1 – 3i располагается в квадранте IV, а тангенс его угла ? равен –3.

Обратите внимание, что угол значений (3 + 2i)(1 – 3i) = (9 – 7i) имеет tan^–1 (–7/9) = –37.87° = –0,661 рад, что есть 0,588 + (–1,249). И имеется теорема, которая доказывает, что это совсем не совпадение!

Теорема: Для комплексных величин z₁ и z₂ arg (z₁z₂) = arg (z₁) + arg (z₂). Другими словами, угол произведения есть сумма углов.

Доказательство этого (оно приведено в «отступлении») основано на некоторых тригонометрических тождествах, рассмотренных нами в предыдущей главе.

Отступление

Доказательство: Возьмем две комплексные величины z₁ и z₂, имеющие модули R₁ и R₂ и углы ?₁ и ?₂ соответственно. Записав их в тригонометрическом представлении, имеем

z₁ = R₁ (cos ?₁ + i sin ?₁)

z₂ = R₂ (cos ?₂ + i sin ?₂)

Тогда на основании тождеств cos (A + B) и sin (A + B)

z₁ z₂ = R₁(cos ?₁ + i sin ?₁) R₂(cos ?₂ + i sin ?₂) = R₁ R₂ [cos ?₁ cos ?₂ – sin ?₁ sin ?₂ + i(sin ?₁ cos ?₂ + sin ?₂ cos ?₁)] = R₁ R₂ [cos(?₁ + ?₂) + i(sin(?₁ + ?₂))]

Следовательно, z₁z₂ имеет модуль R₁R₂ (что нам уже известно) и угол ?₁ + ?₂, что и требовалось доказать.?

Обобщим: чтобы умножить комплексные величины, нужно умножить их модули и сложить их углы. К примеру, при умножении некоего числа на i модуль останется прежним, а угол «вырастет» на 90°. Имейте в виду, что при перемножении двух действительных величин положительные числа будут иметь углы, равные 0° (или, что то же самое, 360°), а отрицательные – 180°. Два угла по 180° дадут в сумме 360° – еще одно доказательство, что произведение двух отрицательных величин есть величина положительная. Мнимые же числа имеют углы, равные либо 90°, либо –90° (или 270°). Следовательно, при умножении такого числа на само себя угол должен быть равен 180° (так как 90° + 90° = 180°, а –90° + –90° = –180°, что ничем не отличается от 180°), что соответствует отрицательной величине.

Ну и, наконец, возьмем число z с углом ?: 1/z должно иметь угол –?. (Почему? Да потому что z · 1/z = 1, то есть z и 1/z должны в сумме давать 0°.)

Получается, что при делении комплексных чисел, мы делим их модули и вычитаем их углы: z₁/z₂ имеет модуль R₁/R₂ и угол ?₁ – ?₂.