Уравнение Эйлера

Число e было открыто и введено в оборот великим математиком Леонардом Эйлером. И именно Эйлер впервые обозначил его буквой e. Но, как полагает большинство специалистов по истории математики, вовсе не потому, что это была первая буква его фамилии[34]. Тем не менее e до сих пор достаточно часто называют «числом Эйлера».

Нам уже встречались бесконечные последовательности для функций e^x, cos x и sin x. Откуда они берутся, мы узнаем в следующей главе. Сейчас же просто соберем их в одном месте:

Считалось, что эти формулы работают при любых действительных значениях x. Эйлеру же хватило дерзости предположить, что они будут истинны и при мнимых значениях х. Задавшись вопросом, что произойдет, если возвести число в степень мнимого числа, он сформулировал свою известную теорему.

Теорема Эйлера: Для любого значения угла ? (выраженного в радианах)

e^i? = cos ? + i sin ?

Доказательство: Посмотрим, что будет происходить с последовательностью для e^x при x = i?:

Обратите внимание на поведение i при возведении его в последовательные степени: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = –1, i³ = –i (последнее потому, что i³ = i²i = –i). Затем закономерность повторяется: i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = –1, i⁷ = –i, i⁸ = 1 и т. д. Еще более пристальное внимание следует обратить на то, что среди полученных результатов последовательно чередуются действительные и мнимые величины, что дает нам возможность выносить число i за скобки при каждом втором шаге:

Это приводит нас к доказательству «уравнения Бога», с которого мы начинали эту главу. Приняв ? = ? рад (или 180°), мы получим

eⁱ? = cos ? + i sin ? = –1 + i(0) = –1

Но это далеко не все, о чем говорит нам теорема Эйлера. Мы уже встречались с cos ? + i sin ? – это есть точка на единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости. Вместе с «положительной» половиной оси x она образует угол ?. Так вот, с помощью теоремы Эйлера эту точку можно представить очень простым способом – таким, какой показан на графике

Но и это еще не все! Любая точка комплексной плоскости имеет на окружности свое соответствие. А именно комплексная величина z с модулем R и углом ? представляет собой некую в R раз увеличенную точку, лежащую на окружности. Другими словами,

z = Re^i?

Следовательно, если у нас на комплексной плоскости есть две точки z₁ = R1e^i?₁ и z₂ = R₂e^i?₂, то, согласно правилам действий со степенями (в версии, касающейся комплексных величин)

z₁z₂ = R₁e^i?₁ R₂e^i?₂ = R₁R₂e^{i(?₁ + ?₂)}

что является комплексным числом с модулем R₁R₂ и углом ?₁ + ?₂. И снова мы приходим к выводу, что произведение комплексных величин – это, по сути, произведение их модулей и сумма их углов. Только согласитесь: теорема Эйлера и число e приводят нас к этому умозаключению куда безболезненнее и быстрее, чем наше предыдущее – длиной в целую страницу – алгебраическо-тригонометрическое доказательство.

Давайте же восславим число e уже ставшим привычным для нас способом (и да простит нас Джойс Килмер[35]):

Не сыщешь веку вопреки

Числа чудеснее, чем e.

Ты не забудешь никогда

Два-семь-один и восемь-два…

Его чудесный строгий вид

В сердцах у нас всегда горит.

Оно задачи облегчит

И интегралы разрешит.

Докажет ерунду любой,

Но только Эйлер – наш герой.